Kiến thức

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m-Tự Học 365

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m

Cách xét tính đồng biến

Bài tập vận dụng!

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m trên R

Bạn đang xem: Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m-Tự Học 365

Phương pháp giải bài toán đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 chứa tham số m

Xét tam thức bậc 2: $y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right)$ ta đã biết ở lớp 10

$yge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+cge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a>0 \  {} textΔle 0 \ end{array} right.$.

$yle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+cle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a<0 \  {} textΔle 0 \ end{array} right.$.

þ Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $mathbb{R}$.

Ta có:

– Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+cge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 3a>0 \  {} {{{{Delta }’}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.$.

– Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+cle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 3a<0 \  {} {{{{Delta }’}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.$.

Chú ý:

§ Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: $y=left( m-1 right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x-3$ ta cần xét $a=0$ trước.

§ Số giá trị nguyên trên đoạn $left[ a;b right]$ bằng $b-a+1$.

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có chứa tham số m đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+2$ đồng biến trên $mathbb{R}$.

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=6{{x}^{2}}-6mx+6m$.

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=6>0 \  {} text{Δ’}=9{{m}^{2}}-36mle 0 \ end{array} right.Leftrightarrow 0le mle 4$.

Kết hợp $min mathbb{R}$ Þ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+left( 4m+9 right)x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty  right)$?

A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty  right)$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)$.$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{a}_{{{y}’}}}=-3<0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}+3left( 4m+9 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -9le mle -3$.

Kết hợp $min mathbb{R}$ Þ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+2$. Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -20;20 right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên $mathbb{R}$ là:

A. 20. B. 19. C. 21. D. 23.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+4x+m+3$.

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=1>0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=4-left( m+3 right)<0 \ end{array} right.Leftrightarrow mge 1$.

Kết hợp $left{ begin{array}  {} min mathbb{R} \  {} min left[ -20;20 right] \ end{array} right.$ Þ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số $y=-2{{x}^{3}}-6left( m+3 right){{x}^{2}}+24mx+2$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ là:

A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=-6{{x}^{2}}-12left( m+3 right)x+24m=6left[ -{{x}^{2}}-2left( m+3 right)+4m right]$.

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=-1<0 \  {} text{Δ’}={{left( m+3 right)}^{2}}+4mle 0 \ end{array} right.$.

$Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+9le 0Leftrightarrow -9le mle -1$

Kết hợp $min mathbb{Z}$ Þ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.

Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số $y=frac{-1}{3}{{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}-2left( m+6 right)x+2$ nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.

A. 4. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=-{{x}^{2}}+4mx+2m+12$.

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=-1<0 \  {} text{Δ’}=4{{m}^{2}}-2m-12le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -frac{3}{2}le mle 2$.

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -1;0;1;2 right}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.

Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m-2 right){{x}^{2}}+12x+1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 5. B. 10. C. 15. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6left( m-2 right)x+12$.

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=3>0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=9{{left( m-2 right)}^{2}}-36le 0 \end{array} right.Leftrightarrow 0le mle 4$.

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ 0;1;2;3;4 right}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.

Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số  $y=frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+4x+3$ luôn tăng trên $mathbb{R}$. Số phần tử của tập hợp S là:

A. 0. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+2mx+4$.

.Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=1>0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}-4le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -2le mle 2$.

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -2;-1;0;1;2 right}$ Þ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=frac{1}{3}left( m+2 right){{x}^{3}}-left( m+2 right){{x}^{2}}+left( m-8 right)x+{{m}^{2}}-1$ luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$.

A. $-2<m<1$. B. $m<-2$. C. $mle 1$. D. $mle -2$.

Lời giải chi tiết

Với $m=-2$ ta có $y=-10x+3$ (hàm số này luôn nghịch  biến trên $mathbb{R}$).

Với $mne -2$ ta có ${y}’=left( m+2 right){{x}^{2}}-2left( m+2 right)x+m-8$.

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m+2<0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{left( m+2 right)}^{2}}-left( m+2 right)left( m-8 right)le 0 \ end{array} right.$.

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m<-2 \  {} left( m+2 right)left( 9-m right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow m<-2$

Kết hợp cả hai trường hợp.  Chọn D.

Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{3}}+left( m-1 right){{x}^{2}}-x+4$  nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty  right)$?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải chi tiết

Với $m=1Rightarrow y=-x+4$ hàm số nghịch  biến trên $left( -infty ;+infty  right)$.

Với $m=-1Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x+4$ không thỏa mãn nghịch biến trên $left( -infty ;+infty  right)$.

Với $mne pm 1Rightarrow {y}’=3left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+2left( m-1 right)x-1$ nghịch biến trên $left( -infty ;+infty  right)$

$Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} left( {{m}^{2}}-1 right)<0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{left( m-1 right)}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-1 right)le 0 \ end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -1<m<1 \  {} 2left( m-1 right)left( 2m+1 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -frac{1}{2}le mle 1$

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=0,text{ }m=1$. Chọn A.

.Ví dụ 10: Hàm số $y=frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+m$ luôn đồng biến trên $mathbb{R}$ thì giá trị m nhỏ nhất là

A. $m=1$. B. $m=-2$. C. $m=-4$. D. $m=0$.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+m$ với $xin mathbb{R}$, ta có ${y}’=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.

Để hàm số luôn đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=m>0 \  {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m>0 \  {} 4-mleft( m+3 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow mge 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button