Kiến thức

Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số-Tự Học 365

Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số

Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số

Bài tập vận dụng!

Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số-Tự Học 365

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ

Hằng đẳng thức lượng giác: ${{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=1;frac{1}{{{sin }^{2}}x}=1+{{cot }^{2}}x;frac{1}{{{cos }^{2}}x}=1+{{tan }^{2}}x$

– Công thức cộng: $begin{array}  {} sin left( apm b right)=sin a.cos bpm sin boperatorname{cosb} \  {} cos left( apm b right)=cos a.cos bmp sin a.cos b \  {} tan left( apm b right)=frac{tan apm tan b}{1mp tan a.tan b} \ end{array}$

– Công thức nhân đôi: $left{ begin{array}  {} sin 2a=2sin acos a \  {} cos 2a={{cos }^{2}}a-{{sin }^{2}}a=2{{cos }^{2}}a-1=1-2{{sin }^{2}}a \ end{array} right.$

– Công thức hạ bậc: ${{sin }^{2}}a=frac{1-cos 2a}{2};{{cos }^{2}}a=frac{1+cos 2a}{2}$

– Công thức nhân ba: $left{ begin{array}  {} sin 3a=3sin a-4{{sin }^{3}}a \  {} cos 3a=4{{cos }^{3}}a-3cos a \ end{array} right.$

– Công thức biến đổi tích thành tổng: $cos a.cos b=frac{1}{2}left[ cos left( a+b right)+cos left( a-b right) right]$

$sin .asin b=frac{1}{2}left[ cos left( a-b right)-cos left( a+b right) right];sin a.cos b=frac{1}{2}left[ sin left( a+b right)+sin left( a-b right) right]$

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

$begin{array}  {} {{I}_{1}}=int{sin xdx=-cos x+C} \  {} {{I}_{2}}=int{sin left( ax right)dx=-frac{1}{a}cos left( ax right)+C} \  {} {{I}_{3}}=int{cos xdx=sin x+C} \  {} {{I}_{4}}=int{cos left( ax right)dx=frac{1}{a}sin left( ax right)+C} \  {} {{I}_{5}}=int{{{sin }^{2}}xdx=int{frac{1-cos 2x}{2}dx=frac{x}{2}-frac{sin 2x}{4}+C}} \  {} {{I}_{6}}=int{{{cos }^{2}}xdx=int{frac{1+cos 2x}{2}dx=frac{x}{2}+frac{sin 2x}{4}+C}} \  {} {{I}_{7}}=int{frac{dx}{{{cos }^{2}}x}=tan x+C} \  {} {{I}_{8}}=int{frac{dx}{{{cos }^{2}}left( ax right)}=frac{1}{a}tan left( ax right)+C} \  {} {{I}_{9}}=int{frac{dx}{{{sin }^{2}}left( ax right)}=-cot x+C} \  {} {{I}_{10}}=int{frac{dx}{{{sin }^{2}}left( ax right)}=-frac{1}{a}cot left( ax right)+C} \  {} {{I}_{11}}=int{tan xdx=int{frac{sin xdx}{cos x}=-ln left| cos x right|+C}} \  {} {{I}_{12}}=int{cot xdx=int{frac{cos xdx}{sin x}=ln left| sin x right|+C}} \  {} {{I}_{13}}=int{{{tan }^{2}}x}dx=int{left( frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1 right)dx=tan x-x+C} \  {} {{I}_{14}}=int{{{cot }^{2}}x}dx=int{left( frac{1}{{{sin }^{2}}x}-1 right)dx=cot x-x+C} \ end{array}$

3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp

Dạng 1: Nguyên hàm $I=int{{{sin }^{m}}x.co{{s}^{n}}xdx}$

– TH1: Nếu $m=2k+1Rightarrow I=int{{{sin }^{2k}}x.{{cos }^{n}}x.sin xdx}$

$=-int{{{left( 1-{{cos }^{2}}x right)}^{k}}.{{cos }^{n}}xdleft( cos x right)to }$ Đặt $t=cos x$

– TH2: Nếu $n=2k+1to $ Đặt $t=operatorname{s}text{inx}$

– TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.

$I=int{fleft( sin x right)cos xdx=int{fleft( sin x right)dleft( sin x right)to }}$ Đặt $t=operatorname{s}text{inx}$

$I=int{fleft( cos x right)sin xdx=-int{fleft( cos x right)dleft( cos x right)to }}$ Đặt $t=cos text{x}$

Dạng 2: Nguyên hàm $I=int{frac{dx}{{{sin }^{m}}x.{{cos }^{n}}x}}$

– TH1: Nếu $m=2k+1Rightarrow I=int{frac{sin xdx}{{{sin }^{2k+2}}x.{{cos }^{n}}x}=-int{frac{dleft( cos x right)}{{{left( 1-{{cos }^{2}}x right)}^{k+1}}.{{cos }^{n}}x}}}$

Khi đó ta đặt: $t=cos x$

– TH2: Nếu $n=2k+1to $ ta đặt $t=operatorname{s}text{inx}$

– TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi $frac{1}{{{sin }^{m}}x.{{cos }^{n}}x}=frac{{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x}{{{sin }^{m}}x.{{cos }^{n}}x}…$

Dạng 3:  Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức

$frac{1}{{{sin }^{2}}x}=1+{{cot }^{2}}x;frac{1}{{{cos }^{2}}x}=1+{{tan }^{2}}x$

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;

$A{{sin }^{2}}x+Bsin xcos +C{{cos }^{2}}x$ thì ta chia cả tử số và mẫu số cho ${{cos }^{2}}x$

Chú ý: Khi $I=int{frac{fleft( tan ,x right)}{{{cos }^{2}}x}}dx=int{fleft( tan ,x right)dleft( tan ,x right)to }$ đặt t=tanx

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

$begin{array}  {} int{cos ax.cos bxdx}=frac{1}{2}int{left[ cos left( a+b right)x+cos left( a-b right)x right]dx} \  {} int{sin ax.sinbxdx}=-frac{1}{2}int{left[ cos left( a+b right)x-cos left( a-b right)x right]dx} \  {} int{sin ax.cos bxdx}=frac{1}{2}int{left[ sin left( a+b right)x+sin left( a-b right)x right]dx} \  {} int{cos ax.sinbxdx}=frac{1}{2}int{left[ sin left( a+b right)x-sin left( a-b right)x right]dx} \ end{array}$

Dạng 5: Nguyên hàm $I=int{frac{dx}{asin x+bcos x+c}}$

Ta có: $I=int{frac{dx}{2asin frac{x}{2}cos frac{x}{2}+bleft( {{cos }^{2}}frac{x}{2}-{{sin }^{2}}frac{x}{2} right)+cleft( {{sin }^{2}}frac{x}{2}+{{cos }^{2}}frac{x}{2} right)}}$

$begin{array}  {} int{frac{dx}{m{{sin }^{2}}frac{x}{2}+nsin frac{x}{2}cos frac{x}{2}+p{{cos }^{2}}frac{x}{2}}=int{frac{dx}{{{cos }^{2}}frac{x}{2}left( m{{tan }^{2}}frac{x}{2}+ntan frac{x}{2}+p right)}}} \  {} xrightarrow{t=tan frac{x}{2}}I=int{frac{dt}{m{{t}^{2}}+nt+p}} \ end{array}$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button