Kiến thức

Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối-Tự Học 365

Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối

Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối

Bài tập vận dụng!

CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – CÁCH GIẢI BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

Bạn đang xem: Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối-Tự Học 365

@ Phương pháp giải: Loại 1: Cực trị hàm số $y=left| fleft( x right) right|.$

Ta có: $y=left| fleft( x right) right|Rightarrow y’=frac{f’left( x right).fleft( x right)}{left| fleft( x right) right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f’left( x right).fleft( x right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( x right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=fleft( x right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2Rightarrow $ Hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới:

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$là:

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=fleft( x right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $fleft( x right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$là:

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=fleft( x right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( x right)+2 right|$là:

A. 4. B. 6. C. 3. D. 5.

Lời giải chi tiết

Đặt $gleft( x right)=fleft( x right)+2Rightarrow g’left( x right)=f’left( x right)$

Phương trình $g’left( x right)=f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $gleft( x right)=0Leftrightarrow fleft( x right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=left| fleft( x right)+2 right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 5: Số điểm cực trị của hàm số $y=left| {{left( x-1 right)}^{3}}left( x-3 right)left( x+2 right) right|$ là:

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=fleft( x right)$ thì $y’=frac{f’left( x right)fleft( x right)}{left| fleft( x right) right|}$

Xét $fleft( x right)={{left( x-1 right)}^{3}}left( x-3 right)left( x+2 right)$

Ta có: $fleft( x right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $fleft( x right)={{left( x-1 right)}^{3}}left( {{x}^{2}}-x-6 right)Rightarrow f’left( x right)=3{{left( x-1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}-x-6 right)+{{left( x-1 right)}^{3}}left( 2x-1 right)$

$={{left( x-1 right)}^{2}}left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+left( x-1 right)left( 2x-1 right) right]={{left( x-1 right)}^{2}}left( 5{{x}^{2}}-6x-17 right)=0Rightarrow f’left( x right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 6: Số điểm cực trị của hàm số $y=left| {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x right|$ là:

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

$fleft( x right)=0Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0Leftrightarrow {{x}^{3}}left( x+2 right)-xleft( x+2 right)=0Leftrightarrow xleft( {{x}^{2}}-1 right)left( x+2 right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f’left( x right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0Leftrightarrow 2left( 2{{x}^{2}}-1 right)left( x+1 right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m right|$ có 7 điểm cực trị là:

A. 0. B. 9. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét $fleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f’left( x right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0  \   x=1  \   x=2  \end{matrix} right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$fleft( x right)=0Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $gleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$

Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Bài tập 8: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m right|$ có 7 điểm cực trị là:

A. 129. B. 2. C. 127. D. 3.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f’left( x right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{ }  \   x=-1  \   x=4text{ }  \end{matrix} right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$fleft( x right)=0Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $gleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Bài tập 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m right|$ có 7 điểm cực trị?

A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt $fleft( x right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+mxrightarrow{{}}f’left( x right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;forall xin mathbb{R}.$

Phương trình $f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $Leftrightarrow fleft( x right)=0Leftrightarrow gleft( x right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Rightarrow fleft( x right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số $fleft( x right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$Leftrightarrow -5<-m<0Leftrightarrow min left( 0;5 right)$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Bài tập 10: Cho hàm số $fleft( x right)=left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 right|$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là:

A. 26. B. 25. C. 8. D. 9.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số $gleft( x right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y’=6{{x}^{2}}-6x-12=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-1  \   x=2text{ }  \end{matrix} right.$

Suy ra hàm số   có 2 điểm cực trị.

Để hàm số $fleft( x right)=left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2Leftrightarrow hleft( x right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt

Dễ thấy $left{ begin{matrix}   hleft( -1 right)=9text{ }  \   hleft( 2 right)=-18  \end{matrix} right.Rightarrow hleft( x right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-m<9Leftrightarrow 18>m>-9$

Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $fleft( x right)=left| 2{{x}^{4}}-4left( m+8 right){{x}^{2}}+m-1 right|$ có 5 điểm cực trị?

A. 9. B. 10. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $fleft( x right)=left| 2{{x}^{4}}-4left( m+8 right){{x}^{2}}+m-1 right|$

TH1: Hàm số $y=fleft( x right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ không thể có 5 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0Leftrightarrow 2.left[ -4left( m+8 right) right]<0Leftrightarrow m>-8.$

Để hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=fleft( x right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0ge m-1Leftrightarrow mle 1.$

(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).

Vậy $-8<mle 1.$ Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow $ có 9 giá trị nguyên của tham số mChọn A.

Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số$y=left| {{x}^{4}}-2left( m+4 right){{x}^{2}}+9 right|$ có 7 điểm cực trị?

A. 9. B. 11. C. 10. D. 4

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $fleft( x right)=2{{x}^{4}}-2left( m+4 right){{x}^{2}}+4$

TH1: Hàm số $y=fleft( x right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0Leftrightarrow 1.left[ -2left( m+4 right) right]<0Leftrightarrow m>-4.$

Để hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f’left( x right)=4{{x}^{3}}-4left( m+4 right)x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{                }  \   {{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2}  \end{matrix} right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$begin{array}  {} fleft( pm {{x}_{0}} right)=fleft( sqrt{m+4} right)<0 \  {} Leftrightarrow {{left( m+4 right)}^{2}}-2{{left( m+4 right)}^{2}}+9<0Leftrightarrow {{left( m+4 right)}^{2}}>9Leftrightarrow left[ begin{matrix}   m>-1  \   m<-7  \end{matrix} right. \end{array}$

Với $m>-1.$ Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{          }  \   min left[ -10;10 right]  \end{matrix} right.Rightarrow m=left{ 0;1;…10 right}Rightarrow $ có 11 giá trị của m. Chọn B.

Bài tập 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -20;20 right]$ để hàm số$y=left| {{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+8 right|$ có 7 điểm cực trị?

A. 9. B. 11. C. 12. D. 7.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+8$

TH1: Hàm số $y=fleft( x right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0Leftrightarrow 1.left[ -2left( m+1 right) right]<0Leftrightarrow m>-1.$

Để hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f’left( x right)=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{                }  \   {{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2}  \end{matrix} right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$begin{array}  {} fleft( pm {{x}_{0}} right)=fleft( sqrt{m+1} right)<0 \  {} Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}-2{{left( m+1 right)}^{2}}+8<0Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}>8Leftrightarrow left[ begin{matrix}   m>-1+2sqrt{2}  \   m<-1-2sqrt{2}  \end{matrix} right. \ end{array}$

Với $m>-1-2sqrt{2}.$ Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{          }  \   min left[ -20;20 right]  \end{matrix} right.Rightarrow m=left{ 2;3;…10 right}Rightarrow $  có 9 giá trị của mChọn A.

Phương pháp giải: Loại 2: Cực trị hàm số $y=fleft( left| x right| right).$

Ta có: $y=fleft( left| x right| right)Rightarrow y’=frac{x}{left| x right|}.f’left( left| x right| right)$ từ đó ta có nhận xét sau:

– Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$

– Số điểm cực trị dương của hàm số  $y=fleft( x right)$là m thì số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( left| x right| right)$ là $2m+1$.

Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)=6{{x}^{5}}-15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+1,$ số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( left| x right| right)$ là:

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’left( x right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$

$Leftrightarrow xleft( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 right)=xleft( x-1 right)left( x+1 right)left( x-2 right)$

Lại có: $y=fleft( left| x right| right)Rightarrow y’=frac{x}{left| x right|}.left| x right|left( left| x right|-1 right)left( left| x right|+1 right)left( left| x right|-2 right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=pm 1;x=pm 2$ nên hàm số $y=fleft( left| x right| right)$có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( left| x right| right)$là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Hàm số $y=fleft( x right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $left( 2;-1 right)$ và $left( 5;0 right)$

Do đó hàm số $y=fleft( left| x right| right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( left| x right|+1 right)$là

A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y’=left( left| x right|+1 right)’.f’left( left| x right|+1 right)=frac{x}{left| x right|}.f’left( left| x right|+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{              }  \   f’left( left| x right|+1 right)=0  \end{matrix} right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-1  \   x=0text{   }  \   x=2text{   }  \end{matrix} right.$

Suy ra $f’left( left| x right|+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|+1=-1  \   left| x right|+1=0text{  }  \   left| x right|+1=2text{  }  \end{matrix} right.$hệ có 2 nghiệm.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D.

 

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m>-20$ để hàm số$y=fleft( left| x right|+m right)$ có 5 điểm cực trị

A. 15.

B. 19.

C. 16.

D. 18.

Lời giải

Ta có: $y’=left( left| x right|+m right)’.f’left( left| x right|+m right)=frac{x}{left| x right|}.f’left( left| x right|+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{              }  \   f’left( left| x right|+m right)=0  \end{matrix} right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-3  \   x=-1  \end{matrix} right.$

Do đó $f’left( left| x right|+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|+m=-3  \   left| x right|+m=-1  \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|=-3-m  \   left| x right|=-1-m  \end{matrix} right.$(*)

Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $Leftrightarrow left[ begin{matrix}   -3-m>0  \   -1-m>0  \end{matrix} right.Leftrightarrow m<-1.$

Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{  }  \   m>-20  \end{matrix} right.Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của mChọn D.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số$y=fleft( left| x right|+m right)$ có 7 điểm cực trị

A. 8.

B. 9.

C. 12.

D. 13.

Lời giải

Ta có: $y’=left( left| x right|+m right)’.f’left( left| x right|+m right)=frac{x}{left| x right|}.f’left( left| x right|+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{              }  \   f’left( left| x right|+m right)=0  \end{matrix} right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=-2  \   begin{array}  {} x=-2 \  {} x=5text{  } \ end{array}  \end{matrix} right.$

Do đó $f’left( left| x right|+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|+m=-2  \   begin{array}  {} left| x right|+m=2text{  } \  {} left| x right|+m=5 \ end{array}  \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|=-2-m  \   begin{array}  {} left| x right|=2-mtext{  } \  {} left| x right|=5-m \ end{array}  \end{matrix} right.(*)$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $Leftrightarrow left[ begin{matrix}   -2-m>0  \   begin{array}  {} 2-m>0text{  } \  {} 5-m>0 \ end{array}  \end{matrix} right.Leftrightarrow m<-2.$

Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{          }  \   min left[ -10;10 right]  \end{matrix} right.Rightarrow $  có 8 giá trị nguyên của mChọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m-1 right){{x}^{2}}+6mx+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $left[ -100;100 right]$ để hàm số$fleft( left| x right| right)$ có 5 điểm cực trị?

A. 100. B. 99. C. 97. D. 96.

Lời giải

Để hàm số $fleft( left| x right| right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=fleft( x right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f’left( x right)=3{{x}^{2}}-6left( m-1 right)x+6m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m-1 right)x+2mtext{ }(*)$

Giả thiết bài toán $Leftrightarrow left( * right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $Leftrightarrow left{ begin{matrix}   Delta ‘={{left( m-1 right)}^{2}}-2m>0  \   S=2left( m-1 right)>0text{         }  \   P=2m>0text{                 }  \end{matrix} right.Leftrightarrow m>2+sqrt{3}.$

Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{              }  \   min left[ -100;100 right]  \end{matrix} right.Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của mChọn C.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y=fleft( x right)=2{{x}^{3}}-3left( m+1 right){{x}^{2}}+6left( {{m}^{2}}-9 right)x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $left[ -100;100 right]$ để hàm số$fleft( left| x right| right)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải

Để hàm số $fleft( left| x right| right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=fleft( x right)$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f’left( x right)=6{{x}^{2}}-6left( m+1 right)x+6left( {{m}^{2}}-9 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-left( m+1 right)x+{{m}^{2}}-9=0text{ }(*)$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu $Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0Leftrightarrow -3<m<3.$

TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $Leftrightarrow left{ begin{matrix}   {{m}^{2}}-9=0  \   m+1>0text{  }  \end{matrix} right.Leftrightarrow m=3.$

Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{              }  \   min left[ -100;100 right]  \end{matrix} right.Rightarrow $  có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Ví dụ 8: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)={{x}^{3}}-left( m+3 right){{x}^{2}}+2x+4m$ trên$mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $left[ -100;100 right]$ để hàm số$fleft( left| x right| right)$ có 7 điểm cực trị là:

A. 100. B. 101. C. 198. D. 197.

Lời giải

Để hàm số $fleft( left| x right| right)$ có 7 điểm cực trị thì hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị có hoành độ dương.

$Leftrightarrow f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: $f’left( x right)={{x}^{3}}-left( m+3 right){{x}^{2}}+2x+4m=0Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+mleft( 4-{{x}^{2}} right)=0$

$Leftrightarrow xleft( x-1 right)left( x-2 right)-mleft( x-2 right)left( x+2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=2text{                                       }  \   gleft( x right)={{x}^{2}}-left( m+1 right)x-2m=0  \end{matrix} right.$

Giả thiết bài toán thỏa mãn $Leftrightarrow gleft( x right)$  có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

$Leftrightarrow left{ begin{matrix}   Delta >0text{                   }  \   S=m+1>0text{         }  \   begin{array}  {} P=2m>0 \  {} gleft( 2 right)ne 0text{               } \ end{array}  \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}   {{m}^{2}}+10m+1>0  \   m>0text{                 }  \   2ne 0text{                 }  \end{matrix} right.Leftrightarrow m>0.$

Kết hợp $left{ begin{matrix}   min mathbb{Z}text{          }  \   min left[ -100;100 right]  \end{matrix} right.Rightarrow $  có 100 giá trị nguyên của mChọn A.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên$mathbb{R}$và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số  $fleft( left| x right|+1 right)$ là:

A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải

Ta có: $y’=left( left| x right|+1 right)’.f’left( left| x right|+1 right)=frac{x}{left| x right|}.f’left( left| x right|+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x=0text{              }  \   f’left( left| x right|+1 right)=0  \end{matrix} right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   x={{x}_{1}}in left( -1;0 right)  \   begin{array}  {} x={{x}_{2}}in left( 0;1 right)text{  } \  {} x={{x}_{3}}in left( 1;2 right) \  {} x=2text{  } \ end{array}  \end{matrix} right.$

Suy ra $f’left( left| x right|+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|+1={{x}_{1}}in left( -1;0 right)  \   begin{array}  {} left| x right|+1={{x}_{2}}in left( 0;1 right)text{  } \  {} left| x right|+1={{x}_{3}}in left( 1;2 right) \  {} left| x right|+1=2 \ end{array}  \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix}   left| x right|+1={{x}_{3}}in left( 1;2 right)  \   left| x right|+1=2text{            }  \end{matrix} right.Rightarrow $hệ có 4 nghiệm.

Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button