Kiến thức

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết.

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết.

Phương trình

Bài tập vận dụng!

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.

Bạn đang xem: Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết.

1. Bài toán 1. Tìm tham số m để $fleft( x;m right)=0$ có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.

– Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $fleft( x right)=Pleft( m right)$.

– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ trên D.

– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $Pleft( m right)$ để đường thẳng $y=Pleft( m right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1

Hàm số $y=fleft( x right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $Pleft( m right)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x right)le Pleft( m right)le underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x right)$

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=Pleft( m right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ tại k điểm phân biệt.

Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.

Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.

2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $fleft( x;m right)ge 0$ hoặc $fleft( x;m right)le 0$ có nghiệm trên D.

– Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $fleft( x right)ge Pleft( m right)$ hoặc $fleft( x right)le Pleft( m right)$

– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ trên D.

– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $Pleft( m right)$ để bất phương trình có nghiệm:

* $Pleft( m right)le fleft( x right)$ có nghiệm trên D $Leftrightarrow Pleft( m right)le underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x right)$.

* $Pleft( m right)ge fleft( x right)$ có nghiệm trên D $Leftrightarrow Pleft( m right)ge underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

– Bất phương trình $Pleft( m right)le fleft( x right)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m right)le underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x right)$.

– Bất phương trình $Pleft( m right)ge fleft( x right)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m right)ge underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x right)$.

– Nếu $fleft( x;m right)ge 0;forall xin mathbb{R}$ hoặc $fleft( x;m right)le 0;forall xin mathbb{R}$ với $fleft( x;m right)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán

a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{uleft( x right)}}$ hoặc $t={{log }_{a}}uleft( x right)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t.

b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $fleft( u right)=fleft( v right)$ với $fleft( t right)$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $fleft( u right)=fleft( v right)Leftrightarrow u=v$.

c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

– Ta có $Delta ={{b}^{2}}-4text{a}c$ và định lý Vi-ét: $left{ begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a} \  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{a} \ end{array} right.$.

– Phương trình $fleft( x right)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $Leftrightarrow left{ begin{array}  {} Delta >0 \  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \ end{array} right.$.

– Phương trình $fleft( x right)=0$ có hai nghiệm trái dấu $Leftrightarrow ac<0$.

– Bất phương trình $fleft( x right)>0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a>0 \  {} Delta <0 \ end{array} right.$.

– Bất phương trình $fleft( x right)<0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a<0 \  {} Delta <0 \ end{array} right.$.

Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2text{x}}}={{m}^{2}}-m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $left[ 0;2 right]$?

A. 2                                    B. 3                                         C. 0                                    D. 1

Lời giải

Xét $uleft( x right)={{x}^{2}}-2text{x}$ trên $left[ 0;2 right]$, có ${u}’left( x right)=2text{x}-2;{u}’left( x right)=0Leftrightarrow x=1$.

Tính $uleft( 0 right)=0;uleft( 1 right)=-1;uleft( 2 right)=0xrightarrow{{}}-1le uleft( x right)le 0Leftrightarrow frac{1}{2}le {{2}^{{{x}^{2}}-2text{x}}}le 1$.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $Leftrightarrow frac{1}{2}le {{m}^{2}}-m+1le 1Leftrightarrow 0le mle 1$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $left[ -10;10 right]$ để phương trình ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0$ có nghiệm?

A. 3                                    B. 12                                       C. 7                                    D. 15

Lời giải

Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0Leftrightarrow {{left( {{2}^{x+1}} right)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$                                                    (1)

Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$                       (2)

Để phương trình (1) có nghiệm $Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$.

Cách 1. Xét hàm $fleft( t right)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$.

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-mge -1Leftrightarrow mle 1$. Chọn C.

Cách 2. Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $left[ begin{array}  {} 0<{{t}_{1}}le {{t}_{2}} \  {} {{t}_{1}}le 0<{{t}_{2}} \ end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}  {} left{ begin{array}  {} {Delta }’ge 0 \  {} P>0 \  {} S>0 \ end{array} right. \  {} Ple 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}  {} 0<mle 1 \  {} mle 0 \ end{array} right.Leftrightarrow mle 1$. Kết hợp $min left[ -10;10 right]xrightarrow{min mathbb{Z}}$ có 12 số nguyên m cần tìm.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}left( {{2}^{x}}+1 right)$ có hai nghiệm phân biệt.

A. ${{log }_{4}}3le m<1$ B. ${{log }_{4}}3<m<1$         C. $1<mle {{log }_{3}}4$ D. $1<m<{{log }_{3}}4$

Lời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0Leftrightarrow {{4}^{x}}={{left( {{2}^{x}} right)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành:

${{t}^{2}}+t+4=aleft( t+1 right)Leftrightarrow {{t}^{2}}-left( a-1 right)t+4-a=0$             (*).

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} Delta >0 \  {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \  {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{left( a-1 right)}^{2}}-4left( 4-a right)>0 \  {} a-1>0;4-a>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{a}^{2}}+2text{a}-15>0 \  {} 1<a<4 \ end{array} right.Leftrightarrow 3<a<4Leftrightarrow 3<{{3}^{m}}<4Leftrightarrow 1<m<{{log }_{3}}4$.

Chọn D.

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 7                                    B. 1                                         C. 2                                    D. 3

Lời giải

Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0Leftrightarrow {{left( {{5}^{x}} right)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$

Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$                 (*).

Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó $left{ begin{array}  {} Delta >0 \  {} S>0 \  {} P>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 25{{m}^{2}}-4left( 7{{m}^{2}}-7 right)>0 \  {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 28-3{{m}^{2}}>0 \  {} m>0 \ end{array} right.Leftrightarrow 1<m<sqrt{frac{28}{3}}$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}m=left{ 2;3 right}$ là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.

A. 2                                    B. 3                                         C. 0                                    D. 1

Lời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$       (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} Delta >0 \  {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \  {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \  {} 2m>0 \  {} 2m>0 \ end{array} right. {} Leftrightarrow left{ begin{array}  {} left[ begin{array}  {} m>2 \  {} m<0Leftrightarrow m>2 \ end{array} right. \  {} m>0 \ end{array} right.$.

Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+left( 3-m right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $left( 0;1 right)$.

A. $left[ 3;4 right]$           B. $left[ 2;4 right]$               C. $left( 2;4 right)$          D. $left( 3;4 right)$

Lời giải

Ta có ${{6}^{x}}+left( 3-m right){{2}^{x}}-m=0Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=left( {{2}^{x}}+1 right).mLeftrightarrow m=frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$

Xét hàm số $fleft( x right)=frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $left( 0;1 right)$, có ${f}’left( x right)=frac{{{3}^{x}}.ln 3left( {{2}^{-x}}+1 right)+left( {{3}^{x}}+3 right){{.2}^{-x}}ln 2}{{{left( {{2}^{-x}}+1 right)}^{2}}}>0$

Suy ra hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $fleft( 0 right)<fleft( x right)<fleft( 1 right)Leftrightarrow 2<fleft( x right)<4$.

Vậy để phương trình $m=fleft( x right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2<m<4$. Chọn C.

Ví dụ 7: Cho phương trình ${{3}^{2{{text{x}}^{2}}-3text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $left[ -10;10 right]$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 12                                  B. 8                                         C. 3                                    D. 17

Lời giải

Ta có ${{3}^{2{{text{x}}^{2}}-3text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}Leftrightarrow left( {{3}^{2{{text{x}}^{2}}-3text{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}} right)+left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}} right)=0$

$Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.left( {{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}-9 right)-left( {{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}-9 right)=0Leftrightarrow left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1 right)left( {{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}-9 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \  {} {{3}^{{{x}^{2}}-2text{x}+m}}=9 \ end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}  {} {{x}^{2}}-x=0 \  {} {{x}^{2}}-2text{x}+m=2 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=0;x=1 \  {} gleft( x right)={{x}^{2}}-2text{x}+m-2=0 \ end{array} right.$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow gleft( x right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {Delta }’>0 \  {} gleft( 0 right)ne 0 \  {} gleft( 1 right)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{left( -1 right)}^{2}}-left( m-2 right)>0 \  {} m-2ne 0 \  {} m-3ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m<3 \  {} mne 2 \ end{array} right.$.

Vì $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 3                                    B. 1                                         C. 0                                    D. 2

Lời giải

Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0Leftrightarrow {{left( {{3}^{{{x}^{2}}}} right)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$                    (*)

Vì ${{x}^{2}}ge 0Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}ge 1$ nên phương trình (*) $Leftrightarrow fleft( t right)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow fleft( t right)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.

$Leftrightarrow fleft( 1 right)=0Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0Leftrightarrow 3m-6=0Leftrightarrow m=2$. Chọn B.

Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-left( m+2 right){{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là

A. $m=2$                           B. $m=8$                               C. $m=4$                           D. $m=6$

Lời giải

Điều kiện: $-1le xle 1$.

Xét $uleft( x right)=1+sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}’left( x right)=-frac{x}{sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}’left( x right)=0Leftrightarrow x=0xrightarrow{{}}left{ begin{array}  {} underset{left[ -1;1 right]}{mathop{max }},uleft( x right)=2 \  {} underset{left[ -1;1 right]}{mathop{min }},uleft( x right)=1 \ end{array} right.$.

Đặt $t={{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}Rightarrow tin left[ 5;25 right]$ nên phương trình $Leftrightarrow {{t}^{2}}-left( m+2 right)t+2m+1=0Leftrightarrow m=frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$.

Do đó phương trình đã có nghiệm $Leftrightarrow underset{left[ 5;25 right]}{mathop{min fleft( t right)}},le mle underset{left[ 5;25 right]}{mathop{max fleft( t right)}},overset{{}}{longleftrightarrow}frac{16}{3}le mle frac{576}{23}$.

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.

Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=frac{{{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.

Đặt $fleft( x right)=frac{{{25}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $Leftrightarrow fleft( x right)=m$.

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $fleft( x right)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2.

Quan sát bảng giá trị ta thấy $fleft( x right)ge fleft( 5 right)=frac{16}{3}$ hay $mge fleft( 5 right)=frac{16}{3}$.

Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.

Ví dụ 10: Cho phương trình $left( m+1 right){{16}^{x}}-2left( 2m-3 right){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $left( a;b right)$. Tính $P=ab$.

A. $P=4$                           B. $P=-4$                               C. $P=-frac{3}{2}$            D. $P=frac{5}{6}$

Lời giải

Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $underbrace{left( m+1 right){{t}^{2}}-2left( 2m-3 right)t+6m+5}_{fleft( t right)}=0$          (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}{{4}^{{{x}_{1}}}}<{{4}^{0}}<{{4}^{{{x}_{2}}}}xrightarrow{{}}{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m+1ne 0 \  {} left( m+1 right)fleft( 1 right)<0 \  {} left( m+1 right)fleft( 0 right)>0 \ end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m+1ne 0 \  {} left( m+1 right)left( 3m+12 right)<0 \  {} left( m+1 right)left( 6m+5 right)>0 \ end{array} right.Leftrightarrow -4<m<-1xrightarrow{{}}left{ begin{array}  {} a=-4 \  {} b=-1 \ end{array} right.to P=4$. Chọn A.

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để phương trình

${{2}^{{{x}^{2}}+mtext{x}}}-{{2}^{2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m}}={{x}^{2}}+mtext{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 9                                    B. 6                                         C. 16                                  D. 13

Lời giải

Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+mtext{x}}}-{{2}^{2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m}}={{x}^{2}}+mtext{x}+mLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+mtext{x}}}-{{2}^{2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m}}=2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m-left( {{x}^{2}}+mtext{x} right)$

$Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+mtext{x}}}+{{x}^{2}}+mtext{x}={{2}^{2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m}}+2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+mLeftrightarrow fleft( {{x}^{2}}+mtext{x} right)=fleft( 2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m right)$           (*).

Xét hàm số $fleft( t right)={{2}^{t}}+t$ trên $left( -infty ;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)={{2}^{t}}.ln 2+1>0;forall xin mathbb{R}$.

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left( -infty ;+infty  right)$ nên (*) $Leftrightarrow {{x}^{2}}+mtext{x}=2{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}+m$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+mtext{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ={{m}^{2}}-4m>0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} m>4 \  {} m<0 \ end{array} right.$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 12: Cho phương trình ${{e}^{m.sin x-cos x}}-{{e}^{2left( 1-cos x right)}}=2-cos x-m.sin x$với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 9                                    B. 18                                       C. 11                                  D. 15

Lời giải

PT $Leftrightarrow {{e}^{m.sin x-cos x}}+m.sin x-cos x={{e}^{2-2cos x}}+2-2cos xLeftrightarrow fleft( m.sin x-cos x right)=fleft( 2-2cos x right)$

Với $fleft( t right)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $left( -infty ;+infty  right)$ nên ta được $m.sin x-cos x=2-2cos x$

$Leftrightarrow m.sin x+cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}ge {{2}^{2}}Leftrightarrow {{m}^{2}}ge 3Leftrightarrow left[ begin{array}  {} mge sqrt{3} \  {} mle -sqrt{3} \ end{array} right.$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $sqrt{m+sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực?

A. 4                                    B. 6                                         C. 8                                    D. 10

Lời giải

Ta có $sqrt{m+sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}Leftrightarrow m+sqrt{m+{{e}^{x}}}={{left( {{e}^{x}} right)}^{2}}Leftrightarrow {{left( sqrt{m+{{e}^{x}}} right)}^{2}}+sqrt{m+{{e}^{x}}}={{left( {{e}^{x}} right)}^{2}}+{{e}^{x}}$             (*).

Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{2}}+t$ trên $left( 0;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=2t+1>0;forall t>0$

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty  right)$ nên (*) $Leftrightarrow fleft( sqrt{m+{{e}^{x}}} right)=fleft( {{e}^{x}} right)$

$Leftrightarrow sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{left( {{e}^{x}} right)}^{2}}Leftrightarrow m={{left( {{e}^{x}} right)}^{2}}-{{e}^{x}}xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=gleft( a right)={{a}^{2}}-a$.

Xét hàm số $gleft( a right)={{a}^{2}}-a$ trên $left( 0;+infty  right)$, có ${g}’left( a right)=2text{a}-1;{g}’left( a right)=0Leftrightarrow a=frac{1}{2}$.

Dựa vào BBT, ta thấy $m=gleft( a right)$ có nghiệm thực dương $Leftrightarrow mge gleft( frac{1}{2} right)=-frac{1}{4}$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $m<10xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m+{{e}^{frac{x}{2}}}=sqrt[4]{{{e}^{2text{x}}}+1}$ có nghiệm?

A. $0<m<1$                      B. $0<mle frac{2}{e}$          C. $frac{1}{e}le m<1$      D. $-1<m<0$

Lời giải

Đặt $t=sqrt[4]{{{e}^{2text{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2text{x}}}>0xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2text{x}}}+1Leftrightarrow {{left( {{e}^{frac{x}{2}}} right)}^{4}}={{t}^{4}}-1Leftrightarrow {{e}^{frac{x}{2}}}=sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$.

Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}=tLeftrightarrow m=t-sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$     (*)

Xét hàm số $fleft( t right)=t-sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$ trên $left( 1;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=1-frac{{{t}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( {{t}^{4}}-1 right)}^{3}}}}<0;forall t>1$

Suy ra hàm số $fleft( t right)$ nghịch biến trên khoảng $left( 1;+infty  right)$.


Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $0<m<1$. Chọn A.

Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{left( frac{2}{e} right)}^{{{x}^{2}}+2mtext{x}+1}}le {{left( frac{e}{2} right)}^{2text{x}-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $xin mathbb{R}$?

A. 8                                    B. 5                                         C. 6                                    D. 7

Lời giải

Ta có ${{left( frac{2}{e} right)}^{{{x}^{2}}+2mtext{x}+1}}le {{left( frac{e}{2} right)}^{2text{x}-3m}}Leftrightarrow {{left( frac{2}{e} right)}^{{{x}^{2}}+2mtext{x}+1}}le {{left( frac{2}{e} right)}^{3m-2text{x}}}Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mtext{x}+1ge 3m-2text{x}$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}+2left( m+1 right)x-3m+1ge 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=1>0 \  {} {Delta }’={{left( m+1 right)}^{2}}-left( 1-3m right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -5le mle 0$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left[ -10;10 right]$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $xin mathbb{R}$?

A. 12                                  B. 20                                       C. 8                                    D. 4

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,forall t>0$

$Leftrightarrow mleft( t+1 right)<{{t}^{2}}+3Leftrightarrow m<frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=fleft( t right),forall tin left( 0;+infty  right)Leftrightarrow m<underset{left( 0;+infty  right)}{mathop{min }},fleft( t right)$.

Ta có ${f}’left( t right)=frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{left( t+1 right)}^{2}}};{f}’left( t right)=0Leftrightarrow left{ begin{array}  {} t>0 \  {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow t=1$.


Từ BBT, suy ra $m<underset{left( 0;+infty  right)}{mathop{min }},fleft( t right)=2$. Kết hợp $left{ begin{array}  {} min mathbb{Z} \  {} min left[ -10;10 right] \ end{array} right.Rightarrow $ có 12 giá trị nguyên m. Chọn A.

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để bất phương trình

${{3}^{2text{x}+1}}-left( m+3 right){{.3}^{x}}-2left( m+3 right)>0$ có nghiệm?

A. 10                                  B. 5                                         C. 19                                  D. 13

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-left( m+3 right)t-2m-6<0$

$Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-3t-6<mleft( t+2 right)Leftrightarrow m>frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=fleft( t right)$.

Xét hàm số $fleft( t right)=frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $left( 0;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{left( t+2 right)}^{2}}}>0;forall t>0$.

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty  right)Leftrightarrow min fleft( t right)=-3$.

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow m>underset{left( 0;+infty  right)}{mathop{min }},fleft( t right)=-3$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+left( 3m+2 right){{left( 4-sqrt{7} right)}^{x}}+{{left( 4+sqrt{7} right)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x<0$?

A. $m>frac{2+2sqrt{3}}{3}$                                            B. $m>frac{2-2sqrt{3}}{3}$         C. $mge frac{2-2sqrt{3}}{3}$                     D. $m>-frac{2-2sqrt{3}}{3}$

Lời giải

Bất phương trình $Leftrightarrow 3m+left( 3m+2 right).{{left( frac{4-sqrt{7}}{3} right)}^{x}}+{{left( frac{4+sqrt{7}}{3} right)}^{x}}>0$          (*).

Ta có $frac{4-sqrt{7}}{3}.frac{4+sqrt{7}}{3}=1Leftrightarrow {{left( frac{4-sqrt{7}}{3} right)}^{x}}={{left( frac{4+sqrt{7}}{3} right)}^{-x}}$ nên đặt $t={{left( frac{4+sqrt{7}}{3} right)}^{x}}Rightarrow {{left( frac{4-sqrt{7}}{3} right)}^{x}}=frac{1}{t}$.

Khi đó (*) $Leftrightarrow 3m+frac{3m+2}{t}+t>0,forall tin left( 0;1 right)Leftrightarrow 3m>-frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},forall tin left( 0;1 right)$

Xét hàm số $fleft( t right)=-frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $left( 0;1 right)$, suy ra $underset{left( 0;1 right)}{mathop{max }},fleft( t right)=fleft( sqrt{3}-1 right)=2-2sqrt{3}$.

Do đó $3m>fleft( t right);forall tin left( 0;1 right)Leftrightarrow 3m>2-2sqrt{3}Leftrightarrow m>frac{2-2sqrt{3}}{3}$. Chọn B.

Ví dụ 19: Gọi m là số thực sao cho phương trình $log _{3}^{2}x-left( m+2 right){{log }_{3}}x+3m-2=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9$. Khẳng định nào dưới đaya đúng?

A. $1<m<3$                      B. $-3<m<-1$                         C. $-1<m<1$                     D. $2<m<4$

Lời giải

Đặt $t={{log }_{3}}x$ thì phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-left( m+2 right)t+3m-2=0$             (*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=1ne 0 \  {} Delta ={{left( m+2 right)}^{2}}-4left( 3m-2 right)>0 \ end{array} right.Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} m>6 \  {} m<2 \ end{array} right.$.

Ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9Leftrightarrow {{log }_{3}}left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} right)=2Leftrightarrow {{log }_{3}}{{x}_{1}}+{{log }_{3}}{{x}_{2}}=2Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).

Vậy $-1<m<1$. Chọn C.

Ví dụ 20: Cho phương trình ${{log }_{frac{1}{2}}}left( m+6text{x} right)+{{log }_{2}}left( 3-2text{x}-{{x}^{2}} right)=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 17                                  B. 23                                       C. 9                                    D. 15

Lời giải

Ta có ${{log }_{frac{1}{2}}}left( m+6text{x} right)+{{log }_{2}}left( 3-2text{x}-{{x}^{2}} right)=0Leftrightarrow {{log }_{2}}left( 3-2text{x}-{{x}^{2}} right)={{log }_{2}}left( m+6text{x} right)$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} 3-2text{x}-{{x}^{2}}>0 \  {} 3-2text{x}-{{x}^{2}}=m+6text{x} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -3<x<1 \  {} m=-{{x}^{2}}-8text{x}+3xrightarrow{{}}fleft( x right)=-{{x}^{2}}-8text{x}+3 \ end{array} right.$.

Xét hàm số $fleft( x right)=-{{x}^{2}}-8text{x}+3$ trên $left( -3;1 right)$, có ${f}’left( x right)=-2text{x}-8<0;forall xin left( -3;1 right)$

Dựa vào BBT, để $m=fleft( x right)$ có nghiệm thuộc $left( -3;1 right)Leftrightarrow fleft( -3 right)<m<fleft( 1 right)Leftrightarrow -6<m<18$.

Kết hợp với m nguyên dương $xrightarrow{{}}$ có 17 giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left[ -10;10 right]$ để phương trình $log left( mtext{x} right)=2log left( x+1 right)$ có nghiệm duy nhất?

A. 11                                  B. 7                                         C. 16                                  D. 3

Lời giải

Điều kiện: $x>-1$

Phương trình $log left( mtext{x} right)=2log left( x+1 right)Leftrightarrow mtext{x}={{left( x+1 right)}^{2}}Leftrightarrow m=frac{{{left( x+1 right)}^{2}}}{x}=x+frac{1}{x}+2$.

Xét hàm $fleft( x right)=x+frac{1}{x}+2$ trên $left( -1;+infty  right)$, có ${f}’left( x right)=1-frac{1}{{{x}^{2}}};{f}’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=-1 \  {} x=1 \ end{array} right.$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $Leftrightarrow left[ begin{array}  {} m=4 \  {} m<0 \ end{array} right.$

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn A.

Ví dụ 22: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để ${{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-2text{x}+5 right)-m.{{log }_{{{x}^{2}}-2text{x}+5}}2=5$ có hai nhiệm phân biệt là nghiệm của bất phương trình ${{log }_{sqrt{3}}}left( x+1 right)-{{log }_{sqrt{3}}}left( x-1 right)>{{log }_{3}}4$?

A. $left( -frac{25}{4};-6 right]$                                       B. $left( -frac{25}{4};-6 right)$   C. $left( -frac{25}{4};+infty  right)$                                               D. $left[ -frac{25}{4};-6 right]$

Lời giải

BPT $Leftrightarrow left{ begin{array}  {} x+1>0;x-1>0 \  {} {{log }_{sqrt{3}}}frac{x+1}{x-1}>{{log }_{sqrt{3}}}2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} x>1 \  {} frac{x+1}{x-1}>2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} x>1 \  {} x<frac{3}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow 1<x<3$.

Phương trình đã cho được viết lại thành: ${{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-2text{x}+5 right)-frac{m}{{{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-2text{x}+5 right)}=5$

Đặt $t={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-2text{x}+5 right)$, ta được $t-frac{m}{t}=5Leftrightarrow m=fleft( t right)={{t}^{2}}-5t$.

Với $1<x<3Rightarrow 4<{{x}^{2}}-2text{x}+5<8Leftrightarrow {{log }_{2}}4<{{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-2text{x}+5 right)<{{log }_{2}}8Rightarrow 2<t<3$.

Xét hàm số $fleft( t right)$ trên khoảng $left( 2;3 right)$, để $m=fleft( t right)$ có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -frac{25}{4}<m<-6$. Chọn B.

Ví dụ 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left[ -10;10 right]$ để phương trình $x-frac{2}{{{log }_{3}}left( x+1 right)}=m$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 5                                    B. 18                                       C. 11                                  D. 9

Lời giải

Điều kiện: $left{ begin{array}  {} x>-1 \  {} {{log }_{3}}left( x+1 right)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} x>-1 \  {} x+1ne {{3}^{0}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} x>-1 \  {} xne 0 \ end{array} right.$.

Xét hàm số $fleft( x right)=x-frac{2}{{{log }_{3}}left( x+1 right)}$ trên khoảng $D=left( -1;+infty  right)backslash left{ 0 right}$.

Ta có ${f}’left( x right)=1-frac{2.{{left[ {{log }_{3}}left( x+1 right) right]}^{prime }}}{log _{3}^{2}left( x+1 right)}=1+frac{2}{ln 3.left( x+1 right).log _{3}^{2}left( x+1 right)}>0,forall xin D$.

Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng $left( -1;0 right)$ và $left( 0;+infty  right)$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $fleft( x right)=m$ có 2 nghiệm $Leftrightarrow m>-1$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn C.

Ví dụ 24: Phương trình ${{log }_{sqrt{2}}}left( mtext{x}-6{{text{x}}^{3}} right)+2{{log }_{frac{1}{2}}}left( -14{{text{x}}^{2}}+29text{x}-2 right)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $min left( a;b right)$. Tính $P=a-2b$.

A. $-5$                               B. 0                                         C. $-10$                             D. $-20$

Lời giải

Phương trình $Leftrightarrow {{log }_{2}}left( mtext{x}-6{{text{x}}^{3}} right)={{log }_{2}}left( -14{{text{x}}^{2}}+29text{x}-2 right)$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} -14{{text{x}}^{2}}+29text{x}-2>0 \  {} mtext{x}-6{{text{x}}^{3}}=-14{{text{x}}^{2}}+29text{x}-2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} frac{1}{14}<x<2 \  {} m=6{{text{x}}^{2}}-14text{x}+29-frac{2}{x}(*) \ end{array} right.$

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $Leftrightarrow $ (*) có ba nghiệm phân biệt $xin left( frac{1}{14};2 right)$.

Xét hàm số $fleft( x right)=6{{text{x}}^{2}}-14text{x}+29-frac{2}{x}$ trên khoảng $left( frac{1}{14};2 right)$.

Ta có ${f}’left( x right)=12text{x}-14+frac{2}{{{x}^{2}}}=frac{12{{text{x}}^{3}}-14{{text{x}}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}Rightarrow {f}’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=1 \  {} x=frac{1}{2} \ end{array} right.$ (do $frac{1}{14}<x<2$).

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi $19<m<frac{39}{2}$.

Vậy $min left( 19;frac{39}{2} right)xrightarrow{{}}left{ begin{array}  {} a=19 \  {} b=frac{39}{2} \ end{array} right.xrightarrow{{}}P=a-2b=19-2.frac{39}{2}=-20$. Chọn D.

Ví dụ 25: Cho phương trình ${{log }_{3}}frac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -2018;2018 right]$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

A. 2022                              B. 2021                                   C. 2016                              D. 2015

Lời giải

Phương trình $Leftrightarrow {{log }_{3}}frac{2{{text{x}}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}=3left( {{x}^{2}}+1 right)-left( 2{{text{x}}^{2}}-x+m right)+1$

$Leftrightarrow {{log }_{3}}left( 2{{text{x}}^{2}}-x+m right)-{{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+1 right)=3left( {{x}^{2}}+1 right)-left( 2{{text{x}}^{2}}-x+m right)+1$

$Leftrightarrow 2{{text{x}}^{2}}-x+m+{{log }_{3}}left( 2{{text{x}}^{2}}-x+m right)=3{{text{x}}^{2}}+3+{{log }_{3}}left( 3{{text{x}}^{2}}+3 right)$                      (*).

Xét hàm số $fleft( t right)=t+{{log }_{3}}t$ trên $left( 0;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=1+frac{1}{t.ln 3}>0;forall t>0$.

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left( 0;+infty  right)$ nên (*) $Leftrightarrow fleft( 2{{text{x}}^{2}}-x+m right)=fleft( 3{{text{x}}^{2}}+3 right)$

$Leftrightarrow 2{{text{x}}^{2}}-x+m=3{{text{x}}^{2}}+3Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-m+3=0$ có hai nghiệm trái dấu $Leftrightarrow 1.left( 3-m right)<0Leftrightarrow m>3$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -2018;2018 right]xrightarrow{{}}$ có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 26: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

${{log }_{4}}left( {{2}^{2text{x}}}+{{2}^{x+2}}+{{2}^{2}} right)={{log }_{2}}left| m-2 right|$ vô nghiệm. Giá trị của S bằng

A. $S=8$                           B. $S=10$                              C. $S=12$                         D. $S=6$ .

Lời giải

Điều kiện: $mne 2$. Phương trình đã cho $Leftrightarrow {{log }_{4}}left[ {{left( {{2}^{x}}+2 right)}^{2}} right]={{log }_{2}}left| m-2 right|$

$Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{2}^{x}}+2 right)={{log }_{2}}left| m-2 right|Leftrightarrow {{2}^{x}}+2=left| m-2 right|Leftrightarrow left[ begin{array}  {} {{2}^{x}}+2=m-2 \  {} {{2}^{x}}+2=2-m \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}  {} {{2}^{x}}=m-4 \  {} {{2}^{x}}=-m \ end{array} right.$

Để phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m-4le 0 \  {} -mle 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} mle 4 \  {} mge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow 0le mle 4$

Kết hợp với $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}m=left{ 0;1;2;3;4 right}$. Vậy $S=sum{m}=10$. Chọn B.

Ví dụ 27: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $log _{sqrt{3}}^{2}x-m{{log }_{sqrt{3}}}x+1=0$ có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1?

A. $m=2$                           B. $m=-2$                              C. $m=sqrt{2}$                 D. $m=0$

Lời giải

Điều kiện: $x>0$. Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra $0<x<1$.

Đặt ${{log }_{sqrt{3}}}x=t$, với $0<x<1xrightarrow{{}}t<0$

Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-mt+1=0Leftrightarrow m=fleft( t right)=t+frac{1}{t}$

Xét hàm số $fleft( t right)=t+frac{1}{t}$ trên $left( -infty ;0 right)$, có ${f}’left( t right)=1-frac{1}{{{t}^{2}}};{f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=-1$.

Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $Leftrightarrow m=fleft( t right)$ có nghiệm duy nhất $t<0Leftrightarrow m=-2$. Chọn B.

Ví dụ 28: Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình

$left( m-1 right)log _{frac{1}{2}}^{2}left( x-2 right)-left( m-5 right){{log }_{frac{1}{2}}}left( x-2 right)+m-1=0$ có nghiệm thuộc $left( 2;4 right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $min left( -5;-frac{5}{2} right)$                                 B. $min left( -1;frac{4}{3} right)$           C. $min left( 2;frac{10}{3} right)$                                                D. Không tồn tại m.

Lời giải

Đặt $t={{log }_{frac{1}{2}}}left( x-2 right)$, do $2<x<4Leftrightarrow 0<x-2<2xrightarrow{{}}t>-1$.

Phương trình đã cho trở thành: $left( m-1 right){{t}^{2}}-left( m-5 right)t+m-1=0Leftrightarrow m=frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$

Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$ trên $left( -1;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=1$.

Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm $-3le m<frac{7}{3}Rightarrow {{m}_{0}}=-3$. Chọn A.

Ví dụ 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{log }_{2}}frac{{{4}^{x}}-1}{{{4}^{x}}+1}-m=0$ có nghiệm?

A. $m<0$                           B. $-1<m<1$                          C. $mle -1$                       D. $-1<m<0$

Lời giải

Điều kiện: ${{4}^{x}}-1>0Leftrightarrow x>0$.

Đặt $t={{4}^{x}}$, với $x>0xrightarrow{{}}t>1$. Phương trình đã cho trở thành: $m={{log }_{2}}frac{t-1}{t+1}$           (*).

Xét hàm số $fleft( t right)={{log }_{2}}frac{t-1}{t+1}$ trên $left( 1;+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=frac{2}{left( {{t}^{2}}-1 right)ln 2}>0,forall t>1$.

Suy ra hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên khoảng $left( 1;+infty  right)$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $Leftrightarrow m<0$. Chọn A.

Ví dụ 30: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình $a{{ln }^{2}}x+bln text{x}+5=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và phương trình $5{{log }^{2}}x+blog text{x}+a=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{S}_{min }}$ của $S=2text{a}+3b$.

A. ${{S}_{min }}=30$        B. ${{S}_{min }}=25$            C. ${{S}_{min }}=33$        D. ${{S}_{min }}=17$

Lời giải

Phương trình $left{ begin{array}  {} a{{ln }^{2}}x+bln text{x}+5=0 \  {} 5{{log }^{2}}x+blog text{x}+a=0 \ end{array} right.$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ={{b}^{2}}-20text{a}>0$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có $left{ begin{array}  {} ln {{text{x}}_{1}}+ln {{text{x}}_{2}}=-frac{b}{a} \  {} log {{x}_{3}}+log {{x}_{4}}=-frac{b}{5} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} ln left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} right)=-frac{b}{a} \  {} log left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} right)=-frac{b}{5} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{e}^{-frac{b}{a}}} \  {} {{x}_{3}}{{x}_{4}}={{10}^{-frac{b}{5}}} \ end{array} right.$.

Mặt khác ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}Leftrightarrow {{e}^{-frac{b}{a}}}>{{10}^{-frac{b}{5}}}Leftrightarrow ln {{e}^{-frac{b}{a}}}>ln {{10}^{-frac{b}{5}}}Leftrightarrow -frac{b}{a}>-frac{b}{5}.ln10Leftrightarrow a>frac{5}{ln 10}$.

a, b là hai số nguyên dương suy ra $age 3Rightarrow {{a}_{min }}=3$ và ${{b}^{2}}>20text{a}>60Rightarrow {{b}_{min }}=8$.

Vậy ${{S}_{min }}=2{{text{a}}_{min }}+3{{b}_{min }}=2.3+3.8=30$. Chọn A.

Ví dụ 31: Cho phương trình ${{5}^{x}}+m={{log }_{5}}left( x-m right)$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left( -20;20 right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20                                  B. 19                                       C. 9                                    D. 21

Lời giải

Điều kiện: $x>m$. Phương trình $Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{log }_{5}}left( x-m right)$

$Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{log }_{5}}left( x-m right)}}+{{log }_{5}}left( x-m right)Leftrightarrow fleft( x right)=fleft[ {{log }_{5}}left( x-m right) right]$

$Leftrightarrow x={{log }_{5}}left( x-m right)Leftrightarrow {{5}^{x}}=x-mLeftrightarrow m=x-{{5}^{x}}=gleft( x right)$.

Xét hàm số $gleft( x right)=x-{{5}^{x}}$ trên $left( -infty ;+infty  right)$, có ${g}’left( x right)=0Leftrightarrow x=-{{log }_{5}}left( ln 5 right)$

Dựa vào bảng biến thiên $Rightarrow $ Phương trình có nghiệm khi $mle gleft( -{{log }_{5}}ln 5 right)approx -0,92$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left( -20;20 right)xrightarrow{{}}$ có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left[ -10;10 right]$ để bất phương trình $4log _{2}^{2}sqrt{x}+{{log }_{2}}x+mge 0$ nghiệm đúng với mọi $xin left( 1;64 right)$?

A. 11                                  B. 3                                         C. 8                                    D. 16

Lời giải

Bất phương trình $Leftrightarrow 4{{left( {{log }_{2}}sqrt{x} right)}^{2}}+{{log }_{2}}x+mge 0Leftrightarrow {{left( {{log }_{2}}x right)}^{2}}+{{log }_{2}}x+mge 0$             (*)

Đặt $t={{log }_{2}}x$ với $text{x}in left( 1;64 right)xrightarrow{{}}tin left( 0;6 right)$, khi đó (*) $Leftrightarrow mge fleft( t right)=-{{t}^{2}}-t;forall tin left( 0;6 right)$.

Xét hàm số $fleft( t right)=-{{t}^{2}}-t$ trên $left( 0;6 right)$, có ${f}’left( t right)=-2t-1<0;forall tin left( 0;6 right)$.

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số nghịch biến trên $left( 0;6 right)xrightarrow{{}}underset{left( 0;6 right)}{mathop{max }},fleft( t right)=fleft( 0 right)=0$.

Do đó $mge fleft( t right);forall tin left( 0;6 right)Leftrightarrow mge 0$. Kết hợp $left{ begin{array}  {} min mathbb{Z} \  {} -10le mle 10 \ end{array} right.xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $min left[ -10;10 right]$ để bất phương trình

$log _{2}^{2}left( 2text{x} right)-2left( m+1 right){{log }_{2}}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $left( sqrt{2};+infty  right)$?

A. Vô số                             B. 17                                       C. 3                                    D. 10

Lời giải

Bất phương trình $Leftrightarrow {{left( 1+{{log }_{2}}x right)}^{2}}-2left( m+1 right){{log }_{2}}x-2<0$                     (*)

Đặt $t={{log }_{2}}x$. Vì $x>sqrt{2}$ nên ${{log }_{2}}x>{{log }_{2}}sqrt{2}=frac{1}{2}Rightarrow t>frac{1}{2}$.

Khi đó (*) $Leftrightarrow {{left( 1+t right)}^{2}}-2left( m+1 right)t-2<0Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1<0$

$Leftrightarrow m>fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-1}{2t};forall tin left( frac{1}{2};+infty  right)Leftrightarrow m>underset{left( frac{1}{2};+infty  right)}{mathop{min }},fleft( t right)$

Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-1}{2t}$ trên $left( frac{1}{2};+infty  right)$, có ${f}’left( t right)=frac{1}{2}+frac{1}{2{{t}^{2}}}>0$;

Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left( frac{1}{2};+infty  right)$ nên $m>underset{left( frac{1}{2};+infty  right)}{mathop{min }},fleft( t right)=fleft( frac{1}{2} right)=frac{3}{4}$.

Kết hợp với $min mathbb{Z}$ và $min left[ -10;10 right]xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình $ln left( 2{{text{x}}^{2}}+3 right)>ln left( {{x}^{2}}+ax+1 right)$ nghiệm đúng với mọi $xin mathbb{R}$?

A. 1                                    B. 2                                         C. 0                                    D. 3

Lời giải

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{x}^{2}}+ax+1>0 \  {} 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \ end{array} right.;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} fleft( x right)={{x}^{2}}+ax+1>0 \  {} gleft( x right)={{x}^{2}}-ax+2>0 \ end{array} right.;forall xin mathbb{R}$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{Delta }_{fleft( x right)}}<0 \  {} {{Delta }_{gleft( x right)}}<0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{a}^{2}}-4<0 \  {} {{a}^{2}}-8<0 \ end{array} right.Leftrightarrow {{a}^{2}}-4<0Leftrightarrow left( a-2 right)left( a+2 right)<0Leftrightarrow -2<a<2$.

Kết hợp với $ain mathbb{Z}xrightarrow{{}}a=left{ -1;0;1 right}$ là các giá trị cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 35: Cho bất phương trình $1+{{log }_{5}}left( {{x}^{2}}+1 right)ge {{log }_{5}}left( m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m right)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình luôn đúng với mọi $xin mathbb{R}$.

A. 3                                    B. 0                                         C. 1                                    D. 2

Lời giải

Ta có $1+{{log }_{5}}left( {{x}^{2}}+1 right)ge {{log }_{5}}left( m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m right)Leftrightarrow {{log }_{5}}left( 5{{text{x}}^{2}}+5 right)ge {{log }_{5}}left( m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m right)$

Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m>0 \  {} 5{{text{x}}^{2}}+5ge m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m \ end{array} right.;forall xin mathbb{R}$

$Leftrightarrow left{ begin{array}  {} fleft( x right)=m{{text{x}}^{2}}+4text{x}+m>0;forall xin mathbb{R}(1) \  {} gleft( x right)=left( m-5 right){{x}^{2}}+4text{x}+m-5le 0;forall zin mathbb{R}(2) \ end{array} right.$

Giải (1), ta có $fleft( x right)>0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=m>0 \  {} {Delta }’={{2}^{2}}-{{m}^{2}}<0 \ end{array} right.Leftrightarrow m>2$.

Giải (2), ta có $gleft( x right)le 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=m-5<0 \  {} {Delta }’=4-{{left( m-5 right)}^{2}}le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow mle 3$.

Khi đó $2<mle 3$ là giá trị cần tìm, kết hợp $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}m=3$. Chọn C.

Ví dụ 36: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình $log _{2}^{2}x-2{{log }_{2}}x+3m-2<0$ có nghiệm thực?

A. $m<1$                           B. $mle 1$                            C. $m<frac{2}{3}$             D. $m<0$

Lời giải

Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={{log }_{2}}x$, với $x>0$ suy ra $tin left( -infty ;+infty  right)$.

Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-2t+3m-2<0Leftrightarrow 3m<-{{t}^{2}}+2t+2$            (*).

Để bất phương trình (*) có nghiệm $Leftrightarrow 3m<M=underset{left( -infty ;+infty  right)}{mathop{max }},left{ -{{t}^{2}}+2t+2 right}$          (1)

Ta có $-{{t}^{2}}+2t+2=3-{{left( t-1 right)}^{2}}le 3,forall tin mathbb{R}$ suy ra $M=3$                                     (2)

Từ (1), (2) suy ra $3m<3Leftrightarrow m<1$ là giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 37: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình ${{log }_{2}}x+mge frac{1}{2}{{x}^{2}}$ có nghiệm $xin left[ 1;3 right]$?

A. $left[ frac{1}{sqrt{ln 2}};+infty  right)$                    B. $left[ frac{9}{2}-{{log }_{2}}3;+infty  right)$

C. $left[ frac{1}{2};+infty  right)$                                   D. $left[ frac{1}{2ln 2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}left( ln 2 right);+infty  right)$.

Lời giải

Bất phương trình $Leftrightarrow mge frac{1}{2}{{x}^{2}}-{{log }_{2}}x=fleft( x right)Rightarrow mge underset{left[ 1;3 right]}{mathop{min }},fleft( x right)$

Ta có ${f}’left( x right)=x-frac{1}{xln 2}Rightarrow {f}’left( x right)=0Leftrightarrow x-frac{1}{xln 2}=0Leftrightarrow x=pm frac{1}{sqrt{ln 2}}$.

Tính $left{ begin{array}  {} fleft( 1 right)=frac{1}{2} \  {} fleft( frac{1}{sqrt{ln 2}} right)=frac{1}{2ln 2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}left( ln 2 right) \  {} fleft( 3 right)=frac{9}{2}-{{log }_{2}}3 \ end{array} right.Rightarrow underset{left[ 1;3 right]}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( frac{1}{sqrt{ln 2}} right)=frac{1}{2ln 2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}left( ln 2 right)$

Suy ra $mge frac{1}{2ln 2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}left( ln 2 right)Leftrightarrow min left[ frac{1}{2ln 2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}left( ln 2 right);+infty  right)$. Chọn D.

.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button