Kiến thức

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Bài tập vận dụng!

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Bạn đang xem: Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Xét bài toán khoảng cách trong không gian.

Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên $left( SHB right)$.

Kẻ $AHbot HB$ ta có:

$left{ begin{array}  {} AKbot HB \  {} AKbot SH \ end{array} right.Rightarrow AKbot left( SHB right)$

Suy ra $dleft( A;left( SHB right) right)=AK$.

Cách tính:

Ta có: $dleft( A;left( SHB right) right)=AK=frac{2{{S}_{AHB}}}{HB}$

$=ABsin widehat{ABK}=AH.sin widehat{AHK}$.

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có $AB=3a,BC=2a,widehat{ABC}=60{}^circ $. Biết $SAbot left( ABC right)$.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAB right)$.

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $left( SAC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựng $CHbot AB$ ta có: $left{ begin{array}  {} CHbot AB \  {} CHbot SA \ end{array} right.Rightarrow CHbot left( SAB right)$

Do đó

$dleft( C;left( SAB right) right)=CH=CBsin widehat{ABH}=2asin 60{}^circ =asqrt{3}$.

b) Dựng $CKbot ACRightarrow CKbot left( SAC right)$.

Ta có: $dleft( B;left( SAC right) right)=CH=frac{2{{S}_{ABC}}}{AC}=frac{AB.BCsin widehat{ABC}}{AC}$

Trong đó $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BA.BCcos widehat{B}$

$Rightarrow AC=asqrt{7}Rightarrow dleft( B;left( SAC right) right)=frac{3a.2a.sin 60{}^circ }{asqrt{7}}=frac{3asqrt{21}}{7}$.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $B=a,AD=asqrt{3}$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SHD right)$.

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SHC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác SAB cân tại S nên $SHbot AB$.

Ta có: $HA=HD=frac{a}{2}$.

Mặt khác $left( SAB right)bot left( ABCD right)Rightarrow SHbot left( ABCD right)$.

Dựng $AEbot DHRightarrow AEbot left( SHD right)Rightarrow dleft( A;left( SHD right) right)=AE$.

Mặt khác $AE=frac{AH.AD}{sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{39}}{13}$.

b) Dựng $DKbot CHRightarrow dleft( D;left( SHC right) right)=DK$.

Ta có: $CH=sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{13}}{2}$, ${{S}_{HCD}}=frac{1}{2}CD.dleft( H;CD right)=frac{1}{2}text{.}atext{.}asqrt{3}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$.

Do đó $dleft( D;left( SHC right) right)=frac{2{{S}_{HCD}}}{CH}=frac{2asqrt{39}}{13}$.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có $AD=3a$, $AB=BC=2a$. Biết $SAbot left( ABCD right)$.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAD right)$.

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựng $CEbot ADRightarrow CEbot left( SAD right)$.

Khi đó $dleft( C;left( SAD right) right)=CE$, do ABCE là hình vuông cạnh $2a$ nên $CE=AE=2aRightarrow dleft( C;left( SAD right) right)=2a$.

b) Dựng $DHbot ACRightarrow DHbot left( SAC right)$.

Khi đó $dleft( D;left( SAC right) right)=DH$.

Ta có: ABCE là hình vuông nên $widehat{CAD}=45{}^circ $.

Do đó $DH=ADsin45{}^circ =3a.frac{sqrt{2}}{2}=frac{3asqrt{2}}{2}$.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $5a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $left( ABCD right)$ trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAC right)$.

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SHD right)$.

Lời giải chi tiết

a) Do H là trọng tâm tam giác ABD $Rightarrow Hin AC$.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $Rightarrow BObot AC$.

Mặt khác $BObot SHRightarrow BObot left( SAC right)$

Khi đó $dleft( B;left( SAC right) right)=BO=frac{5asqrt{2}}{2}$.

b) Dựng $CKbot HDRightarrow CKbot left( SHD right)Rightarrow dleft( C;left( SHD right) right)=CK$.

Gọi I là trung điểm của AB thì $H=DIcap AO$.

Khi đó: $CK=frac{2{{S}_{ICD}}}{DI}=frac{2.frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}}{DI}=frac{25{{a}^{2}}}{sqrt{D{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=frac{25{{a}^{2}}}{sqrt{25{{a}^{2}}+{{left( frac{5a}{2} right)}^{2}}}}=2asqrt{5}$.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh $a$, với $AB=2a$. Biết $SAbot left( ABCD right)$ và mặt phẳng $left( SBC right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAB right)$.

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh $a$ nên nó nội tiếp đường tròn đường kính $AB=2a$.

Dựng $CHbot ABRightarrow CHbot left( SAB right)Rightarrow dleft( C;left( SAB right) right)=CH$.

Mặt khác $widehat{ABC}=60{}^circ Rightarrow CH=BCsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}$.

Vậy $dleft( C;left( SAB right) right)=frac{asqrt{3}}{2}$.

b) Dựng $DKbot ACRightarrow DKbot left( SAC right)Rightarrow dleft( D;left( SAC right) right)=DK$.

Do $widehat{DCB}=120{}^circ ,widehat{ACB}=90{}^circ Rightarrow widehat{ACD}=30{}^circ Rightarrow DK=CDsin widehat{DCK}=asin 30{}^circ =frac{a}{2}$.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, $AB=sqrt{2},BC=2$. Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng $left( SBD right)$ và $left( SAM right)$ cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng $left( SAM right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{Delta ABC}}=2{{S}_{Delta MAB}}=2Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}={{S}_{Delta MAB}}=1$.

$Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}.AB.BC.sin widehat{ABC}=1Rightarrow sin widehat{ABC}=frac{1}{sqrt{2}}$.

Do đó $widehat{ABC}=45{}^circ Rightarrow widehat{ADM}=45{}^circ $.

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:

$AM=sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-2.AD.DM.coswidehat{ADM}}=frac{sqrt{10}}{2}$

Gọi H là giao điểm của AM và BD $Rightarrow SHbot left( ABCD right)$.

Kẻ BK vuông góc với AM, $Kin AMRightarrow BKbot AM$ $left( 1 right)$.

Ta có $left( SAM right)cap left( SBD right)=SHRightarrow SHbot left( ABCD right)Rightarrow SHbot BK$ $left( 2 right)$.

Từ $left( 1 right)$,$left( 2 right)$$Rightarrow BKbot left( SAM right)Rightarrow dleft( B;left( SAM right) right)=BK$.

Mặt khác ${{S}_{Delta MAB}}=frac{1}{2}.BK.AMRightarrow BK=frac{2.{{S}_{Delta MAB}}}{AM}=frac{4}{sqrt{10}}=frac{2sqrt{10}}{5}$.

Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo $AC=BD=2a$. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $left( A’AB right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính khoảng cách $dleft( B’;left( A’BD right) right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD

$Rightarrow $$HA=HCRightarrow A’Hbot BD$ (Do $Delta A’BD$ cân tại A’).

Do $left( A’BD right)bot left( ABCD right)Rightarrow A’Hbot left( ABCD right)$.

Ta có: $A’H=frac{1}{2}BD=a$ (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Dựng $HMbot ABRightarrow ABbot left( A’HM right)Rightarrow oversetfrown{A’MH}=60{}^circ $

+) Khi đó: $HMtan 60{}^circ =A’HRightarrow HM=frac{a}{sqrt{3}}$

$Rightarrow AD=2HM=frac{2a}{sqrt{3}}Rightarrow AB=2asqrt{frac{2}{3}}$

Do: $A’D//B’CRightarrow B’C//left( A’BD right)Rightarrow dleft( B’;left( A’BD right) right)=dleft( C;left( A’BD right) right)$.

Ta có: $CE=frac{CD.CB}{BD}=frac{2asqrt{2}}{3}$. Vậy $dleft( B’;left( A’BD right) right)=frac{2asqrt{2}}{3}$.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button