Kiến thức

Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Bài tập vận dụng!

Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải {} bài tập có đáp án

Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Phương pháp giải: bài toán viết pttt tại 1 điểm

Cho hàm số $y=fleft( x right)left( C right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $Aleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)in left( C right)$ là

$y={f}’left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right)$.

Trong đó ${{x}_{0}}$ được gọi là hoành độ tiếp điểm: ${{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)$ là tung độ tiếp điểm và $k={f}’left( {{x}_{0}} right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm $Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ được gọi là tiếp điểm.

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3text{x}left( C right)$ tại:

a) Điểm $Aleft( 1;4 right)$.

b) Điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-1$

c) Điểm có tung độ ${{y}_{0}}=14$.

d) Giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $d:y=3x-8$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${f}’left( x right)=3{{text{x}}^{2}}+3Rightarrow {f}’left( 1 right)=6$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( 1;4 right)$ là $y=6left( x-1 right)+4=6text{x}-2$

b) Với $x={{x}_{0}}=-1Rightarrow fleft( {{x}_{0}} right)=-4Rightarrow {f}’left( {{x}_{0}} right)=6$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là $y=6left( x+1 right)-4=6x+2$

c) Với ${{y}_{0}}=14Rightarrow {{x}^{3}}+3x=14Leftrightarrow {{x}_{0}}=2;{f}’left( 2 right)=15$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=15left( x-2 right)+14=15x-16$

d) Hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $d$ là ${{x}^{3}}+3text{x}=3x-8Leftrightarrow x=-2$

Với $x=-2Rightarrow y=-14Rightarrow {f}’left( -2 right)=15$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=15left( x+2 right)-14=15x+16$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=frac{x-2}{2x+1}left( C right)$.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có tung độ ${{y}_{0}}=3$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $d:y=x-2$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}’=frac{5}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}$

a) Ta có: ${{y}_{0}}=3Rightarrow frac{x-2}{2x+1}=3Leftrightarrow 5text{x}=-5Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1Rightarrow {y}’left( -1 right)=5$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=5left( x+1 right)+3$ hay $y=5x+8$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và $left( C right)$ là: $frac{x-2}{2x+1}=x-2Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=2 \  {} x=0 \ end{array} right.$

Với ${{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=0;{y}’left( 2 right)=frac{1}{5}$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$.

Với ${{x}_{0}}=0Rightarrow {{y}_{0}}=-2;{y}’left( 0 right)=5$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=5x-2$.

Bài tập 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4x+2$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. $y=-x-2$  B. $y=x-2$  C. $y=-x$  D. $y=-x+1$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=-1;{f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-4Rightarrow {f}’left( 1 right)=-1$

Do vậy PTTT là: $y=-left( x-1 right)-1=-x$. Chọn C.

Bài tập 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{2x+1}{x-1}left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục tung là:

A. $y=-3x-1$  B. $y=-3x-3$  C. $y=-3x$  D. $y=-3x+3$

Lời giải chi tiết

$left( C right)cap Oy=Aleft( 0;-1 right)$. Lại có ${y}’=frac{-3}{{{left( x-1 right)}^{2}}}Rightarrow {y}’left( 0 right)=-3$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.

Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=sqrt{x+2}-sqrt{3-x}$ tại điểm có hoành độ $x-2$ là:

A. $y=frac{3}{4}x+frac{3}{2}$  B. $y=frac{3}{4}x-frac{1}{2}$  C. $y=frac{3}{4}x-frac{3}{2}$               D. $y=frac{3}{2}x+frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Với $x=2Rightarrow y=1$. Lại có ${f}’left( x right)=frac{1}{2sqrt{x+2}}+frac{1}{2sqrt{3-x}}Rightarrow {f}’left( 2 right)=frac{3}{4}$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{3}{4}left( x-2 right)+1=frac{3}{4}x-frac{1}{2}$. Chọn B.

Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+1$ tại điểm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${{f}’}’left( {{x}_{0}} right)=4$ là:

A. $y=-3x+1$  B. $y=-4x-1$  C. $y=4x-1$  D. $y=-4x+1$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-8xRightarrow {{f}’}’left( x right)=6x-8$.

Giải ${{f}’}’left( x right)=4Leftrightarrow {{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=-7;{f}’left( 2 right)=-4$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x-2 right)-7=-4x+1$. Chọn D.

Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$ là:

A. $y=4x+1$  B. $y=-4x-1$  C. $y=4x+2$  D. $y=4x+3$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-1$. Mặt khác ${y}’=4{{x}^{3}}-8xRightarrow {y}’left( -1 right)=4$

Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4left( x+1 right)-1=4x+3$. Chọn D.

Bài tập 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{x-2}{2x+1}left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục hoành là:

A. $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$  B. $y=frac{1}{25}left( x-2 right)$  C. $y=frac{2}{5}left( x-2 right)$               D. $y=frac{-3}{25}left( x-2 right)$

Lời giải chi tiết

Ta có: $left( C right)cap Ox=Aleft( 2;0 right)$. Mặt khác ${f}’left( x right)=frac{5}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}Rightarrow {f}’left( 2 right)=frac{1}{5}$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $Aleft( 2;0 right)$là: $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$. Chọn A.

Bài tập 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3x+1left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ cắt đồ thị $left( C right)$ tại điểm thứ 2 có hoành độ là:

A. 0 B. $-2$  C. 3 D. $-1$

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=1Rightarrow y=0;{f}’left( x right)=6{{x}^{2}}-3Rightarrow {f}’left( 1 right)=3$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=3left( x-1 right)left( d right)$

Xét $dcap left( C right)Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3left( x-1 right)Leftrightarrow left[ begin{array}  {} x=1 \  {} x=-2 \ end{array} right.$. Chọn B.

.Bài tập 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{2x-1}{x+2}$ tại điểm có tung độ bằng $-3$ là:

A. $y=3x+2$  B. $y=5left( x+1 right)$ C. $y=3x+5$  D. $y=5x+2$

Lời giải chi tiết

Giải $frac{2x-1}{x+2}=-3Leftrightarrow left{ begin{array}{} xne -2 \{} 2x-1=-3x-6 \end{array} right.Leftrightarrow x=-1$. Lại có ${f}’left( x right)=frac{5}{{{left( x+2 right)}^{2}}}Rightarrow {f}’left( -1 right)=5$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=5left( x+1 right)-3=5x+2$. Chọn D.

Bài tập 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2$ tại thời điểm có hoành độ $x=-1$ cắt trục hoành tại điểm.

A. $Aleft( 0;-1 right)$  B. $Aleft( -frac{7}{2};0 right)$  C. $Aleft( -frac{7}{4};0 right)$               D. $Aleft( -frac{1}{4};0 right)$

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=-1;y=3;{y}’left( -1 right)=-4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x+1 right)+3=-4x-1left( d right)$.

Do đó $dcap Ox=Aleft( frac{-1}{4};0 right)$. Chọn D.

Bài tập 12: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1left( C right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là:

A. $d=frac{2}{sqrt{5}}$  B. $d=frac{2sqrt{5}}{5}$  C. $d=frac{1}{sqrt{5}}$               D. $d=2$

Lời giải chi tiết

Ta có $x=1Rightarrow y=0;{f}’left( 1 right)=8-6=2$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=2left( x-1 right)left( d right)$.

Do đó $d:2text{x}-y-2=0$ suy ra $dleft( 0;d right)=frac{left| -2 right|}{5}$. Chọn A.

Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=frac{left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.

Bài tập 13: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+mtext{x}left( C right)$. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ của $left( C right)$ bằng $sqrt{2}$ là:

A. $left[ begin{array}  {} m=-4 \  {} m=-1 \ end{array} right.$  B. $left[ begin{array}  {} m=-5 \  {} m=-3 \ end{array} right.$               C. $left[ begin{array}  {} m=-4 \  {} m=-2 \ end{array} right.$               D. $left[ begin{array}  {} m=-2 \  {} m=0 \ end{array} right.$.

Lời giải chi tiết

Với ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=1+m;{f}’left( 1 right)=3+m$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=left( m+3 right)left( x-1 right)+m+1left( d right)$

$dleft( O;d right)=frac{left| -m-3+m+1 right|}{sqrt{{{left( m+3 right)}^{2}}+1}}=sqrt{2}Leftrightarrow {{left( m+3 right)}^{2}}+1=2Leftrightarrow left[ begin{array}  {} m=-4 \  {} m=-2 \ end{array} right.$. Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive