Kiến thức

Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình hình chiếu của trên

Trang chủ

Lớp 12

Toán lớp 12 Nâng cao

Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không…

Bạn đang xem: Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình hình chiếu của trên

Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình hình chiếu của trên…

<!–

Chia sẻ

–>

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình
a) Viết phương trình hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua đường thẳng .
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng và
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả và ’.. Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận

Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (Delta ) có phương trình ({{x – 1} over 2} = {{y + 1} over { – 1}} = {z over 3}.)
a) Viết phương trình hình chiếu của (Delta ) trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (x + 5y + z + 4 = 0) đi qua đường thẳng (Delta ).
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng (Delta ) và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (Delta ) và (Delta ‘:x = y = z.)
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả (Delta ) và ’(Delta ‘).

a) Đường thẳng (Delta ) có phương trình tham số là:

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 3t hfill cr} right.)

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu ({d_1}) của (Delta ) trên (Oxy) có phương trình tham số là 

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = – 1 + t hfill cr
z = 0 hfill cr} right.)

Hình chiếu ({d_2}) của (Delta ) trên (Oyz) là

(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 3t hfill cr} right..)

Hình chiếu ({d_3}) của (Delta ) trên (Oxz) là 

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = 0 hfill cr
z = 3t hfill cr} right..)

b) Lấy điểm (Mleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} right) in Delta ,) thay tọa độ của M vào phương trình (mpleft( alpha  right)) ta có:
(1 + 2t – 5left( {1 + t} right) + 3t + 4 = 0 Rightarrow M in left( alpha  right).)
Vậy (Delta  subset left( alpha  right),) tức (mpleft( alpha  right)) đi qua (Delta ).
c) (Delta ) qua điểm (Mleft( {1; – 1;0} right)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {2; – 1;3} right).)
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow i left( {1;0;0} right)).
Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Ox là:

({h_1} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow i } right].overrightarrow {OM} } right|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow i } right]} right|}} = {{left| { – 3} right|} over {sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3sqrt {10} } over {10}}.)

Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Oy là:

Quảng cáo

({h_2} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow j } right].overrightarrow {OM} } right|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow j } right]} right|}} = {{left| { – 3} right|} over {sqrt {{{left( { – 3} right)}^2} + {2^2}} }} = {{3sqrt {13} } over {13}}.)

Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Oz là:

({h_3} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } right].overrightarrow {OM} } right|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } right]} right|}} = {{left| 1 right|} over {sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{sqrt 5 } over 5}.)

d) Lấy (Pleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} right) in Delta ,,Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {2; – 1;3} right).)
(Qleft( {t’,t’,t’} right) in Delta ‘,,,Delta ‘) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {u’} left( {1;1;1} right).)
Ta có (overrightarrow {QP}  = left( {1 + 2t – t’, – 1 – t – t’,3t – t’} right).)

PQ là đường vuông góc chung của (Delta ) và (Delta ‘) khi và chỉ khi (overrightarrow {PQ}  bot overrightarrow u ) và (overrightarrow {PQ}  bot overrightarrow {u’} ,) tức là:

(eqalign{
& left{ matrix{
overrightarrow {QP} .overrightarrow u = 0 hfill cr
overrightarrow {QP} .overrightarrow {u’} = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2left( {1 + 2t – t’} right) – left( { – 1 – t – t’} right) + 3left( {3t – t’} right) = 0 hfill cr
1 + 2t – t’ – 1 – t – t’ + 3t – t’ = 0 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
14t – 4t’ = – 3 hfill cr
4t – 3t’ = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
t = – {9 over {26}} hfill cr
t’ = – {6 over {13}} hfill cr} right.. cr} )

Do đó (Qleft( { – {6 over {13}}; – {6 over {13}}; – {6 over {13}}} right)) và (overrightarrow {QP}  = left( {{{20} over {16}},{{ – 5} over {16}},{{ – 15} over {16}}} right) = {5 over {16}}left( {4; – 1; – 3} right).)

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương (overrightarrow v  = left( {4; – 1; – 3} right).) Do đó PQ có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = – {6 over {13}} + 4t hfill cr
y = – {6 over {13}} – t hfill cr
z = – {6 over {13}} – 3t hfill cr} right..)

e) Lấy điểm (Pleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} right) in Delta .)

(Qleft( {t’,t’,t’} right) in Delta ‘.)

PQ // Oz ( Leftrightarrow overrightarrow {QP} ) cùng phương với 

(overrightarrow k = left( {0;0;1} right) Leftrightarrow left{ matrix{
1 + 2t – t’ = 0 hfill cr
– 1 – t – t’ = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
t = – {2 over 3} hfill cr
t’ = – {1 over 3}. hfill cr} right.)

Vậy PQ đi qua (Qleft( { – {1 over 3}, – {1 over 3}, – {1 over 3}} right)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow k  = left( {0;0;1} right)) nên PQ có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = – {1 over 3} hfill cr
y = – {1 over 3} hfill cr
z = – {1 over 3} + t hfill cr} right..)

    Bài học:

  • Ôn tập cuối năm Toán Hình 12 nâng cao 12: Bài tập tự luận

    Chuyên mục:

<!–

Chia sẻ

–>

Bài trước

Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4). Chứng tỏ rằng bốn

Bài tiếp theo

Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1). Tìm quỹ tích các điểm M sao cho b) Tìm

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button