Kiến thức

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm-Hoc24

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

Bạn đang xem: Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm-Hoc24

1.  Định nghĩa đạo hàm

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số    khi x → x0  được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  x0, kí hiệu là f'( x0) hay y'( x0). Như vậy:

                      f'( x0 ) =  .

   Nếu đặt x – x0 = ∆x và ∆y = f(x0+∆x) – f(x0) thì ta có

                      f'(x0) =  

   Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Xem thêm: Điểm chuẩn vào lớp 10 TP HCM năm 2017

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại x0 ,tính ∆y = f(x0+∆x)- f(x0);

Bước 2. Lập tỉ số ;

Bước 3. Tính  .

Nhận xét: nếu thay x0 bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý.

  • Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
  • Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Xem thêm: Trắc nghiệm về các bài toán về parabol lớp 10 có lời giải-TÀI LIỆU RẺ

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0(x0;f(x0)) là

                      y – f(x0) = f'(x0)(x-x0)

Xem thêm: kính lúp là gì?-thuvienhoidap.net

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

v(t) = s'(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

6. Các dạng toán cơ bản :

Loại 1 : Tính đạo hàm bằng công thức :

Ví dụ 1 :

Tính đạo hàm của hàm số (fleft(xright)=frac{1}{x}) tại điểm (x_0=2)

Bài giải :

Giả sử (Delta x) là số gia của đối số tại  (x_0=2). Ta có :

(Delta y=fleft(2+ Delta xright)-fleft(2right)=frac{1}{2+Delta x}-frac{1}{2}=-frac{Delta x}{2left(2+Delta xright)})

(frac{Delta y}{Delta x}=-frac{1}{2left(2+Delta xright)})

(limlimits_{Delta xrightarrow0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta xrightarrow0}frac{-1}{2left(2+Delta xright)}=-frac{1}{4})

Vậy (f’left(2right)=-frac{1}{4})

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm hàm số : (y=sqrt{x+sqrt{x}}+sqrt{x})

Bài giải :

Xét hàm số : (y=sqrt{x+sqrt{x}}+sqrt{x}) ta có (y’=frac{left(x+sqrt{x}right)’}{2sqrt{x+sqrt{x}}}+frac{1}{2sqrt{x}}=frac{1+frac{1}{2sqrt{x}}}{2sqrt{x+sqrt{x}}}+frac{1}{2sqrt{x}})

                                                                     (=frac{1+2sqrt{x}}{4sqrt{x}sqrt{x+sqrt{x}}}+frac{1}{2sqrt{x}}=frac{1+2sqrt{x}+2sqrt{x+sqrt{x}}}{4sqrt{x}sqrt{x+sqrt{x}}})

Loại 2 : Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm :

Ví dụ 1:

Cho (y=e^{-x}.sin x)chứng minh hệ thức (y”+2y’+2y=0)

Bài giải :

Ta có (y’=-e^{-x}.sin x+e^{-x}.cos x)

         (y”=e^{-x}.sin x-e^{-x}.cos x-e^{-x}.cos x-e^{-x}.sin x=-2e^{-x}.cos x)

Vậy (y”+2y’+2y=-2.e^{-x}.cos x–2.e^{-x}.sin x+2.e^{-x}.cos x+2.e^{-x}.sin x=0)

Ví dụ 2 : 

Cho (y=frac{1}{2}x^2e^x),chứng minh hệ thức (y”-2’+y=e^x)

Bài giải :

Ta có : (y’=xe^x+frac{1}{2}x^2e^x)

         (y”=e^x+xe^x+xe^x+frac{1}{2}x^2e^x=e^x+3xe^x+frac{1}{2}x^2e^x)

Khi đó : (y”+2y’+y=e^x+2xe^x+frac{1}{2}x^2e^x-x^2e^x+frac{1}{2}x^2e^x=e^x)

Ví dụ 3 : Cho (y=sqrt{2x+x^2}), chứng minh rằng ta có hệ thức (y^3y”+1=0)

Bài giải :

Ta có : (y’=frac{2+2x}{2sqrt{2x+x^2}}=frac{1+x}{sqrt{2x+x^2}})

           (y”=frac{sqrt{2x+x^2}-left(1+xright)frac{1+x}{sqrt{2x+x^2}}}{2x+x^2}=frac{2x+x^2-left(1+xright)^2}{2x+x^2sqrt{2x+x^2}}=frac{-1}{2x+x^2sqrt{2x+x^2}})

Ta có :(y^3y”+1=left(2x+x^2right)sqrt{2x+x^2}left(frac{-1}{left(2x+x^2right)sqrt{2x+x^2}}right)+1=0)

Loại 3 : Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Ví dụ 1: Cho (fleft(xright)=x^3ln x), giải phương trình :

(f’left(xright)-frac{1}{x}fleft(xright)=0) (1)

Bài giải :

Ta có (fleft(xright)=3x^2ln x+x^3.frac{1}{x}=3x^2ln x+x^2)

Vậy (1) (Leftrightarrow3x^2ln x+x^2-x^2ln x=0)

             (Leftrightarrow2x^2ln x+x^2=0)

             (Leftrightarrow x^2left(2ln x+1right)=0)   (2)

Rõ ràng (x>0) là điều kiện tồn tại phương trình nên :

(left(2right)Leftrightarrow2ln x+1=0)

      (Leftrightarrowln x=-frac{1}{2})

      (Leftrightarrow x=frac{1}{e^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{e}})

Ví dụ 2 :

Cho (fleft(xright)=2x^2cos^2frac{x}{2}) và (gleft(xright)=x-x^2sin x). Giải phương trình (fleft(xright)=gleft(xright)) (1)

Bài giải :

Ta có : (f’left(xright)=4xcos^2frac{x}{2}+2x^2cosfrac{1}{2}left(-frac{1}{2}sinfrac{x}{2}right)=4xcos^2frac{x}{2}-x^2sin x)

Vậy (1) (Leftrightarrow4xcos^2frac{x}{2}-x^2sin x=x-x^2sin x)

             (Leftrightarrow4xcos^2frac{x}{2}=x)

             (Leftrightarrowleft[begin{array}{nghiempt}x=0\cos^2frac{x}{2}=frac{1}{4}end{array}right.)(Leftrightarrowleft[begin{array}{nghiempt}x=0\1+cos x=frac{1}{2}end{array}right.) (Leftrightarrowleft[begin{array}{nghiempt}x=0\cos x=-frac{1}{2}end{array}right.)(Leftrightarrowleft[begin{array}{nghiempt}x=0\x=pmfrac{2pi}{3}+k2pi,kin Zend{array}right.)

 

Ví dụ 3 : Cho (fleft(xright)=2x^3+12x^2) và (gleft(xright)=9x^2+72x), giải phương trình (f’left(xright)+g’left(xright)le0)

Bài giải :

Ta có : (f’left(xright)=6x^2+24x)

            (g’left(xright)=18x+72)

Khi đó (1) (Leftrightarrow6x^2+24x+18+72le0)

                 (Leftrightarrow x^2+7x+12le0)

                 (Leftrightarrow-4le xle-3)

Loại 4 : Đạo hàm cấp cao :

Ví dụ  : Cho (fleft(xright)=frac{5x-3}{x^2-3x+2}); tìm (f^{left(nright)}left(xright))

Bài giải :

Ta hãy tìm A, B sao cho : (frac{5x-3}{x^2-3x+2}=frac{5x-3}{left(x-1right)left(x-2right)}=frac{A}{x-1}+frac{B}{x-2}) (1)

Từ (1) ta có (5x-3=Aleft(x-2right)+Bleft(x-1right)=xleft(A+Bright)-left(2A+Bright))

(Rightarrowbegin{cases}A+B=5\2A+B=3end{cases}) (Rightarrowbegin{cases}A=-2\B=7end{cases})

Vậy (fleft(xright)=frac{5x-3}{x^2-3x+2}=frac{-2}{left(x-1right)}+frac{7}{left(x-2right)})

(Rightarrow f^{left(nright)}left(xright)=-2left(frac{1}{x-1}right)^{left(nright)}+7left(frac{1}{x-2}right)^{left(nright)})

Từ ví dụ trên, suy ra :

(f^{left(nright)}left(xright)=7left(-1right)^nn!frac{1}{left(x-2right)^{n+1}}-2left(-1right)n!frac{1}{left(x-1right)^{n+1}}=left(-1right)^nn!left[frac{7}{left(x-2right)^{n+1}}-frac{2}{left(x-1right)^{n+1}}right])

Loại 5 : Bài toán sử dụng định nghĩa đạo hàm :

Ví dụ 1 : Cho hàm số (fleft(xright)=begin{cases}frac{1-cos x}{x};xne0\2;x=0end{cases}) có tồn tại đạo hàm (fleft(xright)) tại (x=0) hay không ?

Bài giải : 

Ta có : (limlimits_{xrightarrow0}fleft(xright)=limlimits_{xrightarrow0}frac{1-cos x}{x}=limlimits_{xrightarrow0}frac{2sin^2frac{x}{2}}{x})

                          (=limlimits_{xrightarrow0}frac{sinfrac{x}{2}}{frac{x}{2}}.limlimits_{xrightarrow0}sinfrac{x}{2}=1.0=0)

Do đó (limlimits_{xrightarrow0}fleft(xright)ne fleft(0right))  vậy (fleft(xright)) là hàm số không liên tục tại (x=0) suy ra (fleft(xright)) không có đạo hàm tại x = 0 (không thỏa mãn điều kiện cần)

Ví dụ 2 : Cho hàm số (fleft(xright)) xác định trên R và thỏa mãn.

(left(fleft(xright)-fleft(yright)right)^2leleft|x-yright|^3)mọi (x,yin R)

Chứng minh rằng hàm số (fleft(xright)) có đạo hàm trên R

Bài giải :

Lấy (x_0) tùy ý thuộc R. Từ giả thiết ta có :

(left(fleft(x_0+Delta xright)-fleft(x_0right)right)^2leleft|x_0+Delta x-x_0right|^3)

(Leftrightarrowleft(frac{fleft(x_0+Delta xright)-fleft(x_0right)}{Delta x}right)^2leleft|Delta xright|)

(Leftrightarrow-sqrt{left|Delta xright|}lefrac{fleft(x_0+Delta xright)-fleft(x_0right)}{Delta x}lesqrt{left|Delta xright|})

Do (limlimits_{Delta xrightarrow x}sqrt{left|Delta xright|}=limlimits_{Delta xrightarrow x}left(-sqrt{left|Delta xright|}right)=0) nên  theo “nguyên lí kép” ta có 

(limlimits_{Delta xrightarrow0}frac{fleft(x_0+Delta xright)-fleft(x_0right)}{Delta x}=0) 

Vậy tồn tại đạo hàm của (fleft(xright)) tại (x_0)

Do (x_0) tùy thuộc R nên (fleft(xright)) là hàm số  có đạo hàm trên R

Hơn thế, ta còn có (f’left(xright)=0) với mọi (xin R)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đạo hàm, vi phân, các dạng toán

Ứng dụng của đạo hàm

Các dạng toán về đạo hàm, có lời giải

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Bài trước

Bài tiếp theo

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading…

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button