Kiến thức

Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số-Hoc24

Bạn đang xem: Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số-Hoc24

Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1: Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và (f) là hàm số xác định trên K.

• Hàm số (f) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀(x_1,x_2in K,), (x_1) < (x_2)(fleft(x_1right)) < (fleft(x_2right))

• Hàm số (f) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀(x_1,x_2in K,),  (x_1) < (x_2) ⇒ (fleft(x_1right)) > (fleft(x_2right))

Lưu ý.

• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

Định lý 1 : Cho hàm số y = (fleft(xright))) có đạo hàm trên khoảng I.

 

• Nếu (f’left(xright)) > 0, ∀x ∈ I thì y = (fleft(xright)) đồng biến trên I;

• Nếu (f’left(xright)) < 0, ∀x ∈ I thì y = (fleft(xright)) nghịch biến trên I;

• Nếu (f’left(xright)) = 0, ∀x ∈ I thì y = (fleft(xright)) không đổi trên I.

Lưu ý.

• Nếu (f’left(xright)) $geq $ 0 , ∀x ∈ I và (f’left(xright))= 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = (fleft(xright)) đồng biến trên I.

• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : “Hàm số y = (fleft(xright)) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”

B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

  • Tìm tập xác định.
  • Tính y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định.
  •  Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.

• Tìm tập xác định (D_f) .

• Tính y’ và chỉ ra (y’ge0), ∀x ∈ (D_f) (hoặc (y’le0), ∀x ∈ (D_f) ). 

C. Các dạng bài tập :

Dạng 1 :

Ví dụ 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số :

(y=frac{x^3}{3}-x^2-3x+2)

Bài giải :

Tập xác định : (D=R)

Ta có : (y’=x^2-2x-3,y’=0Leftrightarrow x^2-2x-3=0Leftrightarrow x=-1;x=3)

Lập bảng biến thiên :

xy’y-88-138++-+00-8113-7+8

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left(-infty;-1right)) và (left(3;+inftyright)), nghịch biến trên (left(-1;3right))

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng hàm số (fleft(xright)=x+cos^2x) đồng biến trên R

Bài giải :

Tập xác định (D=R)

Ta có (f’left(xright)=1-sin2x;f’left(xright)=0Leftrightarrowsin2x=1Leftrightarrow x=frac{pi}{4}+kpi,kin Z)

Cách 1 : Hàm số (f) liên tục trên mỗi đoạn (left[frac{pi}{4}+kpi;frac{pi}{4}+left(k+1right)piright]) và có đạo hàm (f’left(xright)>0) với mọi (xinleft[frac{pi}{4}+kpi;frac{pi}{4}+left(k+1right)piright],kin Z)

Do đó hàm đồng biến trên mỗi đoạn (xinleft[frac{pi}{4}+kpi;frac{pi}{4}+left(k+1right)piright],kin Z)

Vậy hàm đồng biến trên R

Cách 2 : Vì (f’left(xright)=0) tại vô hạn điểm nên ta chưa kết luận được tính đơn điệu của hàm số 

Ta chứng minh hàm số nghịch biến theo định nghĩa.

Với mọi (x_1,x_2in R,x_1)<(x_2) khi đó sẽ tồn tại khoảng (a,b) chứa (x_1,x_2) ( chẳng hạn khoảng (left(x_1-1,x_2+1right)))

Ta có (f’left(xright)ge0,)với mọi (xinleft(a,bright)) và (f’left(xright)=0) có hữu hạn nghiệm trên (a,b). Do đó, hàm số đồng biến trên (a,b) suy ra (fleft(x_1right)>fleft(x_2right))

Ta đã chứng minh được mọi (x_1,x_2in R) mà (x_1) <(x_2) thì (fleft(x_1right)>fleft(x_2right))

Hay hàm số đã cho đồng biến trên R

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số : (y=x^3-3mx^2+3left(2m+3right)x+1) nghịch biến trong khoảng (left(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

Bài giải :

Tập xác định R

Ta có (y’=3x^2-6mx+3left(2m-1right)=3left[x^2-2mx+left(2m+3right)right])

Hàm số nghịch biến trong khoảng (left(-frac{1}{2};frac{1}{2}right)) khi và chỉ khi (y’le0), mọi (xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

hay (fleft(xright)=x^2-2mx+left(2m+3right)le0left(1right))mọi (xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

Cách 1 : Ta có (1) (Leftrightarrow2mleft(x-1right)ge x^2+3Leftrightarrow mlefrac{x^2+3}{2x-2}) với mọi (xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

Xét hàm số (gleft(xright)=frac{x^2+3}{2x-2})(xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

                    (g’left(xright)=frac{2xleft(2x-2right)-2left(x^2+3right)}{left(2x-2right)^2}=frac{left(x+1right)left(2x-6right)}{left(2x-2right)^2}<0) với mọi (xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))

Bảng biến thiên : 

xg'(x)g(x)-1212-1312-134

Từ bảng biến thiên suy ra (mle-frac{13}{4}) là giá trị cần tìm

Cách 2 :

Dễ thất nếu (fleft(xright)=0) vô nghiệm hoặc có nghiệm kéo thì (fleft(xright)ge0) với mọi x, khi đó không có giá trị nào m thỏa mãn

Phương trình (fleft(xright)=0) có hai nghiệm phân biệt (x_1,x_2)

(x_1,x_2,) ((x_1)<(x_2))(LeftrightarrowDelta’>0Leftrightarrow m^2-2m-2>0) (Leftrightarrow m>3) hoặc (m<-1)

Khi đó (fleft(xright)le0), với mọi (xinleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right))(Leftrightarrowleft(-frac{1}{2};frac{1}{2}right)subsetleft[x_1;x_2right]Leftrightarrow x_1le-frac{1}{2})<(frac{1}{2}le x_2)

                                                                       (Leftrightarrowbegin{cases}left(2x_1-1right)left(2x_2-1right)le0\left(2x_1+1right)left(2x_2+1right)le0end{cases})
                                                                       (Leftrightarrowbegin{cases}4x_1x_2-2left(x_1+x_1right)+1le0\4x_1x_2+2left(x_1+x_1right)+1le0end{cases})
Theo định lí Viet ta có : (begin{cases}x_1+x_2=2m\x_1x_2=2m+3end{cases}) do đó (begin{cases}4left(2m+3right)-4m+1le0\4left(2m+3right)+4m+1le0end{cases})
                                         (Leftrightarrow mle-frac{13}{4})
Vậy (mle-frac{13}{4}) là giá trị cần tìm
                                                                 
@69627@@68771@     

Tài liệu đọc thêm

Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Bài trước

Bài tiếp theo

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading…

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button