Kiến thức

Bài 3a. Tính nguyên hàm-tích phân bằng phương pháp đổi biến số-Hoc24

Bài 3a. Tính nguyên hàm – tích phân bằng phương pháp đổi biến số

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

Bạn đang xem: Bài 3a. Tính nguyên hàm-tích phân bằng phương pháp đổi biến số-Hoc24

1. Phương pháp đổi biến dạng 1.

Bài toán. Tính tích phân 

(I=intlimits^b_afleft(xright)dx)

Phương pháp.

• Đặt (x=varphileft(tright)Rightarrow dx=varphi’left(tright)dt)

• Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó (I=intlimits f^{beta}_{alpha}left(varphileft(tright)right)varphi’left(tright)dt)

Các trường hợp cần lưu ý khi đổi biến:

(a^2+x^2:x=left|aright|tan x,tinleft(-frac{pi}{2};frac{pi}{2}right))

• (sqrt{a^2-x^2}:x=left|aright|sin t,tinleft(-frac{pi}{2};frac{pi}{2}right))

• (sqrt{x^2-a^2}:x=frac{left|aright|}{sin t},tinleft(-frac{pi}{2};frac{pi}{2}right))(left{0right})

2. Phương pháp đổi biến dạng 2.

Bài toán. Tính tích phân 

(I=intlimits^b_afleft[uleft(xright)right]u’left(xright)dx)

Phương pháp.

• Đặt (u=uleft(xright)Rightarrow du=u’left(xright)dx)

• Đổi cận: (x=aRightarrow u=uleft(aright);x=bRightarrow u=uleft(bright))(I=intlimits^b_afleft(uright)du)

• Khi đó 

Lưu ý. (uleft(xright)) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit

Công thức đổi biến số: 

(t=varphi(x)Rightarrow dt=varphi'(x)dxRightarrow begin{cases} displaystyleint f[varphi(x)].varphi'(x)dx=int f(t)dt=F(t)+C=F(varphi(x))+C\ displaystyleintlimits_a^b f[varphi(x)].varphi'(x)dx=intlimits_{varphi(a)}^{varphi (b)}f(t)dt end{cases})

Xem thêm: 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình-Bài tập hệ phương trình lớp 9

Dạng 1: Tính nguyên hàm-tích phân của biểu thức chứa căn. 

Đặt (t=sqrt{f(x)}Rightarrow t^2=f(x)dxRightarrow 2tdt=f'(x)dx)
Ví dụ 1: (Đa Phúc-Hà Nội 2015 L2) 

Tính tích phân (I=displaystyleint xsqrt{1+3x}dx) và (J=displaystyleintlimits_0^1 xsqrt{1+3x}dx).
ĐS: (I=dfrac{2}{45}sqrt{(1+3x)^5}-dfrac{2}{27}sqrt{(1+3x)^3}+C, J=dfrac{116}{135})

Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong-TP HCM 2015 L2)

Tính tích phân (displaystyle I=int left(sqrt{1+3x^2}+e^xright)xdx) và (displaystyle J=intlimits_0^1 left(sqrt{1+3x^2}+e^xright)xdx).
ĐS: (I=dfrac{sqrt{(1+3x^2)^3}}{9}+xe^x-e^x+C, J=dfrac{16}{9})

Xem thêm: Phương trình lượng giác và nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 3: (Tĩnh Gia-Thanh Hóa 2015) 

Tính nguyên hàm (I=displaystyleint dfrac{3xdx}{x+sqrt{x^2+4}}).
ĐS: (I=dfrac{1}{4}sqrt{(x^2+4)^3}-dfrac{x^3}{4}+C)
Dạng 2: Tính nguyên hàm-tích phân biểu thức hàm lũy thừa. Đặt (t=x^alphaRightarrow dt=alpha x^{alpha-1}dx)
Ví dụ 4: (Đại học Khối B-2012)

Xem thêm: Cho hai đường thẳng chéo nhau a,;b và điểm M ở ngoài a và b

Tính tích phân (displaystyle I=int dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx) và (displaystyle I=intlimits_0^1 dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx).
ĐS: (I=ln|x^2+2|-dfrac{1}{2}ln |x^2+1|+C,J=ln 3-dfrac{3}{2}ln 2)

Ví dụ 5: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L2)

Tính tích phân (displaystyle I=int left(x.e^x+dfrac{x^4}{x^5+1}right)dx) và (displaystyle J=intlimits_0^1 left(x.e^x+dfrac{x^4}{x^5+1}right)dx).

 ĐS: (I=(x-1)e^x+dfrac{1}{5}ln |x^5+1|+C, J=1+dfrac{ln 2}{5})
Dạng 3: Tính nguyên hàm – tích phân biểu thức chứa hàm mũ. Đặt (t=e^xRightarrow dt=e^xdxRightarrow dx=dfrac{dt}{t})

Ví dụ 6:  (Gia Viễn A-Ninh Bình 2015) 

Tính tích phân (displaystyle I=int e^xsqrt{5-e^x}dx) và (displaystyle J=int_2^7e^xsqrt{5-e^x}dx).
ĐS: (I=dfrac{2sqrt{(5-e^x)^3}}{3}+C,J=dfrac{16}{3}-2sqrt{3})

Ví dụ 7: (Chuyên Bến Tre 2015 L2) 

Tính tích phân (I=displaystyleint dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}) và (J=displaystyleintlimits_0^1 dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}).

ĐS: (I=dfrac{1}{2}ln left(e^{2x}+1right)+C,J=dfrac{1}{2}ln dfrac{e^2+1}{2})
Dạng 4: Tính nguyên hàm – tích phân biểu thức chứa logarit. Đặt (t=ln xRightarrow dt=dfrac{1}{x}dx)

Ví dụ 8: (Cù Huy Cận-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân (displaystyle I=intleft(x^2+dfrac{ln^2 x}{x}right)dx) và (displaystyle J=intlimits_1^eleft(x^2+dfrac{ln^2 x}{x}right)dx).
ĐS: (I=dfrac{x^3}{3}+dfrac{ln^3 x}{3}+C,J=dfrac{e^3}{3})
Ví dụ 9: (Bảo Thắng 2-Lào Cai 2015) 

Tính tích phân (displaystyle I=int dfrac{ln^2 x}{x(1+2ln x)}dx) và (displaystyle J=intlimits_1^e dfrac{ln^2 x}{x(1+2ln x)}dx).
ĐS: (I=dfrac{1}{4}ln^2 |x|-dfrac{1}{4}ln |x|+dfrac{1}{8}ln |1+2ln x|+C, J=dfrac{1}{8}ln 3)

 

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức lượng giác:

  1. (sin^2 x+cos^2 x=1)
  2. (sin 2x=2sin x.cos x)
  3. (cos 2x=cos^2 x-sin^2 x=2cos^2 x-1=1-2sin^2 x)
  4. (tan x=dfrac{sin x}{cos x}, cot x=dfrac{cos x}{sin x})
  5. (1+tan^2 x=dfrac{1}{cos^2 x}, 1+cot^2 x=dfrac{1}{sin^2 x})

Dạng 5: Đặt (t=sin xRightarrow dt=cos xdx, t=cos xRightarrow dt=-sin xdx)
Ví dụ 10: (Nguyễn Văn Trỗi-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân (displaystyle I=int sin 2x.cos^2 xdx) và (J=intlimits_0^{pi}sin 2x.cos^2 xdx).
ĐS: (I=-dfrac{cos^4 x}{2}+C,J=0)
Ví dụ 11: (
Sở GD Thanh Hóa 2015) 

Tính tích phân (displaystyle I=int left(x+cos^2 xright)sin xdx)và (displaystyle J=intlimits_0^{frac{pi}{2}} left(x+cos^2 xright)sin xdx).

ĐS: (I=(1-x)cos x-dfrac{cos^3 x}{3}+C,J=dfrac{4}{3})

Ví dụ 12: (Đại học Khối B 2003

Tính tích phân (I=displaystyleint dfrac{1-2sin^2 x}{1+sin 2x}) và (I=displaystyleintlimits_0^{frac{pi}{4}} dfrac{1-2sin^2 x}{1+sin 2x}).

Dạng 6: Đặt (t=tan xRightarrow dt=dfrac{1}{cos^2 x}dx, t=cot xRightarrow dt=-dfrac{1}{sin^2 x}dx)
Ví dụ 13: Tính tích phân (I=displaystyleint dfrac{dx}{sin x.cos^3 x}) và (J=displaystyleintlimits_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}} dfrac{dx}{sin x.cos^3 x}).
ĐS: (I=ln|tan x|+dfrac{1}{2}tan^2 x+C,J=ln 3+dfrac{4}{3})

Ví dụ 14: (Nguyễn Huệ-Quảng Nam 2015) 

Tính tích phân (displaystyle I=intdfrac{cot x}{cos 2x}dx) và (displaystyle J=intlimits_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{2}}dfrac{cot x}{cos 2x}dx).

 ĐS: (I=dfrac{1}{2}ln |cot x-1|+dfrac{1}{2}ln |cot x+1|+C,J=dfrac{ln 2}{2})
Dạng 7: Đặt (t=sin xpm cos xRightarrow dt=(cos xmp sin x)dx)

Ví dụ 15 (Đại học Khối B-2008) Tính tích phân

(I=displaystyleint dfrac{sin left(x-dfrac{pi}{4}right)dx}{sin 2x+2(1+sin x+cos x)}) và (J=displaystyleintlimits_0^{frac{pi}{4}} dfrac{sin left(x-dfrac{pi}{4}right)dx}{sin 2x+2(1+sin x+cos x)}).
ĐS: (I=dfrac{1}{sqrt{2}(sin x+cos x+1)}+C,J=dfrac{4-3sqrt{2}}{4})

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Các bài toán tích phân có nhiều cách giải

  • lý thuyết

  • trắc nghiệm

  • hỏi đáp

  • bài tập sgk

Bài trước

Bài tiếp theo

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading…

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button