Kiến thức

Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân toán 12-Toan123.vn

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Bạn đang xem: Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân toán 12-Toan123.vn

1. Kiến thức cần nhớ

– Vi phân:

(begin{array}{l}t = uleft( x right) Rightarrow dt = u’left( x right)dx\uleft( t right) = vleft( x right) Rightarrow u’left( t right)dt = v’left( x right)dxend{array})

– Công thức đổi biến: (intlimits_a^b {fleft[ {uleft( x right)} right]u’left( x right)dx}  = intlimits_{tleft( a right)}^{tleft( b right)} {fleft( t right)dt} )

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến (t = uleft( x right)).

– Bước 1: Đặt (t = uleft( x right)), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = uleft( a right) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b right) = b’end{array} right.) .

– Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x right)dx).

– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx) thành (gleft( t right)dt).

– Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b {fleft( x right)dx}  = intlimits_{a’}^{b’} {gleft( t right)dt} ).

Ví dụ: Tính tích phân (intlimits_0^{sqrt 3 } {2xsqrt {{x^2} + 1} dx} ).

Giải:

Đặt (t = sqrt {{x^2} + 1}  Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 ) ( Rightarrow 2tdt = 2xdx).

Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1\x = sqrt 3  Rightarrow t = 2end{array} right.)

Do đó: (intlimits_0^{sqrt 3 } {2xsqrt {{x^2} + 1} dx}  = intlimits_1^2 {t.2tdt}  = left. {dfrac{2}{3}{t^3}} right|_1^2 = dfrac{2}{3}left( {{2^3} – {1^3}} right) = dfrac{{14}}{3}).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến (x = uleft( t right)).

– Bước 1: Đặt (x = uleft( t right)), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’end{array} right.).

– Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t right)dt).

– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx = fleft( {uleft( t right)} right).u’left( t right)dt = gleft( t right)dt).

– Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức (intlimits_a^b {fleft( x right)dx}  = intlimits_{a’}^{b’} {gleft( t right)dt} )

Ví dụ: Cho $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x} $, nếu đặt $x = sin t$ thì:

A. $I = 2intlimits_0^1 {left( {1 + cos 2t} right){rm{d}}t} $

B. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 – cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

C. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

D. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{cos 2t – 1}}{2}{rm{d}}t} $

Giải:

Đặt $x = sin t Leftrightarrow dx = cos t,dt$ và $1 – {x^2} = 1 – {sin ^2}t = {cos ^2}t$

Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0\x = dfrac{pi }{2} Rightarrow t = 1end{array} right.)

Suy ra

$I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x}  = intlimits_0^1 {sqrt {{{cos }^2}t} cos t{rm{d}}t}  $ $= intlimits_0^1 {{{cos }^2}t{rm{d}}t}  = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

Chọn C.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button