Kiến thức

Lý thuyết và bài tập hệ thức lượng trong tam giác-Toán cấp 3

Lý thuyết và bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết về các hệ thức lượng trong tam giác

Ở bài viết này chúng ta nhắc lại các định lý và công thức cần ghi nhớ dưới đây:

Cho ΔABC có:

– Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc

– Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

– Nửa chu vi tam giác: p

– Diện tích tam giác: S

Ta có các định lý và công thức về hệ thức lượng trong tam giác như sau:

Tóm tắt

  • 1 1. Định lí côsin

  • 2 2. Định lí sin

  • 3 3. Độ dài trung tuyến

  • 4 4. Diện tích tam giác

  • 5 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

  • 6 6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Bạn đang xem: Lý thuyết và bài tập hệ thức lượng trong tam giác-Toán cấp 3

1. Định lí côsin

$latex {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cos A$ ;

$latex {{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca.cos B$ ;

$latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.cos C$

Xem thêm: Chuyên Đề Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số

2. Định lí sin

$latex frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R$

3. Độ dài trung tuyến

$latex m_{a}^{2}=frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}$ ;

$latex m_{b}^{2}=frac{2({{a}^{2}}+{{c}^{2}})-{{b}^{2}}}{4}$ ;

$latex m_{c}^{2}=frac{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-{{c}^{2}}}{4}$

Xem thêm: Tóm Tắt Kiến Thức Và Bài Tập Vận Dụng Vật Lý 12 Bài 1 Dao Động Điều Hòa

4. Diện tích tam giác

S = $latex frac{1}{2}a{{h}_{a}}=frac{1}{2}b{{h}_{b}}=frac{1}{2}c{{h}_{c}}$

= $latex frac{1}{2}bcsin A=frac{1}{2}casin B=frac{1}{2}absin C$

= $latex frac{abc}{4R}$

= $latex pr$

= $latex sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ΔABC vuông tại A, AH là đường cao.

Xem thêm: Giải Toán 12 Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

* Chú ý: Ghi nhớ định lý Pitago để chứng minh một tam giác là vuông.

6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) $latex a=b.cos C+c.cos B$

b) $latex sin A=sin Bcos C+sin Ccos B$

c) $latex {{h}_{a}}=2Rsin Bsin C$

d) $latex m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=frac{3}{4}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$

e) $latex {{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{left( overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} right)}^{2}}}$

Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu b + c = 2a thì $latex frac{2}{{{h}_{a}}}=frac{1}{{{h}_{b}}}+frac{1}{{{h}_{c}}}$

b) Nếu bc = a2 thì $latex sin Bsin C={{sin }^{2}}A,,,{{h}_{b}}{{h}_{c}}=h_{a}^{2}$

c) A vuông ⇔ $latex m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=5m_{a}^{2}$

Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi a là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: $latex S=frac{1}{2}AC.BD.sin alpha $ .

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Bài 4: Cho DABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.

a) Chứng minh $latex AH=a.sin B.cos B,,,BH=a.{{cos }^{2}}B,,,CH=a.{{sin }^{2}}B$

b) Từ đó suy ra $latex A{{B}^{2}}=BC.BH,,,A{{H}^{2}}=BH.HC$

Bài 5: Cho DAOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, $latex widehat{AOH}=alpha $ .

  1. a) Tính các cạnh của ΔOAK theo a và α.
  2. b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và a.
  3. c) Từ đó tính $latex sin 2alpha ,,,cos 2alpha ,,,tan 2alpha $ theo $latex sin alpha ,,,cos alpha ,,,tan alpha $ .

Bài 6: Giải tam giác ABC, biết:

a) $latex c=14;,,widehat{A}={{60}^{0}};,,widehat{B}={{40}^{0}}$

b) $latex b=4,5;,,widehat{A}={{30}^{0}};,,widehat{C}={{75}^{0}}$

c) $latex c=35;,,widehat{A}={{40}^{0}};,,widehat{C}={{120}^{0}}$

d) $latex a=137,5;,,widehat{B}={{83}^{0}};,,widehat{C}={{57}^{0}}$

Bài 7: Giải tam giác ABC, biết:

a) $latex a=6,3;,,b=6,3;,,widehat{C}={{54}^{0}}$

b) $latex b=32;,,c=45;,,widehat{A}={{87}^{0}}$

c) $latex a=7;,,b=23;,,widehat{C}={{130}^{0}}$

d) $latex b=14;,,c=10;,,widehat{A}={{145}^{0}}$

Bài 8: Giải tam giác ABC, biết:

a) $latex a=14;,,b=18;,,c=20$

b) $latex a=6;,,b=7,3;,,c=4,8$

c) $latex a=4;,,b=5;,,c=7$

d) $latex a=2sqrt{3};,,b=2sqrt{2};,,c=sqrt{6}-sqrt{2}$

Tags:

định lý cosin

,

định lý sin

,

hệ thức lượng

,

tam giác

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button