Kiến thức

Các phép toán tập hợp

Các phép toán tập hợp | Lý thuyết & bài tập

Nội dung bài viết trên giúp các em nắm chắc được khái niệm và cách xác định các phép toán tập hợp cơ bản nhất. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp có ý nghĩa rất lớn khi các em học sang chương trình toán học phần hàm số, đồ thị, khảo sát hàm số. Do đó, hãy học bài này một cách nghiêm túc nhất nhé.

Mục lục

1. Kiến thức các phép toán tập hợp

2. Bài tập ví dụ

3. Bài tập vận dụng

4. Bài tập trắc nghiệm tập hợp số

Kiến thức các phép toán tập hợp

Bạn đang xem: Các phép toán tập hợp

1. Giới thiệu về tập hợp

Để chỉ a là một phần tử của tập A, ta viết $a in A$. Để chỉ a không phải là một phần tử của tập A, ta viết $a notin A$. (hoặc $abar  in A$). Có thể xác định một tập hợp bằng hai cách:

  • Liệt kê các phần tử của nó
  • Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
  • Tập hợp rổng, kí hiệu là $emptyset $, là tập không chứa phần tử nào.

Xem thêm: Sóng điện từ là gì ? Đặc điểm và cấu tạo của sóng điện từ-Thế giới điện cơ

2. Lý thuyết tập hợp con

Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B, thì ta nói A là một tập con của B và viết $A subset B$ (đọc là A chứa trong B, hoặc B chứa A, hoặc B bao hàm A).

$A subset A,forall A;A subset B$ và $B subset C Rightarrow A subset C;emptyset subset A,forall A.$

$A = B Leftrightarrow left( {x in A Leftrightarrow x in B} right)$

Xem thêm: Bài tập sự tương giao giữa parabol và đường thằng cực hay, chi tiết (bài toán tính khoảng cách, diện tích, chu vi)

3. Phép giao trong tập hợp

Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của và B, kí hiệu là $C = A cap B.$

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu là $C = A cup B.$

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là liệu của A và B, kí hiệu là $C = Abackslash B.$

Khi $B subset A$ thì $Abackslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu ${C_A}B$.

Xem thêm: Các trường đại học ở TPHCM tăng tốc tư vấn cho mùa tuyển sinh 2018

4. Các tập hợp số đã học

Các tập hợp số đã học:

  • Tập hợp các số tự nhiên: $N = left{ {0,1,2,…} right}$; $N* = left{ {1,2,3,…} right}$
  • Tập hợp các số nguyên: $Z = {…, – 3, – 2, – 1,0,1,2,…)$;
  • Tập hợp các số hữu tỉ Q là tập hợp các số biếu diễn được dưới dạng một phân số $frac{a}{b}$, trong đó $a,b in ,b ne 0$.
  • Tập hợp các số thực $$ gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn (tức là các sô vô tỉ).

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại.

5. Tập hợp con quan trọng

Trong toán học thường gặp các tập con sau của tập R:

Đoạn $left[ {a,b} right) = left{ {x in |a le x le b} right}$

Nửa khoảng

$left[ {a,b} right) = left{ {x in |a le x le b} right}$

$left[ {a,b} right) = left{ {x in |a < x le b} right}$

$left[ {a, + infty } right) = left{ {x in |a le x} right}$

$left[ { – infty ,b} right) = left{ {x in |x le b} right}$

Khoảng

$left( {a,b} right) = left{ {x in |a < x < b} right}$

$left( {a, + infty } right) = left{ {x in |x > a} right}$

$left( { – infty ,a} right) = left{ {x in |x < a} right}$

$left( { – infty , + infty } right) = $

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Cho các tập hợp sau

a) Tập hợp A các nghiệm của phương trình $left( {x + 1} right)left( {x + 3} right)left( {x – frac{1}{2}} right) = 0$

b) Tập $B = left{ {m in |{m^2} le 50} right}$

Hãy liệt kê tất cả các phần tử của chúng.

Giải

a) $A = { – 3; – 1;frac{1}{2}} $

b) $B = { – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1;0;1,2,3,4,5,6,7} $

Ví dụ 2. Cho tập hợp $A = left{ { – 3,0,2} right}$.

a) Hãy tìm tất cả các tập con của nó ;

b) Tim phần bù của $B = left{ 0 right}$ trong A

Giải

a) Các tập con của A là: $emptyset ,{ – 3} ,{ 0} ,{ 2} ,{ 3,0} ,( – 3,2} ,{ 0,2],[ – 3,0,2} $ (A có 8 tập con).

b) Ta thấy $B subset A$ và ${C_A}B = Abackslash B = { – 3,2} $

Ví dụ 3. Gọi T là tập hợp các khối lớp của trường THPT Bình Minh, M là tập hợp các lớp khối 10, N là tập hợp các lớp khối 11 và L là tập hợp các lớp khối 12. Hãy xác định các tập hợp sau:

a) $M cup N cup L$;

b) $Mbackslash L$

c) $T cap N$

d) $M cap L$

e) ${C_T}M$

g) ${C_T}left( {N cap L} right)$

h) $M cap N$

Giải

a) $M cup N cup L = T$;

b) ML;

c) $T cap N = N$;

d) $N cap L = emptyset $;

e) ${C_T}M = N cup L$;

g) ${C_T}left( {N cup L} right) = M$;

h) $M cap N = emptyset $

Ví dụ 4. Mọi học sinh của lớp 10D đều thích học hoặc môn Văn hoặc môn Toán. Biết rằng có 32 học sinh thích học môn Toán, 27 học sinh thích học môn Văn và 8 học sinh thích học cả hai môn Văn và Toán. Hỏi lớp 10D có bao nhiêu học sinh ?

Giải. Gọi V là tập các học sinh thích học môn Văn, T là tập các học sinh thích học môn Toán. Theo đầu bài mọi học sinh đều thích học hoặc môn Văn hoặc môn Toán nên $V cup T$ là tập hợp học sinh của lớp 10D. Để xác định số phần tử của $V cup T$ ta xác định số phần tử của V (có 27 học sinh) và số phần tử của T (có 32 học sinh). Nhưng khi đó số học sinh vừa thích học môn Văn vừa thích học môn Toán (tập $V cap T$) được tính hai lần (số đó là 8 học sinh). Vậy số phần tử thuộc $V cup T$ là: $32 + 27 = 51$. Lớp 10D có 51 học sinh.

Ví dụ 5. Cho các tập ${R_ + } = left[ {0; + infty } right);R_ + ^* = left( {0; + infty } right)$

$R = ( – infty ;0];R* = left( { – infty ;0} right);R* = Rbackslash left{ 0 right}$. Hãy xác định các tập sau:

a) ${R_ + } cap R_ + ^*$;

b) ${R_ – } cup {R_ + }$;

c) ${R_ – } cap {R_ + }$;

d) ${R_ – }backslash R_ – ^*$;

e) ${R^*}backslash {R_ + }$

Giải. 

a) ${R_ + } cap R_ + ^* = left( {0; + infty } right) = R_ + ^*$;

b) ${R_ – } cup {R_ + } = R$;

c) ${R_ – } cap {R_ + } = left{ 0 right}$;

d) ${R_ – }backslash R_ – ^* = left{ 0 right}$;

e) ${R^*}backslash {R_ + } = R_ – ^*$

Ví dụ 6. Xác định các tập số sau và biểu diễn chúng trên trục số

a) $left( { – 4;2} right] cap left[ {0;4} right)$;

b) $left( {0;3} right) cup left[ {l;4} right]$;

c) $[ – 4;3]backslash [ – 2:1]$;

d) $Rbackslash left[ {1;3} right]$

Giải.

a) $left( { – 4;2} right] cap left[ {0;4} right) = left[ {0;2} right]$;

b) $left( {0;3} right) cup left[ {l;4} right] = left( {0;4} right]$

c) $[ – 4;3]backslash [ – 2:1]left[ { – 4; – 2} right) cup left( {1;3} right]$

d) $Rbackslash left[ {1;3} right] = left( { – infty ;1} right) cup left( {3; + infty } right)$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp sau:

a) Tập A các nghiệm của phương trình $left( {{x^2} + 7x + 6} right)({x^2} + l0x – 11) = 0$

b) Tập $B = left{ {x in N|2xleft( {x – 3} right) le 8} right}$.

c) Tập $C = { 2z + 1|z in Z, – 2 le z le 4} $.

d) Tập $D = left{ {frac{n}{{{n^3} – 9}}|n in N,2 le n le 5} right}$

Câu 2. Tìm tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp sau:

a) $A = left{ {1,frac{1}{2},frac{1}{3},frac{1}{4},frac{1}{5},frac{1}{6}} right}$

b) $B = left{ {frac{5}{4},frac{{10}}{9},frac{{17}}{{16}},frac{{26}}{{25}},frac{{37}}{{36}},frac{{50}}{{49}}} right}$

Câu 3. Biết rằng A là tập các hình tứ giác, B là tập các hình bình hành, C là tập các hình chữ nhật, D là tập các hình thoi và E là tập các hình vuông.

a) Hãy dùng kí hiệu “cz” để nêu mối quan hệ giữa năm tập trên.

b) Phát biểu bằng lời và nêu ý nghĩa các tập sau:

${C_a}B$; ${C_B}D$; $C cap D$; ${C_B}left( {C cup D} right)$

Câu 4. Cho ba tập hợp $A = {  – 1,0,2,4,6,7} $; $B = {  – 3,{rm{ }}2,6,8} $; $C = left{ {1,8,9} right}$

a) Hãy xác định các tập sau:

$A cup B cup C$; $A cap C$; $B cap C$; $A cap B$; $Bbackslash C$; $Cbackslash B$

b) Hãy tìm tất cả các tập con của C. Số các tập con đó là bao nhiêu ?

Câu 5. Mỗi thành viên của câu lạc bộ văn nghệ đều tham gia ít nhất vào một nhóm, nhưng không có ai tham gia đồng thời vào cả ba nhóm: Hát, Múa và Thơ. Biết rằng có 50 người tham gia nhóm Hát, 30 người tham gia nhóm Múa và 20 người tham gia nhóm Thơ, trong đó 10 người tham gia cả hai nhóm Múa và Hát, 1 người tham gia cả 2 nhóm Múa và Thơ, 5 người tham gia cả hai nhóm Hát và Thư. Hỏi câu lạc bộ có bao nhiêu thành viên ?

Câu 6. Trong nhóm 100 khách du lịch có 70 người biết tiếng Anh, 45 người biết tiếng Pháp và 23 người biết cả hai thứ tiếng. Hỏi trong nhóm có bao nhiêu người không biết cả hai thứ tiếng?

Câu 7. Với các tập hợp ${R_ + }$, $R_ + ^*$ , ${R_ – }$, $R_ – ^*$, ${R^*}$ trong ví dụ 5, hãy xác định các tập sau:

a) ${R_ + }backslash R_ + ^*$;

b) ${R_ + }backslash {R_ – }$;

c) ${C_R}R_ – ^*$;

d) ${R^*} cap {R_ + }$;

e) $R_ – ^* cap {R_ + }$

Câu 8. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số:

a) $left[ { – 4;2} right) cup (0;3]$;

b) $left( { – 2;4} right) cap left[ {1;5} right)$;

c) $left( { – infty ;0} right) cup left( { – 4;5} right]$

d) $left[ {2; + infty } right) cap left( { – infty ;5} right)$;

e) $Rbackslash left( { – infty ;7} right]$;

g) $left( { – 3;0} right)backslash left( { – 1;4} right)$

Đáp án

Câu 1.

a) $A = ( – 6, – 1,1, – 11} $;

b) $B = { 0,1,2,3,4} $

c) $C = { – 3, – 1,1,3,5,7,9} $;

d) $D = left{ { – 2,frac{1}{6},frac{4}{{55}},frac{5}{{116}}} right}$

Câu 2.

a) $A = left{ {frac{1}{n}|n in N,1 le n le 6} right}$

b) $B = left{ {frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}|n in N,2 le n le 7} right}$

Câu 3.

a) $E subset C subset B subset A$; $E subset D subset B subset A$

b) ${C_A}B$ = “Phần bù của tập hợp các hình bình hành trong tập hợp các tứ giác”. Đó là “Tập hợp các tứ giác không phải hình bình hành”.

${C_B}D$ = “Phân bù của tập hợp các hình thoi trong tập các hình bình hành”. Đó là “Tập hợp các hình bình hành không phải là hình thoi”.

$C cap D$ = “Giao của tập hợp các hình chữ nhật với tập hợp các hình thoi”. Đó là “Tập hợp các hình vuông”. Tức là $C cap D = E$.

${C_B}left( {C cup D} right)$ = “Phần bù của hợp của tập các hình chữ nhật và tập các hình thoi trong tập các hình bình hành”. Đó là “Tập hợp các hình bình hành không phải là hình chữ nhật và hình thoi

Câu 4.

a) $A cup B cup C = { – 1,0,2,4,6,7, – 3,8,9} $

$A cap C = emptyset $;

$B cap C = left{ 8 right}$;

$A cap B = { 2,6} $;

$B{rm{backslash C}} =  – 3,2,6$; $C{rm{backslash B}} = 1,9$

b) Các tập con của C là: $emptyset ,left{ 1 right},left{ 8 right},{ 9} ,left{ {1,8} right},left{ {1,9} right},left{ {8,9} right},{ 1,8,9} $. Tất cả cố 8 tập con.

Câu 5. Gọi A = {những người tham gia nhóm Hát} ; B = {những người tham gia nhóm Múa} ; C – {những người tham gia nhóm Thơ} ; D = {những thành viên của câu lạc bộ}. Ta có: $D = A cup B cup C$. Vậy để tính số phần tử của D (số thành viên của câu lạc bộ) ta đếm số phần tử của A, của B và của C. Nhưng khi đó số các phần tử của $A cap B$ (những người tham gia vừa nhóm Hát vừa nhóm Múa (10 người) ta đã đếm hai lần), tương tự đối với $A cap C$ và $B cap C$. Vậy số thành viên của câu lạc bộ là: $50 + 30 + 20 – 10 – 1 – 5 = 84$ (người).

Câu 6. Gọi A = (những người biết tiếng Anh} (có 70 người) ; B = {những người biết tiếng Pháp} (có 45 người). Do dó số những người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là số những phần tử của $A cup B$, bằng $70 + 45 – 23 = 92$ (người). Vậy số người không biết cả hai thứ tiếng này là $100 – 92 = 8$ (người).

Câu 7.

a) ${R_ + }backslash R_ + ^* = left{ 0 right}$;

b) ${R_ + }backslash {R_ – } = R_ + ^*$;

c) ${C_R}R_ – ^* = {R_ – }$;

d) $R_ + ^*$;

e) $emptyset $

Câu 8.

a) $left[ { – 4;2} right) cup (0;3] = left[ { – 4;3} right]$

b) $left( { – 2;4} right) cap left[ {1;5} right) = left[ {1;4} right)$

c) $left( { – infty ;0} right) cup left( { – 4;5} right] = left[ { – infty ;5} right]$

d) $left[ {2; + infty } right) cap left( { – infty ;5} right) = left[ {2;5} right)$

e) $Rbackslash left( { – infty ;7} right] = left[ {7; + infty } right)$;

g) $left( { – 3;0} right)backslash left( { – 1;4} right) = left( { – 3; – 1} right)$

Câu 9.

a) $A cap B = left( {1;3} right]$

$A cup B = left[ {0;5} right)$

$A cap C = left{ 0 right}$

$B cap C = emptyset $

$left( {A cap B} right) cap C = left( {1;3} right] cap {rm{} }}left( { – 2;0} right) = emptyset $

$left( {A cup B} right) cap C = left[ {0;5} right] cap {rm{} }}left( { – 2;0} right) = emptyset $

b) $A cap B = left{ 1 right}$

$A cup B = R$

$A cap C = C = left( {0;1} right)$

$B cap C = emptyset $ (Học sinh tự biểu diễn trên trục số)

Bài tập trắc nghiệm tập hợp số

Câu 1: Sử dụng ký hiệu khoảng để viết các tập sau đây: $E = (4; + infty )backslash (–infty ;2]$câu nào đúng ?

a) ${left( {–4;9} right]}$.

b) ${(–infty ; + infty )}$.

c) ${left( {1;8} right)}$.

d) ${(4; + infty )}$.

Câu 2: Sử dụng ký hiệu khoảng để viết các tập sau đây: $A = left( {–4;4} right) cup left[ {7;9} right] cup left[ {1;7} right)$câu nào đúng ?

a) ${left( {–4;9} right]}$.

b) ${(–infty ; + infty )}$.

c) ${left( {1;8} right)}$.

d) ${left( {–6;2} right]}$.

Câu 3: Sử dụng ký hiệu khoảng để viết các tập sau đây: $D = (–infty ;2] cup (–6; + infty )$câu nào đúng ?

a) ${left( {–4;9} right]}$.

b) ${(–infty ;V}$

c) ${left( {1;8} right)}$.

d) ${left( {–6;2} right]}$.

Câu 4: Sử dụng ký hiệu khoảng để viết các tập sau đây: $B = left[ {1;3} right)(–infty ;6) cup (2; + infty )$câu nào đúng ?

a) ${(–infty ; + infty )}$.

b) ${left( {1;8} right)}$.

c) ${left( {–6;2} right]}$.

d) ${(4; + infty )}$.

Câu 5: Sử dụng ký hiệu khoảng để viết các tập sau đây: $C = left[ {–3;8} right) cap left( {1;11} right)$câu nào đúng ?

a) ${left( {–4;9} right]}$.

b) ${left( {1;8} right)}$.

c) ${left( {–6;2} right]}$.

d) ${(4; + infty )}$.

Câu 6: Cho$A = left[ {1;4} right]$; $B = left( {2;6} right)$; $C = left( {1;2} right)$.Tập hợp $A cap B cap C$ là:

a) ${left[ {0;4} right]}$.

b) ${[5; + infty )}$.

c) ${(–infty ;1)}$.

d) $emptyset $.

Câu 7: Cho$A = (–infty ;–1]$; $B = [–1; + infty )$; $C = left( {–2;–1} right]$. Tập hợp $A cup B cup C$ là:

a) ${{ –1} }$.

b)(–¥;+¥).

c) $emptyset $

d) ${(–infty ;4] cup [5; + infty )}$.

Câu 8: Cho$A = left[ {0;3} right];B = left( {1;5} right);C = left( {0;1} right)$. Câu nào sau đây sai ?

a) $A cap B cap C =emptyset $.

b) $A cup B cup C = [0;5)$.

c) $(A cup B){rm{backslash C}} = (1;5)$.

d) $(A cap B){rm{backslash C}} = (1;3]$.

Câu 9: Cho$A = (–infty ;1left] {;B = } right[1; + infty );C = left( {0;1} right]$. Câu nào sau đây sai ?

a) $A cap B cap C = left{ { – 1} right}$.

b) $A cup B cup C = ( – infty ; + infty )$.

c) $(A cup B){rm{backslash C}} = ( – infty ;0] cup (1; + infty )$.

d) $(A cap B){rm{backslash C}} = C$.

Câu 10: Cho A=[–3;1];$B = [2; + infty )$;$C = (–infty ;–2)$. Câu nào sau đây đúng?

a) ${A cap B cap C = emptyset }$.

b) ${A cup B cup C = (–infty ; + infty )}$.

c) ${(A cup B)backslash B = (–infty ;1)}$.

d) ${(A cap B)backslash B = left( {2;1} right]}$.

Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:

a) ${left( {–3;2} right) cap left( {1;4} right) = left( {1;2} right)}$.

b) ${left[ {–1;5} right] cup left( {2;6} right] = left[ {1;6} right]}$.

c) ${Rbackslash [1; + infty ) = (–infty ;1)}$.

d) ${Rbackslash [–3; + infty ) = (–infty ;–3)}$.

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:

a) ${left[ {–1;7} right] cap left( {7;10} right) = emptyset }$.

b) ${left[ {–2;4} right) cup [4; + infty ) = (–2; + infty )}$.

c) ${left[ {–1;5} right]backslash left( {0;7} right) = left[ {–1;0} right)}$.

d) ${Rbackslash (–infty ;–3] = (–3; + infty )}$

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:

a) ${(–infty ;3) cup [3; + infty ) = R}$

b) ${Rbackslash (–infty ;0) = R_ + ^*}$.

c) ${Rbackslash (0; + infty ) = {R_–}}$.

d) ${Rbackslash (0; + infty ) = R_ – ^*}$.

Câu 14: Tập hợp $left( {–2;3} right)backslash left[ {1;5} right]$ bằng tập hợp nào sau đây ?

a) ${left( {–2;1} right).}$.

b) ${left( {–2;1} right]}$.

c) ${left( {–3;–2} right)}$.

d) ${left( {–2;5} right)}$.

Câu 15: Tập hợp $left[ {–3;1} right) cup left( {0;4} right]$ bằng tập hợp nào sau đây ?

a) ${left( {0;1} right)}$.

b) ${left[ {0;1} right]}$.

c) ${left[ {–3;4} right]}$.

d) ${left[ {–3;0} right]}$.

Câu 16: Cho$A = left( {–3;5} right] cup left[ {8;10} right] cup left[ {2;8} right)$. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

a) ${A = left( {–3;8} right].}$.

b) ${A = left( {–3;10} right)}$.

c) ${A = left( {–3;10} right]}$.

d) ${A = left( {2;10} right]}$.

Câu 17: Cho$A = left[ {0;2} right) cup (–infty ;5) cup (1; + infty )$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

a) ${A = (5; + infty )}$.

b) ${A = (2; + infty )}$.

c) ${A = (–infty ;5)}$.

d) ${A = (–infty ; + infty )}$.

Câu 18: Cho$A = left[ {0;4} right],B = left( {1;5} right),C = left( {–3;1} right)$.Câu nào sau đây sai ?

a) ${A cup B = left[ {0;5} right)}$.

b) ${B cup C = left( {–3;5} right)}$.

c) ${B cap C = { 1} }$.

d) ${A cap C = left[ {0;1} right]}$.

Câu 19: Cho$A = (–infty ;2],B = [2; + infty ),C = left( {0;3} right)$. Câu nào sau đây sai ?

a) ${A cup B = Rbackslash { 2} }$.

b) ${B cup C = (0; + infty )}$.

c) ${B cap C = left[ {2;3} right)}$.

d) ${A cap C = left( {0;2} right]}$.

Câu 20: Cho$A = left( {–5;1} right],B = [3; + infty ),C = (–infty ;–2)$. Câu nào sau đâyđúng ?

a) ${A cup B = (–5; + infty )}$.

b) ${B cup C = (–infty ; + infty )}$.

c) ${B cap C = emptyset }$.

d) ${A cap C = left[ {–5;–2} right]}$.

Trên đây là tổng hợp các kiến thức về các phép toán tập hợp. Mong rằng những kiến thức này sẽ giúp các em chinh phục chương 1 đại số toán lớp 10 một cách dễ dàng nhất. Bài nào các em không biết có thể bình luận dưới bài viết này để VerbaLearn Math có thể giúp các em giải đáp.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button