Kiến thức

Diễn đàn học toán: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng chéo nhau

Bạn đang xem: Diễn đàn học toán: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng chéo nhau

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng chéo nhau

Bởi

Admin User

– Thứ năm, 29 Tháng 8 2019, 10:04 PM

Number of replies: 0

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz,) cho hai đường thẳng:

( (d_1): left{begin{aligned} &x=1+t \ &y=2+t\ &z=-2-t end{aligned}right. (t in mathbb R) )( (d_2): left{begin{aligned} &x=2+u \ &y=1-u \ &z=1 end{aligned}right. (u in mathbb R).) Chứng minh rằng ((d_1))((d_2)) chéo nhau. Viết phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng ((d_1))((d_2).)

vbqc

Lời giải.  Chứng minh (boldsymbol{(d_1)})(boldsymbol{(d_2)}) chéo nhau. Đường thẳng ((d_1)) đi qua điểm (M(1,,2,,-2)) và có vector chỉ phương (overrightarrow{u_1}=(1,,1,,-1).) Đường thẳng ((d_2)) đi qua điểm (N(2,,1,,1)) và có vector chỉ phương (overrightarrow{u_2}=(1,,-1,,0).) Ta tính được: (overrightarrow{MN}=(1,,-1,,3),quad left[overrightarrow{u_2},, overrightarrow{u_1}right] =(1,, 1,, 2).) Từ đó suy ra (left[overrightarrow{u_2},, overrightarrow{u_1}right] cdot overrightarrow{MN}= 1cdot 1 +1 cdot (-1)+2cdot 3=6 ne 0.)  Kết quả này chứng tỏ ((d_1))((d_2)) là hai đường thẳng chéo nhau.

Viết phương trình mặt cầu (boldsymbol{(mathcal S)}) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả (boldsymbol{(d_1)})(boldsymbol{(d_2)}.) Gọi (I) là tâm của ((mathcal S);) (R) là bán kính của ((mathcal S);) (P,,T) lần lượt là các tiếp điểm của ((mathcal S))((d_1),, (d_2);)(H_1H_2) là đoạn vuông góc chung của ((d_1),,(d_2).) Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp với tính chất của đoạn vuông góc chung, ta thu được đánh giá: (2R=IP+IT ge PT ge H_1H_2.) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (P equiv H_1,, Tequiv H_2)(I) là trung điểm của (H_1H_2.)

Từ đây, ta suy ra mặt cầu ((mathcal S)) thỏa mãn yêu cầu của đề bài có tâm (I) là trung điểm của (H_1H_2) với (H_1H_2) là đoạn vuông góc chung của ((d_1))((d_2).)

Bây giờ, ta sẽ tìm tọa độ của (H_1,,H_2.) Giả sử hai điểm này có tọa độ lần lượt là: (H_1(1+t,,2+t,, -2-t),quad H_2(2+u,, 1-u,, 1).) 

Khi đó, ta có (overrightarrow{H_1H_2}=(u-t+1,, -u-t-1,, 3+t).) 

Do (H_1H_2 perp (d_1))(H_1H_2 perp (d_2)) nên ta có

(left{begin{aligned} &overrightarrow{H_1H_2} cdot overrightarrow{ u_1} =0 \ &overrightarrow{H_1H_2}cdot overrightarrow{u_2}=0end{aligned} right.)

( Leftrightarrow left{begin{aligned} &(u-t+1) cdot 1 +(-u-t-1) cdot 1 +(t+3)cdot (-1)=0 \ & (u-t+1)cdot 1 +(-u-t-1)cdot (-1) +(t+3)cdot 0 =0 end{aligned}right.)

(Leftrightarrow left{begin{aligned} &t=-1\ &u=-1 end{aligned}right.) 

Như thế, ta tìm được (H_1(0,,1,,-1))(H_2(1,,2,,1).) Từ đó, ta có (Ileft(frac{1}{2},, frac{3}{2},,0right))(R=IH_1 =frac{sqrt{6}}{2}.) 

Vậy phương trình của mặt cầu ((mathcal S)) là: (left(x-frac{1}{2}right)^2+left(y-frac{3}{2}right)^2+z^2 =frac{3}{2}.)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button