Kiến thức

Tích phân bằng phương pháp đổi biến loại 2-TOÁN HỌC

Tích phân bằng phương pháp đổi biến loại 2

Định lý:

Nếu hàm số $u=u(x)$ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên $left[ a;b right]$ sao cho $f(x)dx=g(u(x)){{u}^{‘}}(x)dx=g(u)du$ thì  $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$.

Quy tắc đổi biến loại 2

  1. Với $sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$,

Đặt $x=asin t,,,,,tin left[ -frac{pi }{2}; frac{pi }{2} right]$ hoặc $x=acos t,,,,,tin left[ 0; pi  right]$.

2. Với $sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$,

Đặt: $x=atan t,,,,,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)$ hoặc $x=acott,,,,,tin left( 0;pi  right)$.

3. Với $sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$,

Đặt  $x=frac{a}{sin t},,,,,,tin left[ -frac{pi }{2};,,frac{pi }{2} right]backslash left{ 0 right}$ Hoặc $x=frac{a}{cos t};$ $,,,tin left[ 0;pi  right]backslash left{ frac{pi }{2} right}$.

Dạng 1: $int{left( x,sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} right)}dtext{x}$

Phương pháp: Đặt x=asint với $t in left[ { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right]$

Bạn đang xem: Tích phân bằng phương pháp đổi biến loại 2-TOÁN HỌC

Ví dụ

Tính: $intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} $

Giải

Đặt: $x=tan t,,,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)$.

Khi $x=0$ thì $t=0$, khi $x=1$ thì $t=frac{pi }{4}$.

Ta có: $x=tan tRightarrow dx=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}$.

$begin{array}{l}
Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} \
= intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{1}{{1 + {{tan }^2}t}}} .frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}\
= intlimits_0^{frac{pi }{4}} {dt} \
= tleft| begin{array}{l}
frac{pi }{4}\
0
end{array} right. = frac{pi }{4}.
end{array}$

Ví dụ 2

Tính: $I = intlimits_0^4 {sqrt {4 – {x^2}} } dx$

Giải

Đặt: $x=2sin t,,,,tin left[ -frac{pi }{2};,,frac{pi }{2} right]$.

Khi x = 0 thì t = 0.

Khi $x=2$ thì $t=frac{pi }{2}$.              

Từ $x=2sin tRightarrow $ $dx=2cos tdt$.

$begin{array}{l}
intlimits_0^4 {sqrt {4 – {x^2}} } dx\
= intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {4 – 4{{sin }^2}t} .2cos tdt} \
= 4intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^2}tdt} = pi
end{array}$

Dạng 2: $int{left( x,sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} right)}dtext{x}$.

Phương pháp: Đặt $x = frac{a}{{cos t}}$ với $t in left[ {0;frac{pi }{2}} right)$

Xem thêm: Cấu tạo vỏ nguyên tử, phân lớp Electron và bài tập-hóa 10 bài 4

Ví dụ

Tính: $I=intlimits_{1}^{2}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}dtext{x}$

Giải

Đặt $x = frac{1}{{cost}}=> dx=frac{{sin t}}{{{rm{co}}{{rm{s}}^2}t}}dt$

Đổi cận : $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 to t = 0}\
{x = 2 to t = frac{pi }{3}}
end{array}} right.$

$sqrt {{x^2}-1}= sqrt {frac{1}{{{rm{co}}{{rm{s}}^2}{rm{ t}}}} -1}= left| {{mathop{rm tant}nolimits} } right| = {mathop{rm tant}nolimits} $ Vì $0le tle frac{pi }{3}$ .

$begin{array}{l}
I = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {tan t.frac{{sin t}}{{{rm{co}}{{rm{s}}^2}t}}dt} \
= intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{{{{sin }^2}t}}{{{rm{co}}{{rm{s}}^3}t}}dt} \
= intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{{{{sin }^2}t.c{rm{os}}t}}{{{rm{co}}{{rm{s}}^4}t}}dt}
end{array}$

Đặt u=sin t=>du=cos t dt

Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0 to u = 0}\
{t = frac{pi }{3} to frac{{sqrt 3 }}{2}}
end{array}} right.$

$begin{array}{l}
I = intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {frac{{{u^2}}}{{1 – {u^2}}}du} \
= intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {frac{{1 – (1 – {u^2})}}{{1 – {u^2}}}du} \
= intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {left( {frac{1}{{1 – {u^2}}} – 1} right)du} \
= intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {left( {frac{1}{2}(frac{1}{{1 – u}} + frac{1}{{1 + u}}) – 1} right)du} \
= left( {frac{1}{2}ln left| {frac{{1 + u}}{{1 – u}}} right| – u} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{sqrt 3 }}{2}}\
0
end{array}} right.\
= frac{1}{2}ln left| {frac{{2 + sqrt 3 }}{{2 – sqrt 3 }}} right| – frac{{sqrt 3 }}{2}
end{array}$

Dạng 3: $int{left( x,sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} right)}dtext{x}$.

Phương pháp: Đặt x=atant với $t in left[ {0;frac{pi }{2}} right)$

Ví dụ

Tính: $I = int_{frac{1}{{sqrt 3 }}}^1 {frac{{sqrt {{{left( {1 + {x^2}} right)}^5}} }}{{{x^8}}}} $

Giải

Đặt : $x = tan t;t in left[ {0;frac{pi }{2}} right)$

Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{1}{{sqrt 3 }} to t = frac{pi }{6}}\
{x = 1 to t = frac{pi }{4}}
end{array}} right.$

$dx = frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}$

$begin{array}{l}
= > I = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{sqrt {{{left( {1 + {{tan }^2}t} right)}^5}} }}{{{{tan }^8}t}}frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}} \
= int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{cos tdt}}{{{{sin }^8}t}}} \
= int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{d(sin t)}}{{{{sin }^8}t}}} \
= int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {{{left( {sin t} right)}^{ – 8}}d(sin t)} \
= – frac{1}{{7{{sin }^7}t}}left| {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{pi }{4}}\
{frac{pi }{6}}
end{array}} right. = frac{{128 – 8sqrt 2 }}{7}
end{array}$

Dạng 4: $int{left( x,sqrt{frac{a+x}{a-x}} right)}dtext{x}$.

Phương pháp: Đặt x=acos 2t với $t in left( {0;frac{pi }{2}} right)$

Xem thêm: [Tự học Java]-Vòng lặp for-each trong Java (Vòng lặp for nâng cao) » Cafedev.vn

Ví dụ

Tính: $I = int_0^{frac{5}{2}} {sqrt {frac{{5 + x}}{{5 – x}}} }dx $

Giải

Đặt: $x = 5cos 2t;t in left[ {0;frac{pi }{2}} right]$

Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0 to t = frac{pi }{4}}\
{x = frac{5}{2} to t = frac{pi }{6}}
end{array}} right.;dx = – 10sin 2tdt$

$ = > I = int_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{6}} {sqrt {frac{{5(1 + cos 2t)}}{{5(1 – cos 2t)}}} } left( { – 10sin 2t} right)dt$

$ = 10int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {sqrt {frac{{{{cos }^2}t}}{{{{sin }^2}t}}} } left( {2sin tcos t} right)dt$

$ = 10int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {2{{cos }^2}t} dt$

$ = 10int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {left( {1 + cos 2t} right)dt} $

$ = 10left( {t + frac{1}{2}sin 2t} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{pi }{4}}\
{frac{pi }{6}}
end{array}} right.$

$ = frac{{5pi }}{6} + frac{{5(2 – sqrt 3 )}}{2}$

Bài tập thực hành

Tính các tích phận sau:

a)$I = int_0^1 {sqrt {frac{{1 + x}}{{1 – x}}} } dx$

b)$I = int_0^{frac{3}{2}} {{x^2}sqrt {frac{{3 + x}}{{3 – x}}} } dx$

Dạng 5: $int{left( x,sqrt{(x-a)(x-b)} right)}dtext{x}$.

Phương pháp: Đặt $x=a+(b-a)si{{n}^{2}}t $ với $t in left[ {0;frac{pi }{2}} right]$

Xem thêm: [Bài học tiếng Anh giao tiếp] Bài 41-Phân biệt Will, Would, Shall, Should

Ví dụ

Tính: $I = int_{frac{5}{4}}^{frac{5}{2}} {frac{{dx}}{{sqrt {left( {x – 1} right)left( {2 – x} right)} }}}$

Giải

Đặt: $x = 1 + (2 – 1){sin ^2}t;t in left[ {0;frac{pi }{2}} right]$

Đổi cận : $left{ begin{array}{l}
begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{5}{4} to t = frac{pi }{6}}\
{x = frac{3}{2} to t = frac{pi }{4}}
end{array}\
dx = sin 2tdt
end{array} right.$

$ = > I = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{sin 2tdt}}{{sqrt {{{sin }^2}t(1 – {{sin }^2}t)} }}} $

$ = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{2sin tcos tdt}}{{sqrt {{{sin }^2}t{{cos }^2}t} }}} $

$ = 2int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {dt} = frac{pi }{6}$

Bài tập thực hành

Tính các tích phân sau

a) Chứng minh rằng: $int_{frac{{3a + b}}{4}}^{frac{{a + b}}{2}} {frac{{dx}}{{sqrt {left( {x – a} right)left( {b – x} right)} }}} = frac{pi }{6}$

b) $I = int_{frac{3}{2}}^2 {frac{{dx}}{{sqrt {left( {x – 1} right)left( {3 – x} right)} }}} $

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân

  • Phương pháp tính tích phân từng phần

  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1

  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2

  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp

  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối

  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt

  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân

  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích

  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳn

    g

———————–

Đề xuất cho bạn

  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt

  • Phương pháp tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chuyên mục:

Bài viết mới


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

đăng nhập

để bình luận.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button