Kiến thức

Ôn thi vào 10 môn Toán-Dạng 3: Giải phương trình bậc hai

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài viết sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về dạng bài về phương trình bậc hai một ẩn trong ôn thi vào 10 môn Toán với các ví dụ cụ thể, chi tiết.

Mục lục

Kiến thức ôn thi vào 10 môn toán

Bạn đang xem: Ôn thi vào 10 môn Toán-Dạng 3: Giải phương trình bậc hai

#1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx+c=0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước và a ≠0.

Công thức nghiệm: 

ôn thi vào 10 môn toánôn thi vào 10 môn toán

Ví dụ: Giải phương trình 2x² – 5x -7 = 0.

Giải: Δ = b² – 4ac = 25 +56 = 81 ; căn bậc hai của Δ = 9.

Do đó:

x_1=frac{5+9}{4}=frac{7}{2};x_2=frac{5-9}{4}=-1

x_1=frac{5+9}{4}=frac{7}{2};x_2=frac{5-9}{4}=-1

Xem thêm: ✅ ĐỀ THI MÔN HÓA HỌC KÌ 1 LỚP 8 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

#2. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nếu inline x_{1},x_2

inline x_{1},x_2 là hai nghiệm của phương trình ax^{2}+bx+c=0(aneq 0)ax^{2}+bx+c=0(aneq 0) thì

Đảo lại, nếu có hai số inline x_{1},x_2

inline x_{1},x_2 mà 

ôn thi vào 10 môn toánôn thi vào 10 môn toán

thì inline x_{1},x_2

inline x_{1},x_2 là các nghiệm của phương trình x^{2}-Sx+P=0.x^{2}-Sx+P=0.

Áp dụng:

(1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

Nếu a+b +c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c/a.

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = -c/a.

Ví dụ: Giải phương trình

2x² – 5x -7 = 0.

Giải: Ta có a – b + c = 2 + 5 – 7 = 0 nên

x_{1}=-1;x_2=frac{-c}{a}=frac{7}{2}

x_{1}=-1;x_2=frac{-c}{a}=frac{7}{2}

(2) Tính giá trị của biểu thức đối xứng các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương trình (nếu phương trình có nghiệm) :

Ví dụ: Cho phương trình

x^2-2(m+2)x+4m=0

x^2-2(m+2)x+4m=0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tính theo tham số m giá trị của biểu thức

A=frac{1}{x_1^2}+frac{1}{x_2^2};

A=frac{1}{x_1^2}+frac{1}{x_2^2}; c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x_1, x_2x_1, x_2 không phụ thuộc vào m.

Giải: a) Xét biệt thức Δ’ của phương trình (1):

Δ’ = b’² – ac = [-(m+2)]² -4m = m² + 4 > 0 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m+2)^2-8m=4m^2+8m+16

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m+2)^2-8m=4m^2+8m+16

Ta có frac{1}{x_1^2}+frac{1}{x_2^2}=frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=frac{4m^2+8m+16}{16m^2}=frac{m^2+2m+4}{4m^2}

frac{1}{x_1^2}+frac{1}{x_2^2}=frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=frac{4m^2+8m+16}{16m^2}=frac{m^2+2m+4}{4m^2}

c) Để viết được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m, ta làm theo hai bước:

  1. Theo hệ thức Vi-ét viết các hệ thức S và P theo m ( tính tổng và tích các nghiệm theo m)
  2. Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m.

Ta có:

Như vậy, ta có thể lấy hệ thức trên trừ đi dưới và được:

#3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Cách 1: Đưa về phương trình tích

Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích.

x^4+10x^3+35x^2+50x=0

x^4+10x^3+35x^2+50x=0

Leftrightarrow x(x^3+10x^2+35x+50)=0

Leftrightarrow x(x^3+10x^2+35x+50)=0

Leftrightarrow x(x+5)(x^2+5x+10)=0

Leftrightarrow x(x+5)(x^2+5x+10)=0

x = 0 hoặc

x = -5 hoặc

x² + 5x +10 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; -5}.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình

4x^{4}-3x^{2}-1=0

4x^{4}-3x^{2}-1=0

Đặt x² = t ≥ 0 ta được phương trình 4t² – 3t – 1 = 0.

Vì a + b + c = 0 nên 

t_1=1; t_2=frac{-1}{4}

t_1=1; t_2=frac{-1}{4}(loại)

Do đó x² = 1, suy ra x = ± 1.

Xem thêm: Bằng đại học ngôn ngữ Anh là gì? Tương đương bậc mấy?-EduLife

#4. Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng hai cách:

Cách 1: Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình

|x^2-x+1|-|x-2|=6 (1)

|x^2-x+1|-|x-2|=6 (1)

Giải:

Ta có  inline x^2-x+1=(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4}>0

inline x^2-x+1=(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4}>0 nên    |x^2-x+1|=x^2-x+1|x^2-x+1|=x^2-x+1

Khi đó (1) trở thành x^2-x+1-|x-2|=6. (2)

x^2-x+1-|x-2|=6. (2)

TH1: Nếu x ≥ 2 thì x – 2 ≥ 0, |x – 2| = x – 2

Phương trình (2) trở thành: x² − x + 1 − ( x − 2) = 6 hay x² − 2x − 3 = 0.

Vì a − b + c  = 0 nên (2) có nghiệm x = -1 (không thuộc khoảng đang xét-> loại) và x = 3 (thuộc khoảng đang xét->thoả mãn)

TH2: Nếu x < 2 thì x − 2 < 0, |x −2| = 2 − x

Phương trình (2) trở thành: x² − x + 1 − ( 2 − x) = 6 hay x² = 7.

Suy ra x_1=sqrt{7}>2

x_1=sqrt{7}>2 (không thuộc khoảng đang xét -> loại)

x_2=-sqrt{7}<2

x_2=-sqrt{7}<2 ( thuộc khoảng đang xét -> thoả mãn)

Kết luận: Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1) là S = {3; √7}

Trong quá trình ôn thi vào 10 môn toán, các em sẽ rất hay gặp dạng bài tập liên quan giải phương trình bậc hai và áp dụng định lí Vi-ét để nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị các biểu thức đối xứng, xét dấu các nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm âm, dương, …

Vì thế, chúng ta cần nắm chắc các kiến thức trên và áp dụng linh hoạt vào giải bài tập.

Xem thêm:

Hướng dẫn ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán lớp 9

Tags:

Giải phương trình

,

toán 9

Leave a Reply

Cancel Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button