Kiến thức

Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ-O2 Education

0

Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ

Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng

phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản

.

Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:

  • Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình chứa căn

  • Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

  • Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Bạn đang xem: Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ-O2 Education

1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:

  • Đưa về phương trình một ẩn.
  • Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
  • Đưa về phương trình tích (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
  • Đưa về hệ phương trình.

Xem thêm: Phân biệt và cách dùng “IN, ON, AT” trong bài thi Toeic

2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

Ví dụ 1. Giải phương trình $$sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t ge 0$ ta thu được phương trình [begin{array}{*{20}{l}}
{}&{sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\
Leftrightarrow &{left{ begin{array}{l}
7 – t ge 0\
{t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
end{array} right.}\
Leftrightarrow &{left{ begin{array}{l}
t le 7\
{t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
end{array} right.}\
Leftrightarrow &{t = 3}
end{array}] Với $ t=3, $ ta có phương trình [sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=frac{{1 pmsqrt {22} }}{3}.$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$left( x+1 right)left( x+4 right)<5sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với [ {{x}^{2}}+5x+4<5sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} ] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ tge0 $ thì thu được bất phương trình [ {{t}^{2}}-5t+24<0 ] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$sqrt{x+2}+sqrt{5-x}+sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2le xle 5$. Đặt $t=sqrt{x+2}+sqrt{5-x}$ điều kiện $ tge0. $ Suy ra [ {{t}^{2}}=7+2sqrt{x+2}sqrt{5-x}=7+2sqrt{left( x+2 right)left( 5-x right)} ] Do đó $ sqrt{left( x+2 right)left( 5-x right)}=dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình [ t + frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 ] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình [{sqrt {x + 2} + sqrt {5 – x} = 3}] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương [begin{array}{*{20}{c}}
{}&{7 + 2sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\
Leftrightarrow &{sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
end{array}]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={frac{{3 pm3sqrt 5 }}{2}}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt{x-sqrt{{{x}^{2}}-1}}+sqrt{x+sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge 1$. Nhận xét: $sqrt{x-sqrt{{{x}^{2}}-1}}.sqrt{x+sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=sqrt{x-sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+frac{1}{t}=2Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $sqrt{x-sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $xge -frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=sqrt{4x+5}$ điều kiện $ tge 0 $ thì $x=frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: begin{align*}
& 2.frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\
Leftrightarrow;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\
Leftrightarrow;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1pm 2sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1pm 2sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-sqrt{2}$ và $x=2+sqrt{3}$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+sqrt{5+sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1le xle 6$. Đặt $y=sqrt{x-1}$ điều kiện $yge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+sqrt{y+5}=5Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $yle sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0Leftrightarrow y=frac{1+sqrt{21}}{2},y=frac{-1+sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=frac{11-sqrt{17}}{2}$.

Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=left( 2004+sqrt{x} right){{left( 1-sqrt{1-sqrt{x}} right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0le xle 1$. Đặt $y=sqrt{1-sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{left( 1-y right)}^{2}}left( {{y}^{2}}+y-1002 right)=0Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $

Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2xsqrt{x-frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2sqrt{x-frac{1}{x}}=3+frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-frac{1}{x}$. Đáp số $ x=frac{1pm sqrt{5} }{2}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$left( x-frac{1}{x} right)+sqrt[3]{x-frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=sqrt[3]{x-frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=frac{1pm sqrt{5}}{2}$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình [ frac{1}{1-x^2}>frac{3x}{sqrt{1-x^2}}-1 ] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành begin{align*}
&frac{1}{1-x^2}-1>frac{3x}{sqrt{1-x^2}}-2 \
Leftrightarrow;& frac{x^2}{1-x^2}>3cdotfrac{x}{sqrt{1-x^2}}-2
end{align*} Đặt $ t= frac{x}{sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là [{{t^2} > 3t – 2}]

Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)sqrt{frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)sqrt{frac{x}{x-1}}$ thì $tin mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là [ Delta ge 0 Leftrightarrow mge -4 ] Vậy với $ mge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ mleft( sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 right)+x(2-x)le 0 $$ có nghiệm $xin left[ 0;1+sqrt{3} right]$.

Hướng dẫn. Đặt $t=sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $xin [0;1+sqrt{3}] $ nên $ tin[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ mle frac{{{t}^{2}}-2}{t+1},,,,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$

Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $xin left[ 0;,,1+sqrt{3} right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $tin [1,2]$ khi và chỉ khi $$mleunderset{tin left[ 1;2 right]}{mathop{max f(t)}}=f(2)=frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $mlefrac{2}{3}.$

Xem thêm: Một vài thủ thuật trong Power Point (P2)

3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn ( x,y ) là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:

  • Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $yne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
  • Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành [begin{array}{l}
    ,,,,,,,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\
    Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
    end{array}] mà không cần phải đặt $t=frac{x}{y}$.

Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1ge0 Leftrightarrow xge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?

Viết lại phương trình đã cho thành begin{align*}
& 5sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\
Leftrightarrow ;&5sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((sqrt{x+1})^2+(sqrt{x^2-x+1})^2)
end{align*} Đặt $ a=sqrt{x+1} $ và $ b=sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=frac{5pmsqrt{37}}{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3pmsqrt{13}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2left( {{x}^{2}}+2 right)=5sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=sqrt{x+1},v=sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} right)=5uvLeftrightarrow left[ begin{array}{l}
u=2v \
u=frac{1}{2}v
end{array} right.$$
Tìm được đáp số $x=frac{5pm sqrt{37}}{2}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công begin{align*}
x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\
&=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành [ 5sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) ] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $

Ví dụ 5. Giải bất phương trình  $$2{x^3} le (1 + 2x – 3{x^2})sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=sqrt{2x+1}$ điều kiện $ yge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
2{{x}^{3}}le left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} right)yLeftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}le 0,,,(*)
$$ Ta xét hai trường hợp:

  • $ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-frac{1}{2}. $
  • $ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được [begin{array}{*{20}{l}}
    {}&{2{{left( {frac{x}{y}} right)}^3} + 3{{left( {frac{x}{y}} right)}^2} – 1 le 0}\
    Leftrightarrow &{left( {2frac{x}{y} – 1} right){{left( {frac{x}{y} + 1} right)}^2} le 0}\
    Leftrightarrow &{frac{x}{y} le frac{1}{2}}\
    Leftrightarrow &{y ge 2x}
    end{array}]Do đó, ta được
    $sqrt {2x + 1} ge 2x Leftrightarrow Bigg[ begin{array}{l}
    left{ begin{array}{l}
    x le 0\
    2x + 1 ge 0
    end{array} right.\
    left{ begin{array}{l}
    x > 0\
    2x + 1 ge 4{x^2}
    end{array} right.
    end{array} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
    – frac{1}{2} le x le 0\
    0 < x le frac{{1 + sqrt 5 }}{4}
    end{array} right.$

Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=left[ -frac{1}{2};frac{1+sqrt{5}}{2} right]$.

Xem thêm: Phương trình đường thẳng: các dạng, cách viết, hướng dẫn giải bài tập

4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.

Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $

Ta có $ Delta=(x-3)^2ge 0 ; forall x$ do đó [ left[begin{array}{l}
t=x\ t=3
end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l}
sqrt{x^2+1}=x\ sqrt{x^2+x}=3
end{array}right. Leftrightarrow x=pm 2sqrt{2}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=pm 2sqrt{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $

Đáp số $ x=-1pm sqrt{6}. $

Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $

Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $tge frac{sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (ref{ap1}) $ trở thành: begin{align*}
&4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\
Leftrightarrow ;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-left( {{t}^{2}}-4t+4 right)=0 \
Leftrightarrow ;&{{left( {{t}^{2}}-3 right)}^{2}}-{{left( t-2 right)}^{2}}=0\
Leftrightarrow ;&left( {{t}^{2}}-t-1 right)left( {{t}^{2}}+t-5 right)=0
end{align*} Tìm được $t=frac{1+sqrt{5}}{2}$ và $t=frac{-1+sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=frac{-1-sqrt{19-2sqrt{21}}}{2}$ và $x=frac{-1+sqrt{19-2sqrt{21}}}{2}$.

5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình $$2sqrt[3]{3x-2}+3sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $xle frac{6}{5}$. Đặt $left{ begin{array}{l}
u=sqrt[3]{3x-2} \
v=sqrt{6-5x}
end{array} right. $ thì chúng ta có $ left{ begin{array}{l}
{{u}^{3}}=3x-2 \
{{v}^{2}}=6-5x
end{array} right.$

Do đó, ta có hệ phương trình $$left{ begin{array}{l}
2u+3v=8 \
5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 end{array} right.$$ Giải hệ này ta được $left{ begin{array}{l} u=-2 \
v=4 end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}
3x-2=-2 \
6-5x=16 end{array} right.Rightarrow x=-2$.

Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $$2text{x}+1+xsqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $begin{cases}
u=sqrt{{{x}^{2}}+2} \
v=sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
end{cases}
$ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
begin{cases}
{{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \
{{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \
end{cases}
Rightarrow begin{cases}
{{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \
{{x}^{2}}=frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \
end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)left( (v-u)left( 1+frac{v+u}{2} right)+frac{1}{2} right)=0Leftrightarrowleft[ begin{array}{l}
v-u=0\
(v+u)left( 1+frac{v+u}{2} right)+frac{1}{2}=0\
end{array} right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $

Vậy phương trình đã cho  tương đương với $$  v=uLeftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=sqrt{{{x}^{2}}+2}Leftrightarrow x=-frac{1}{2} $$

Đại số

,

Toán học

bất phương trình

,

bất phương trình chứa căn

,

đặt ẩn phụ

,

phương trình

,

phương trình chứa căn

,

phương trình vô tỷ

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button