Kiến thức

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Bạn đang xem: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Cập nhật lúc: 16:56 27-06-2018

Mục tin: LỚP 11


Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp. Nguồn: Nguyễn Văn Tuấn Anh

  • PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC

Xem thêm:

Một số phương trình lượng giác không mẫu mực

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp.

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:

({A^2} + {B^2} = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}A = 0\B = 0end{array} right.)

Bài 1. Giải phương trình: (3{tan ^2}x + 4{sin ^2}x – 2sqrt 3 tan x – 4sin x + 2 = 0)

GIẢI

(begin{array}{l}3{tan ^2}x + 4{sin ^2}x – 2sqrt 3 tan x – 4sin x + 2 = 0\ Leftrightarrow 3{tan ^2}x – 2sqrt 3 tan x + 1 + 4{sin ^2}x – 4sin x + 1 = 0\ Leftrightarrow {(sqrt 3 tan x – 1)^2} + {(2sin x – 1)^2} = 0\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sqrt 3 tan x – 1 = 0\2sin x – 1 = 0end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}tan x = frac{{sqrt 3 }}{3}\sin x = frac{1}{2}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{pi }{6} + mpi \x = frac{pi }{6} + 2npi end{array} right.left( {m,n in Z} right)end{array})

ĐS (x = frac{pi }{6} + 2kpi ) ((k in Z))

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình (f(x) = g(x)), ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: (f(x) ge A,forall x in (a,b)) và (g(x) le A,forall x in (a,b)) thì khi đó:

(f(x) = g(x) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x) = A\g(x) = Aend{array} right.)

Nếu ta chỉ có (f(x) > A) và (g(x) < A), (forall x in (a,b)) thì kết luận phương trình vô ngiệm.

Bài 2. Giải phương trình: ({cos ^5}x + {x^2} = 0)

GIẢI

({cos ^5}x + {x^2} = 0 Leftrightarrow {x^2} =  – {cos ^5}x)

Vì ( – 1 le cos x le 1) nên (0 le {x^2} le 1 Leftrightarrow  – 1 le x le 1)

mà (left[ { – 1,1} right] subset left( {frac{{ – pi }}{2},frac{pi }{2}} right) Rightarrow cos x > 0,forall x in left[ { – 1,1} right] Rightarrow  – {cos ^5}x < 0,forall x in left[ { – 1,1} right])

Do ({x^2} > 0) và ( – {cos ^5}x < 0) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3. Giải phương trình: ({sin ^{1996}}x + {cos ^{1996}}x = 1) (1)

GIẢI

(1)  ( Leftrightarrow {sin ^{1996}}x + {cos ^{1996}}x = {sin ^2}x + {cos ^2}x)

      ( Leftrightarrow {sin ^2}x({sin ^{1994}}x – 1) = {cos ^2}x(1 – {cos ^{1994}}x)) (2)

Ta thấy (left{ begin{array}{l}{sin ^2}x ge 0\{sin ^{1994}}x le 1end{array} right. Rightarrow {sin ^2}x({sin ^{1994}}x – 1) le 0,forall x)

Mà (left{ begin{array}{l}{cos ^2}x ge 0\1 – {cos ^{1994}}x ge 0end{array} right. Rightarrow {cos ^2}x(1 – {cos ^{1994}}x) ge 0,forall x)

Do đó (2)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{sin ^2}x({sin ^{1994}}x – 1) = 0\{cos ^2}x(1 – {cos ^{1994}}x) = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}sin x = 0\sin x =  pm 1end{array} right.\left[ begin{array}{l}cos x = 0\cos x =  pm 1end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x = mpi \x = frac{pi }{2} + mpi end{array} right.\left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{2} + npi \x = npi end{array} right.end{array} right.(m,n in Z))

Vậy nghiệm của phương trình là: (x = kfrac{pi }{2}(k in Z))

ĐS (x = kfrac{pi }{2}(k in Z))

Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:

(sin ax.sin bx = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}sin ax = 1\sin bx = 1end{array} right.\left{ begin{array}{l}sin ax =  – 1\sin bx =  – 1end{array} right.end{array} right.)

(sin ax.sin bx =  – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}sin ax = 1\sin bx =  – 1end{array} right.\left{ begin{array}{l}sin ax =  – 1\sin bx = 1end{array} right.end{array} right.)

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

(begin{array}{l}cos ax.cos bx = 1\cos ax.cos bx =  – 1\sin ax.cos bx = 1\sin ax.cos bx =  – 1end{array})  

III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:

+) Dùng tính chất đại số

+) Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương trình (f(x) = 0) có 1 nghiệm (x = alpha  in (a,b)) và hàm (f) đơn điệu trong ((a,b)) thì (f(x) = 0) có nghiệm duy nhất là (x = alpha ).

Phương trình (f(x) = g(x)) có 1 nghiệm (x = alpha  in (a,b)), (f(x)) tăng (giảm) trong ((a,b)), (g(x)) giảm (tăng) trong ((a,b)) thì phương trình (f(x) = g(x)) có nghiệm (x = alpha ) là duy nhất.

Bài 4. Giải phương trình: (cos x = 1 – frac{{{x^2}}}{2}) với (x > 0)

GIẢI

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm (x = 0).

Đặt (f(x) = cos x + frac{{{x^2}}}{2} – 1) là biểu thức của hàm số có đạo hàm (f'(x) =  – sin x + x > 0,forall x > 0) (vì (left| x right| > left| {sin x} right|,forall x))

( Rightarrow ) Hàm (f) luôn đơn điệu tăng trong (left( {0, + infty } right))

( Rightarrow ) (f(x) = 0) có 1 nghiệm duy nhất trong (left( {0, + infty } right))

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x = 0)

B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình: ({x^2} – 2xcos x – 2sin x + 2 = 0) (1)

GIẢI

Ta có (1)       ( Leftrightarrow {x^2} – 2xcos x + {cos ^2}x + {sin ^2}x – 2sin x + 1 = 0)

                     (begin{array}{l} Leftrightarrow {(x – cos x)^2} + {(sin x – 1)^2} = 0\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – cos x = 0\sin x – 1 = 0end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos x = x\sin x = 1end{array} right.end{array})

Phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình: ({sin ^4}x + {cos ^{15}}x = 1)

GIẢI

Ta có:     ({sin ^4}x + {cos ^{15}}x = 1)

( Leftrightarrow {sin ^4}x + {cos ^{15}}x = {sin ^2}x + {cos ^2}x)

( Leftrightarrow {sin ^2}x({sin ^2}x – 1) = {cos ^2}x(1 – {cos ^{13}}x)) (1)

Vì ({sin ^2}x({sin ^2}x – 1) le 0,forall x)

Và ({cos ^2}x(1 – {cos ^{13}}x) ge 0,forall x)

Do đó (1)      ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{sin ^2}x({sin ^2}x – 1) = 0\{cos ^2}x(1 – {cos ^{13}}x) = 0end{array} right.)

            ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}sin x = 0\sin x =  pm 1end{array} right.\left[ begin{array}{l}cos x = 0\cos x = 1end{array} right.end{array} right.)

            ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x = mpi \x = frac{pi }{2} + mpi end{array} right.\left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{2} + npi \x = 2npi end{array} right.end{array} right.(m,n in Z))

ĐS (x = frac{pi }{2} + kpi ) hay (x = 2kpi ), ((k in Z))

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI

Bài 3: Giải các phương trình:

1. ({sin ^4}x + {cos ^4}(x + frac{pi }{4}) = frac{1}{4}) (1)

2. ({(tan x + frac{1}{4}cot x)^n} = {cos ^n}x + {sin ^n}x(n = 2,3,4,…))

GIẢI

1. Ta có:

(1)        ( Leftrightarrow frac{{{{(1 – cos 2x)}^2}}}{4} + frac{{{{left[ {1 + cos (2x + frac{pi }{2})} right]}^2}}}{4} = frac{1}{4})

            ( Leftrightarrow {(1 – cos 2x)^2} + {(1 – sin 2x)^2} = 1)

            (begin{array}{l} Leftrightarrow cos 2x + sin 2x = 1\ Leftrightarrow cos (2x – frac{pi }{4}) = frac{{sqrt 2 }}{2}end{array})

   ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = kpi \x = frac{pi }{4} + kpi end{array} right.(k in Z))

2. Với điều kiện (x ne kfrac{pi }{2}) ta có (tan x) và (cot x) luôn cùng dấu nên:

(left| {tan x + frac{1}{4}cot x} right| = left| {tan x} right| + left| {frac{1}{4}cot x} right| ge 2sqrt {left| {tan x cdot frac{1}{4}cot x} right|}  = 1 Rightarrow {left| {tan x + frac{1}{4}cot x} right|^n} ge 1)

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left| {tan x} right| = left| {frac{1}{4}cot x} right| Leftrightarrow {tan ^2}x = frac{1}{4} Leftrightarrow tan x =  pm frac{1}{2})

+) Với (n = 2): phương trình ({left( {tan x + frac{1}{4}cot x} right)^2} = 1) có nghiệm cho bởi:

(tan x =  pm frac{1}{2} Leftrightarrow x =  pm arctan frac{1}{2} + kpi (k in Z))

+) Với (n in Z,n > 2) thì:

({cos ^n}x + {sin ^n}x le {cos ^2}x + {sin ^2}x = 1)

Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = kfrac{pi }{2};khi;n = 2m\x = 2kpi ;hay;x = frac{pi }{2} + 2kpi ;khi;n = 2m + 1end{array} right.quad (k,m in Z))

(đều không thoả mãn điều kiện (x ne kfrac{pi }{2}) của phương trình)

Vậy với (n > 2,n in Z) thì phương trình vô nghiệm.

ĐS  (x =  pm arctan frac{1}{2} + kpi (k in Z))

Bài 4: Giải phương trình: (cos xsqrt {frac{1}{{cos x}} – 1}  + cos 3xsqrt {frac{1}{{cos 3x}} – 1}  = 1) (1)

GIẢI

Điều kiện: (left{ begin{array}{l}cos x > 0\cos 3x > 0end{array} right.)

Khi đó (1) ( Leftrightarrow sqrt {cos x – {{cos }^2}x}  + sqrt {cos 3x – {{cos }^2}3x}  = 1)

Vì ({a^2} – a + frac{1}{4} = {(a – frac{1}{2})^2} ge 0 Rightarrow a – {a^2} le frac{1}{4})

Do đó (cos x – {cos ^2}x le frac{1}{4}) và (cos 3x – {cos ^2}3x le frac{1}{4}) ( Rightarrow sqrt {cos x – {{cos }^2}x}  le frac{1}{2};v`a ;sqrt {cos 3x – {{cos }^2}3x}  le frac{1}{2})

Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos x – {cos ^2}x = frac{1}{4}\cos 3x – {cos ^2}3x = frac{1}{4}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos x = frac{1}{2}\cos 3x = frac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow x in emptyset )

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phương trình: ({sin ^3}x + {cos ^3}x = 2 – {sin ^4}x)

Giải:

(begin{array}{l}{sin ^3}x le {sin ^2}x;,forall x\{cos ^3}x le {cos ^2}x;,forall x\ Rightarrow {sin ^3}x + {cos ^3}x le 1;,forall x\2 – {sin ^4}x ge 1;,forall xend{array})

Vậy phương trình tương đương: (left{ begin{array}{l}{sin ^3}x + {cos ^3}x = 1\2 – {sin ^4}x = 1end{array} right.)

ĐS (x = frac{pi }{2} + 2kpi ;(k in Z))

Bài 2: Giải phương trình:  (sin x + tan x – 2x = 0) với (0 le x le frac{pi }{2})

Giải:

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm (x = 0)

Đặt (f(x) = sin x + tan x – 2x) liên tục trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right))

Có đạo hàm: (f'(x) = frac{{(cos x – 1)({{cos }^2}x – cos x – 1)}}{{{{cos }^2}x}} ge 0,,forall x in left[ {0;frac{pi }{2}} right)) do

(frac{{1 – sqrt 5 }}{2} < 0 le cos x le 1 < frac{{1 + sqrt 5 }}{2} Rightarrow {cos ^2}x – cos x – 1 < 0)

( Rightarrow f) đơn điệu tăng trên (left[ {0;frac{pi }{2}} right))

Bài 3: Giải phương trình:  ({left( {cos 4x – cos 2x} right)^2} = 5 + sin 3x)

ĐS (x = frac{pi }{2} + 2kpi ,(k in Z))

Bài 4: Giải phương trình: ({cos ^4}x – {sin ^4}x = left| {cos x} right| + left| {sin x} right|)

ĐS (x = kpi ,(k in Z))

Bài 5: Giải phương trình: ({x^2} – 2sin xy + 1 = 0)

ĐS (left{ begin{array}{l}x = 1\y = frac{pi }{2} + 2kpi end{array} right.) hay (left{ begin{array}{l}x = – 1\y = frac{pi }{2} + 2kpi end{array} right.)

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 – Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button