Kiến thức

Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập – Định nghĩa mọi thứ.

  • Toán học

Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

24 Tháng Mười, 2020

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là một dạng toán phổ biến trong chương trình toán lớp 9 và lớp 10. Vậy có những dạng PT chứa căn nào? Phương pháp giải phương trình chứa căn?… Trong nội dung bài viết dưới dây, Định Nghĩa  sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề PT chứa căn, cùng tìm hiểu nhé!

Nhắc lại kiến thức căn bản 

Để giải quyết được các bài toán phương trình chứa căn thì đầu tiên các bạn phải nắm rõ được các kiến thức về căn thức cũng như các hằng đẳng thức quan trọng.

Bạn đang xem: Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập – Định nghĩa mọi thứ.

Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số (a) không âm là số (x) sao cho (x^2=a)

Như vậy, mỗi số dương (a) có hai căn bậc 2 là (sqrt{a};-sqrt{a})

Tương tự như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một số (a) là số (x) sao cho (x^3=a). Mỗi số (a) chỉ có duy nhất một căn bậc 3

Căn bậc 4 của một số (a) không âm là số (x) sao cho (x^4=a). Mỗi số dương (a) có hai căn bậc 4 là (sqrt[4]{a};-sqrt[4]{a})

Các hằng đẳng thức quan trọng 

phương trình chứa căn và hình ảnh minh họa Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

Xem chi tiết >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng (sqrt{f(x)}). Với dạng toán này, trước khi bắt đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng giá trị của (x) để (f(x) geq 0 ).

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là phương pháp đơn giản và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với các phương trình dạng: (sqrt{f(x)}=g(x))

Ví dụ :

Giải phương trình: (sqrt{x^2-4x+3}=3x-7)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{begin{matrix} x^2-4x+3 geq 0 3x-7 geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (x-1)(x-3)geq 03x geq 7 end{matrix}right.)

(Leftrightarrowleft{begin{matrix} left[begin{array}{l} x geq 3x leq 1 end{array}right. xgeq frac{7}{3} end{matrix}right. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta có :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2x=5 end{array}right.)

Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là (x=5)

Xem thêm: Casio – Vinacal Chuyên đề 18: Tìm Nhanh Nguyên Hàm Của Hàm Số

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh:

Vế trái (geq) Vế phải hoặc  Vế trái (leq) Vế phải rồi sau đó “ép” cho dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} =2sqrt{2})

Cách làm :

Điều kiện xác định :

(left{begin{matrix} 5x-x^2-4 geq 0 x-1 geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} (x-1)(x-4) leq 0 x geq 1 end{matrix}right. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrt{a} + sqrt{b} leq sqrt{2(a+b)}), ta có :

(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1x=3 end{array}right. hspace{1cm}  (1))

Ta có : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x=3  hspace{1cm} (2))

Vậy :

(sqrt{5x-x^2-4} + sqrt{x-1} leq sqrt{2(6x-x^2-5)} leq sqrt{8}=2sqrt{2}) 

Do đó, để thỏa mãn phương trình đã cho thì ((1)(2)) phải thỏa mãn, hay (x=3)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : (sqrt{f(x)} pm sqrt{g(x)} =k) ta có thể đặt ẩn phụ (left{begin{matrix} a=sqrt{f(x)} b=sqrt{g(x)} end{matrix}right.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrt{x^2+5} – sqrt{x^2-3} =2)

Cách giải:

Điều kiện xác định : (left[begin{array}{l} x geq sqrt{3}x leq -sqrt{3} end{array}right.)

Đặt (left{begin{matrix} a= sqrt{x^2+5} b= sqrt{x^2-3} end{matrix}right.) ta có :

(left{begin{matrix} a-b =2 a^2-b^2=8 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a-b=2 (a-b)(a+b)=8 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} a-b=2a+b=4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=3 b=1 end{matrix}right.)

Thay vào ta tìm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{f(x)}=g(x))

Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)

Ví dụ:

Giải phương trình : (sqrt[3]{3x-4}= x-2)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta có :

(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)

(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1x=4 end{array}right.)

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{A}+sqrt[3]{B}=sqrt[3]{C})

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

(A+B +3sqrt[3]{AB}(sqrt[3]{A}+sqrt[3]{B})=C)

Thay (sqrt[3]{A}+sqrt[3]{B}=sqrt[3]{C}) vào ta được :

(sqrt[3]{ABC}=C-A-B (2) )

Phương trình trở về dạng (sqrt[3]{f(x)}=g(x)).

Chú ý: Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình ((2)) chỉ là hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

(sqrt[3]{3x-4}+sqrt[3]{x+3}=sqrt[3]{4x-1})

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

((3x-4)+(x+3)+3sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.(sqrt[3]{3x-4}+sqrt[3]{x+3})=4x-1)

(Rightarrow 3sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.sqrt[3]{4x-1}=0)

(Rightarrow 3sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.sqrt[3]{4x-1}=0 Rightarrow left[begin{array}{l} x=frac{4}{3}x=-3 x=frac{1}{4} end{array}right.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : (frac{4}{3}; -3; frac{1}{4})

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Xem thêm: Điện thoại làm từ chất liệu nào tốt nhất? Kim loại, nhựa hay kính?

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt[4]{x^4-4x^3+17}-x+1)

Cách giải :

Điều kiện xác định :

( left{begin{matrix} x^4-4x^3+17 geq 0 x geq 1 end{matrix}right.)

Phương trình đã cho tương đương với :

(sqrt[4]{x^4-4x^3+17}=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)

(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)

(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)

(Rightarrow left[begin{array}{l} x=2x=-frac{4}{3} end{array}right.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình bày chúng ta cần chú ý về dấu của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

tìm hiểu về phương trình chứa căn Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế

Các bước làm cũng tương tự cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt{5-x} geq 0)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{begin{matrix} x-3 geq 0 5-x geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 3 x leq 5 end{matrix}right. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình đã cho tương đương với :

(x-3 geq sqrt{5-x} Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 4 x leq 1 end{matrix}right.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là (x in mathbb{R} | xgeq 4)

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là phương pháp nâng cao, dùng để giải các bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

(sqrt{a} – sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} + sqrt{b}})

(sqrt{a} + sqrt{b} =frac{a-b}{sqrt{a} – sqrt{b}})

(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b} = frac{a-b}{sqrt[3]{a^2}+sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2}})

(sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b} = frac{a+b}{sqrt[3]{a^2}-sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2}})

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (sqrt{x+5}-sqrt{2x+3} geq x^2-4)

Cách giải:

Điều kiện :

(left{begin{matrix} x geq -5 x geq -frac{3}{2} end{matrix}right. Leftrightarrow xgeq -frac{3}{2})

Ta có:

(sqrt{x+5}-sqrt{2x+3} = frac{(x+5)- (2x+3)}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}=frac{2-x}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}})

(x^2-4 =(x-2)(x+2))

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

(frac{2-x}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}geq (x-2)(x+2))

(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}}) leq 0)

Từ ĐKXĐ có (x geq frac{3}{2} Rightarrow x+2 geq frac{1}{2} >0)

Vậy nên :

(x+2+frac{1}{sqrt{x+5}+sqrt{2x+3}} geq 0)

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)

Kết hợp Điều kiện xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

(-frac{3}{2} leq x leq 2)

định nghĩa phương trình chứa căn thức Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

lý thuyết phương trình chứa căn Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

kiến thức cần nhớ về phương trình chứa căn Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

tổng hợp về phương trình chứa căn Phương trình chứa căn thức: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó

Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế

Đây là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong các bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế, ta làm theo các bước sau :

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

(left{begin{matrix} sqrt{x+1}=y+2 sqrt{x+2y-1}=2y+1 end{matrix}right.)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{begin{matrix} xgeq -1y geq -2 x geq 1-2y y geq -frac{1}{2} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq -1 x geq 1-2y y geq -frac{1}{2} end{matrix}right.)

Từ PT (1) ta có :

(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)

(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace{1cm}(*))

Thay vào PT (2) ta được :

(sqrt{y^2+4y+3+2y-1} = 2y+1)

(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)

(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)

(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y=1 y=-frac{1}{3} end{array}right.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left[begin{array}{l} y=1 ; x= 8 y=-frac{1}{3}; x=frac{1}{9} end{array}right.)

Kết hợp điều kiện xác định thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn.

Xem thêm: California Consumer Privacy Act (CCPA)

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn (x;y) sao cho khi ta thay đổi vai trò (x;y) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi:

(left{begin{matrix} f(x;y)=0g(x;y)=0 end{matrix}right.)

Với:

(left{begin{matrix} f(x;y)=f(y;x)g(x;y)= g(y;x) end{matrix}right.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chú ý có thêm bước tìm ĐKXĐ

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{begin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3 sqrt{x+1} + sqrt{y+1}=4 end{matrix}right.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{begin{matrix} x geq -1y geq -1 xy geq 0 end{matrix}right. hspace{1cm} (*))

Đặt (S=x+y hspace{5mm}; P=xy) với (left{begin{matrix} S^2 geq 4P Pgeq 0 S geq -2 end{matrix}right. hspace{1cm} (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{begin{matrix} x+y-sqrt{xy}=3 x+y+2+sqrt{x+y+xy+1}=16 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} S- sqrt{P} =3 S+2+2sqrt{S+P+1}=16 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} P= S^2 -6S +9 S -14 =-2sqrt{S+P+1} end{matrix}right.) với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ PT (1) vào PT (2) ta có :

(S-14 = -2sqrt{S^2-5S+10})

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} S=6S=-frac{26}3{} end{matrix}right.)

Kết hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).

Xem chi tiết >>> Các phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2

READ  Định nghĩa hình vuông là gì? Công thức tính chu vi, diện tích hình vuông

>>> Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao

Bài viết trên đây của Định Nghĩa đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Tác giả: Việt Phương

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button