Kiến thức

Phương trình đường elip – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Phương trình đường elip – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Đang tải…

Phương trình đường elip

Bạn đang xem: Phương trình đường elip – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình đường elip

1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm F_1 (-c ; 0), F_2 (c ; 0) và độ
dài không đổi 2a (a > c > 0).
Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho F_1 M + F_2 M= 2a (h.3.4). Ta có thể viết:
(E)= { M | F_1 M + F_2 M = 2}.

2. Phương trình chính tắc của elip (E) là  : 

3. Các thành phần của elip (E) là :

Phương trình đường elip– Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0);

– Bốn đỉnh :A_1 (- a ; 0), A_2  (a ; 0),
B_1 {0 ; -b),B_2 (0 ; b);

Độ dài trục lớn : A_1 A_2 = 2a ;

– Độ dài trục nhỏ B_1 B_2 = 2b ;

– Tiêu cự : F_1 F_2 = 2c (h.3.5).

4. Hình dạng của elip (E):

– (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ;

– Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

Xem thêm: How to Create Appealing Excel Data Validation Drop Down List

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.
– Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức :

– Ta có các hệ thức (h.3.6):
• 0 < b < a
c^2 = a^2  b^2
F_1 F_2 = 2c (tiêu cự)
A_1 A_2 = 2a (độ dài trục lớn)
B_1 B_2 = 2b (độ dài trục nhỏ)
• M ∈ (E) ⇔ F_1 M + F_2 M= 2a.

– Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip (E):
• Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0);
• Hai đỉnh trên trục lớn : A_1 (- a ; 0), A_2  (a ; 0),
• Hai đỉnh trên trục nhỏ : B_1 (0 ; -b),B_2 (0 ; b);

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ;

b) Một tiêu điểm là điểm (- sqrt{3} ; 0 ) và điểm ( 1; frac {sqrt3}{2} ) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3
b^2 a^2  c^2 = 25 – 9 = 16.
Phương trình đường elip
Phương trình đường elip
Vì (E) có một tiêu điểm F_1 (- sqrt{3} ; 0 ) nên c = sqrt{3} . Ta có :

Phương trình đường elip

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1; frac {sqrt3}{2}

GIẢI

a) Ta có a = 3 ; c = 2.
Suy ra b^2 a^2  c^2 = 9 – 4 = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip là :

Phương trình đường elip

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng :
Phương trình đường elip

Phương trình đường elip

 

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

1. Phương pháp

Phương trình đường elip

– Trục lớn của (E) nằm trên Ox, A_1 A_2 = 2a

–  Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy, B_1 B_2 = 2b

Phương trình đường elip– Hai tiêu điểm : F_1 (- c ; 0), F_2 (c ; 0) với c = sqrt{a^2 - b^2 }
– Tiêu cự : F_1 M + F_2 M = 2c ;

– Bốn đỉnh : A_1 (- a ; 0), A_2  (a ; 0), B_1 (0 ; -b),B_2 (0 ; b);

– Tỉ số c / a < 1 (e = c / a còn gọi là tâm sai của elip);

– Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là
x = ±a ; y = ±b.

Phương trình đường elip
Thật vậy, ta có :

F_1M ^2 ={(x + c)^2} + y^2

F_2M ^2 ={(x - c)^2} + y^2

Suy ra F_1M ^2 F_2M ^2 = 4cx (1) 

Theo định nghĩa của elip ta có : F_1 M +F_2 M = 2a (2) 

Chia (1) cho (2) ta được : F_1 F_2 = 2(c/a)x  (3) 

Từ (2) và (3) ta tính được F_1 M và F_2 M. 

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình

Phương trình đường elip

GIẢI

Phương trình đường elip
c = sqrt{a^2 - b^2 } = 4.

Phương trình đường elipVậy (E) có :

– Trục lớn : A_1 A_2 = 2a =10 ;

– Trục nhỏ : B_1 B_2 = 2b = 6;

– Hai tiêu điểm : F_1  (- 4 ; 0), F_2 (4 ; 0 )

– Bốn đỉnh : A_1 (- 5 ; 0), A_2 (5 ; 0), B_1 (0 ; – 3), B_2 (0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. Cho elip (E) có phương trình
Phương trình đường elip
Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là F_1 F_2  trong đó F_1 F_2 là hai tiêu điểm của (E).

GIẢI

Phương trình đường elip

Ta có a^2 = 100, b^2 = 36.

Suy ra c^2 = a^2 b^2 = 64 => c = 8.

Đường tròn đường kính F_1 F_2 có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là : x^2 + y^2 = 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M di động trên một elip

1. Phương pháp

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9):
Phương trình đường elipCách 1 : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F_1 , F_2 là một hằng số 2a (F_1 F_2 < 2a).
Khi đó M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm F_1 , F_2 và trục lớn là 2a.
Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) có toạ độ thoả mãn phương trình

với a, b là hai hằng số thoả mãn 0 < b < a.

2. Các ví dụ

Phương trình đường elip

GIẢI

Phương trình đường elipTa có MF_1 = R + R_1 MF_2 R_2 – R. Suy ra MF_1 MF_2 R_1 R_2

Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là F_1 và F_2 và có trục lớn là 2aR_1 R_2

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x ; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

Phương trình đường elip

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

GIẢI

Phương trình đường elip

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) 4x^2 + 9y^2 = 36 ;

b) x^2 + 4y^2 = 4.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.30. Cho đường tròn C (MF_1 ; 2a) cố định và một điểm MF_2 cố đinh nằm trong (C_1 ). Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm MF_2 (C) luôn tiếp xúc với (C_1 ). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn
Phương trình đường elip

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. 

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Độ dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ;

b) Tiêu điểm MF_1 (-6 ; 0) và tỉ số c/a bằng 2/3.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là MF_1  và MF_2 biết

Phương trình đường elip

và tam giác MF_1F_2 vuông tại M.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.34. Cho elip (E): 9x^2 + 25y^2 = 225.

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F_1 , F_2  và các đỉnh của (E).

b) Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn F_1 F_2  dưới một góc vuông.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.35. 

Phương trình đường elip

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.36. Cho elip (E) : 4x^2   + 9y^2 = 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

⇒ Xem đáp án tại đây.

Đang tải…

Bài mới

loading…

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button