Kiến thức

Phương Trình Tiếp Tuyến Của đường Tròn Và Phương Trình đường Tròn Lớp 10

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và Phương trình đường tròn lớp 10

Dạng toán viết phương trình của đường tròn trong toán hình học lớp 10 sẽ là dạng toán có mặt trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Các em nên chú trọng vào phần này để nắm thật chắc kiến thức, làm nền tảng để chuẩn bị cho các kì thi nhé. Đồng thời, bài viết này sẽ cung cấp những kiến thức trọng tâm giúp các em ôn lại kiến thức về phương trình đường tròn nhanh nhất.

Viết phương trình đường tròn
Viết phương trình đường tròn

Lý thuyết về phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b), bán kính R  là:

(x – a)2 + (b – y)2 = R2

Xem thêm: Cơ sở hóa sinh trong máy xét nghiệm sinh hóa

Nhận xét

Phương trình đường tròn (x – a)2 + (b – y)2 = R2 có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó: c = a2 + b2 – R2

Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0.

Khi đó đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính R = √(a2 + b2 – c)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại M0.

Ta có:

M0 thuộc Δ và vectơ IM0 = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ. 

Do đó phương trình của Δ là:

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0 (1)

Vậy phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x – a)2 + (b – y)2 = R2  tại điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn. 

 

Phương trình tiếp tuyến đường tròn (C)
Phương trình tiếp tuyến đường tròn (C)

 

Các dạng bài tập về phương trình đường tròn

5 dạng toán phương trình đường tròn hay gặp
5 dạng toán phương trình đường tròn hay gặp

Xem thêm: Giải bài 7 trang 33 SGK vật lí 11: Tụ điện-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn

Áp dụng kiến thức:

– Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x – a)2 + (b – y)2 = R2 thì có tâm I (a; b) và bán kính R.

– Phương trình có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 và a2 + b2 – c > 0 thì phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R = √( a2 + b2 – c). 

Phương pháp:

– Biến đổi phương trình về một trong hai dạng trên sau đó xác định tâm I và bán kính R.

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0.

Ta có: 2x2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0

<=> x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0

Ta có: a2 + b2 – c = 22 + 12 + 3 = 8 > 0 => Đây là phương trình đường tròn .

Phương trình đường tròn có tâm I (2; 1) và bán kinh R = √(a2 + b2 – c)= 2√2.

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

Phương pháp:

Cách 1: 

– Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)

– Tìm bán kính R của (C)

– Viết phương trình đường tròn (C) dạng : (x – a)2 + (b – y)2 = R2 

Cách 2:

– Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

– Từ điều kiện bài toán đi qua các điểm (thường là 3 điểm ) rồi lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.

– Giải hệ phương trình tìm được a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn (C).

– Kết luận phương trình đường tròn tìm được.

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) có tâm I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0)

b) Có đường kính AB với A (1; 1), B (5; 3)

c) Đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2). 

Giải: 

a) (C) có tâm I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0):

Ta có R = OI mà  phuo4ng trinh duong tron

=> Đường tròn (C) có I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0) và bán kính R = √10

có phương trình:

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 10.

b) (C) đường kính AB với A (1; 1), B (5; 3): 

– Ta có tọa độ tâm I của (C0 là trung điểm của A, B là:

               phuong trinh duong tron 5      và    phuong trinh duong tron 6

Bán kính là:  phuong trinh duong tron 7

=> Đường tròn (C) có I (3; 2) và bán kính R = √5 có phương trình là:

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5.

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2). 

– Giả sử đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

– Vì (C) đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2) nên ta lần lượt thay tọa độ A, B, C vào (C), có được hệ phương trình sau:

 

phuong 8trinh duong tron

phuong trinh duong tron 9

phuong trinh duong tron 10

 

– Giải hệ phương trình ta được:  phuong trinh duong tron 11

=> Phương trình đường tròn (C) là: phuong trinh duong tron 12

Xem thêm: HƯỚNG DẪN CÀI WIN 7, 8 ĐƠN GIẢN – AI CŨNG LÀM ĐƯỢC-CUONG COMPUTER

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 

Phương pháp:

– Dựa vào tính chất tiếp tuyến của đường tròn.

+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì d[I, Δ ] = R

+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì d[I, Δ ] = IA = R

+ Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì d[I, Δ1 ] = d[I, Δ2 ] R

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I (2; 5) và tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I (-1; 2) và tiếp xúc đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0

c) (C) đi qua A (2; -1) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy. 

Giải:

a) (C) có tâm I (2; 5) và tiếp xúc với Ox:

– Ox có phương trình y = 0

– Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox, ta có: 

=> Phương trình đường tròn (C) có dạng:  phuong trinh duong tron 13

b) (C) có tâm I (-1; 2) và tiếp xúc đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0: 

– Ta có:  phuong trinh duong tron 14phuong trinh duong tron 15

=> Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y – 5)2 = 5

c) (C) đi qua A (2; -1) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy: 

– Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư, nên tọa độ tâm I = (R; -R)

– Ta có:  phuong trinh duong tron 16

<=> R2 = R2 – 4R + 4 + R2 – 2R + 1

<=> R2 – 6R + 5 = 0

<=> R = 1 hoặc R = 5

=> Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn điều kiện bài toán, đó là:

(C1): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1

(C2): (x – 5) 2 + (y + 5)2 = 25

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Phương pháp:

Cách 1: 

– Tính diện tích và nửa chu vi tam giác để tính được bán kính đường tròn r.

– Gọi I (a; b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì khoảng cách từ tâm I tới 3 cạnh của tam giác là là bằng nhau và bằng r. 

– Lập hệ phương trình 2 ẩn a, b

– Giải hệ phương trình 2 ẩn a, b và tìm được giá trị a, b.

Cách 2: 

– Viết phương trình đường thẳng phân giác trong của 2 góc trong tam giác

– tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn.

– Tính khoảng cách từ I với 1 cạnh bất kì của tam giác ta tìm được bán kính. 

ví dụ: Cho hai điểm A( 4; 0) và B (0; 3)

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

Giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm của cạnh AB, nên tâm I có tọa độ là I (2; 3/2)

=> Bán kính: R = IA = 5/2

=> Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:  phuong trinh duong tron 17

b) 

– Ta có:  phuong trinh duong tron 18

–  phuong trinh duong tron 19

phuong trinh duong tron 20

– Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên tâm Ir = (r; r) = (1; 1)

=> Phương trình đường tròn là : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.

Dạng 5: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và có tâm nằm trên đường thẳng 

Phương pháp: 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Xác định tâm I là giao điểm của d

– Bán kính R = IA

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn T đi qua 2 điểm A(5:-1) B(-2;-2). Tâm I thuộc đường thẳng d: 3x-2y+1=0

Giải:  

phuong trinh duong tron 21

Bài tập phương trình đường tròn lớp 10 nâng cao

Đề số 1
Đề số 1
Đề số 2
Đề số 2

 

Đề số 3
Đề số 3

Những bài tập mà

lessonopoly

chia sẻ trên đây sẽ giúp các em vận dụng được kiến thức lý thuyết đã học. Hy vọng các em có thể làm tốt những bài tập trên. Cùng chia sẻ tài liệu bổ ích và những bài tập hay về phương trình đường tròn này cho các bạn cùng làm nhé. 

 

This entry was posted in

Toán học

. Bookmark the

permalink

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button