Kiến thức

Phương trình đường tròn – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Phương trình đường tròn – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Đang tải…

Phương trình đường tròn

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

1. Phương trình đường tròn (h.3.3)

  • Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là:Phương trình đường tròn

 

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

  • Nếu a^2 + b^2 - c > 0  thì phương trình x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0  là phương trình của đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = sqrt{a^2 + b^2 - c}
  • Nếu a^2 + b^2 - c = 0  thì chỉ có một điểm I(a ; b) thoả mãn phương trình x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0
  • Nếu a^2 + b^2 - c < 0  thì không có điểm M(x ; y) nào thoả mãn phương trình x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến tại điểm M_o(x_o; y_o)  của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình :

(x_o - a)(x - x_o) + (y_o - b)(y - y_o) = 0

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Xem thêm: CO2 là gì? Tính chất, Cách điều chế, Ứng dụng & Lưu ý khi sử dụng C02

Vấn đề 1

Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm vồ bán kính đường tròn

1. Phương pháp

Cách 1:  Đưa phương trình về dạng :

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0         (1)

  • Xét dấu biểu thức m = a^2 + b^2 - c
  • Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = sqrt{a^2 + b^2 - c} .

Cách 2 : – Đưa phương trình về dạng

(x - a)^2 + (y - b)^2 = m               (2)

  • Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = sqrt m

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :

Phương trình đường tròn

GIÁI

a) (1) có dạng x^2 + y^2 - 2 ax - 2by + c = 0, với a = 3,b = -4, c = 100.

Ta có a^2 + b^2 - c = 9 + 16 - 100 < 0 .

Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn.

b) (2) có dạng x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 , với a = – 2, b = 3, c = -12.

Ta có x^2 + b^3 - c = 4 + 9+12 = 25 > 0 .

Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng sqrt{a^2 + b^2 - c}  = 5.

c) Ta có : (3)

x^2 + y^2 - 2x + 4y - 1 = 0  ⇔ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 6

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (sqrt{6})^2

Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng sqrt{6}  

Ví dụ 2. Cho phương trình $latex x^2 + y^2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0      (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ?

b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.

GIẢI

a) (1) có dạng x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.

(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a^2 + b^2 - c > 0 , mà

 

Phương trình đường tròn

 

Xem thêm: Kim loại nào sau đây là kim loại kiềm thổ?

Vấn đề 2

Lập phương trình của đường tròn

1. Phương pháp

Cách 1 :

  • Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của đường tròn (℘);
  • Tìm bán kính R của(℘);
  • Viết phương trình (℘) theo dạng (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Chú ý:

  • (℘) đi qua A, B ⇔ {IA}^2 = {IB}^2 = R^2 .
  • (℘) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng Δ tại A ⇔ IA = d(I, Δ).
  • (℘) tiếp xúc với hai đường thẳng triangle_1 triangle_2 ⇔ d (I, triangle_1 ) = d (I, triangle_1 ) = R
  • Gọi phương trình của đường tròn (℘) là x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)
  • Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c.
  • Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn(℘).

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau :

a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;

b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).

GIẢI

Phương trình đường tròn

Vậy phương trình của (℘) là: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4/5

b) Tâm I của (℘) là trung điểm của AB

Phương trình đường tròn

Do đó : IA= sqrt{(1 - 4)^2 + (1 - 3)^2} = sqrt{13} .

Vậy phương trình của (℘) là : (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 13

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).

GIẢI

Xét đường tròn (℘) có dạng x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 .

(℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi

 

Phương trình đường tròn

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x^2 + y^2 - 6x + y - 1 = 0

Xem thêm: Tích phân là gì? Bảng công thức tính tích phân thường gặp-Thegioididong.com

Vấn đề 3

Lập phương trình tiếp tuyến, của đường tròn

1. Phương pháp

Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M_o(x_o; y_o)  thuộc đường tròn (℘).

  • Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của (℘).
  • Phương trình tiếp tuyến với (℘) tại M_o(x_o; y_o) có dạng :

(x_0 - a)(x - x_o) + (y_o - b)(y - y_o) = 0

Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến Δ với (℘) khi chưa biết tiếp điểm :

Dùng điều kiện tiếp xúc để xác đinh Δ:

Δ tiếp xúc với đường tròn (℘) tâm I, bán kính R ⇔ d(I, A) = R.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:

(℘) (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25

tại điểm M_o(4; 2) thuộc đường tròn (℘).

GIẢI

(℘) có tâm là điểm (1; -2). Vậy phương trình tiếp tuyến với (℘) tại M_o (4 ; 2) có dạng :

(x_o - a)(x - x_o) + (y_o - b)(y - y_o) = 0

⇔ (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0 ⇔ 3x + 4y – 20 = 0

Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến, với đường tròn

(℘): x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ; – 2).

GIẢI

Phương trình của đường thẳng Δđi qua A(3; – 2) có dạng

y + 2 = k(x – 3) ⇔ kx – y – 2 – 3k = 0 $

Phương trình đường tròn

Vậy cỏ hai tiếp tuyến vái (&) kẻ từ A là :

triangle_1 : 2x – y – 8 = 0 ;

triangle_2 : X + 2y + 1 = 0.

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A với đường tròn

(℘): x^2 + y^2 - 4x + 6y + 3 = 0

biết rằng Δ song song với đường thẳng d :3x – y + 2006 = 0.

GIẢI

(℘)có tâm 1(2 ; – 3) và bán kính R = sqrt{10}

Phương trình của đường thẳng Δ song song với d có dạng :

Δ: 3x – y + c = 0.

Δ tiếp xúc với (℘) khi và chỉ khi

Phương trình đường tròn

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.15. Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình của đường tròn ( ℘) có tâm là điểm (2 ; 3) và thoả mãn điều kiện sau :

a) (℘) có bán kính là 5 ;

b) (℘) đi qua gốc toạ độ ;

c) (℘) tiếp xúc với trục Ox        ;

d) (℘) tiếp xúc với trục Oy ;

e (℘) tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.16. Cho ba điểm A( 1 ; 4), B(- 7 ; 4),  C(2; -5).

a) Lập phương trình đường tròn (℘) ngoại tiếp tam giác ABC ;

b) Tìm tâm và bán kính của (℘).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng Δ : 3x – y + 10 = 0.

a) Tìm toạ độ tâm của (℘);

b) Tính bán kính R của (℘);

c) Viết phương trình của (℘).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.18. Cho ba đường thẳng

triangle_1 : 3x + 4ỵ – 1 = 0 ;

triangle_1 : 4x + 3y – 8 = 0 ;

d : 2x + y – 1 = 0.

a) Lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi triangle_1 triangle_2 .

b) Xác định toạ độ tâm I của đường tròn (℘) biết rằng I nằm trên d và (℘) tiếp xúc với triangle_1 triangle_2

c) Viết phương trình của (℘).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.19. Lập phương trình của đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + y – 3 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.20. Lập phương trình của đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :

a) A có toạ độ (-1; 1), B có toạ độ (5 ; 3);

b) A có toạ độ (-1; – 2), B có toạ độ (2 ; 1).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.21. Lập phương trình của đường tròn () tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M(4 ; 2).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.22. Cho đường tròn (℘):x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0  và đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0.

a) Tìm toạ độ giao điểm của (℘) và

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) tại các giao điểm đó.

c) Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.23 Cho đường tròn (℘): x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A( 1 ; 3).

a) Chứng tỏ rằng điểm Anằm ngoài đường tròn (℘).

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) xuất phát từ điểm.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.24. Lập phương trình tiếp tuyến A của đường, tròn (℘) : x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0 biết rằng Δ vuông góc với đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.25. Cho đường tròn (℘):(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9  và điểm M(2 ; -1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến triangle_1 triangle_2  với (℘). Hãy viết phương trình của triangle_1 triangle_2 .

b) Gọi M_1  và M_2  lần lượt là hai tiếp điểm của triangle_1 triangle_2  với ), hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua M_1  và M_2 .

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (℘) có phương trình x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0 biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc toạ độ O.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.27. Cho hai đường tròn (wp_1 ): x^2 - y^2 - 6x + 5 = 0

và                             (wp_2 ) :x^2 + y^2 - 12x - 6y + 44 = 0 .

a) Tìm tâm và bán kính của M_1 và (M_2 )

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (M_1 và (M_2 )

⇒ Xem đáp án tại đây.

Đang tải…

Bài mới

loading…

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button