Kiến thức

Phương trình lượng giác-Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác-Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

Phương trình lượng giác – Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

23/08/2016 07:19

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 1: Những vấn đề lý thuyết cần nhớ và các phương trình lượng giác cơ bản

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 2: Một số phương trình lượng giác mẫu mực

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 3: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 4: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)

 » 

Phương trình lượng giác-Phần 5: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

 » 

Phương trình lượng giác-Phần 6: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

Bài viết giới thiệu cách giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách đặt ẩn phụ và sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối.

I. Lý thuyết

1.  Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

+ Để loại bỏ dấu trị tuyệt đối trong phương trình ta lựa chọn việc đặt ẩn phụ cho biểu thức chứa trị tuyệt đối.

+ Nếu biểu thức có chứa:

  • left| {sin x} right| và  {sin ^{2k}}x ,ta đặt t = left| {sin x} right| , điều kiện 0 le t le 1.
  • left| {cos x} right| và {cos ^{2k}}x  ,ta đặt t = left| {cos x} right| , điều kiện 0 le t le 1 .
  • left| {tan x} right| và {tan ^{2k}}x ,ta đặt t = left| {tan x} right| , điều kiện t ge 0.
  • left| {cot x} right| và {cot ^{2k}}x , ta đặt t = left| {cot x} right| , điều kiện t ge 0.
  • left| {sin x pm cos x} right| và sin xcos x ,ta đặt t = left| {sin x pm cos x} right| , điều kiện 0 le t le sqrt 2
  • left| {sin x} right| + left| {cos x} right|. và {sin ^{2k}}x ,ta đặt t = left| {sin x} right| + left| {cos x} right|  , điều kiện 1 le t le sqrt 2.
  • left| {tan x + cot x} right| và {tan ^k}x + {cot ^k}x, ta đặt t = left| {tan x + cot x} right| , điều kiện t ge 2.
  • left| {tan x - cot x} right| và {tan ^k}x + {cot ^k}x, ta đặt t = left| {tan x - cot x} right| , điều kiện t ge 0.

2. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

begin{array}{l} left| a right| = a Leftrightarrow a ge 0\ left| a right| = - a Leftrightarrow a < 0\ left| {a + b} right| = left| a right| + left| b right| Leftrightarrow a.b ge 0\ left| a right| + left| b right| = a + b Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a ge 0}\ {b ge 0} end{array}} right.\ left| a right| + left| b right| = a - b Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a ge 0}\ {b le 0} end{array}} right.\ left| {a - b} right| = left| a right| - left| b right| Leftrightarrow b(a - b) ge 0 end{array}

Các bước giải:

  • Đặt điều kiện cho các biểu thức trong phương trình.
  • Đưa phương trình về các tính chất đã biết.
  • Giải phương trình nhận được.
  • Kết luận.

II. Một số bài tập ví dụ:

1. Giải phương trình: left| {cos 2x} right| + left| {sin x} right| = 1(1)

Giải:

(1) Leftrightarrow left| {1 - 2{{sin }^2}x} right| + left| {sin x} right| = 1

Đặt: t = left| {sin x} right|, điều kiện: 0 le t le 1

Khi đó phương trình trở thành:

begin{array}{l} left| {1 - 2{t^2}} right| + t = 1 Leftrightarrow left| {1 - 2{t^2}} right| = 1 - t Leftrightarrow {left( {1 - 2{t^2}} right)^2} = {left( {1 - t} right)^2}\ Leftrightarrow 4{t^4} - 5{t^2} + 2t = 0 Leftrightarrow tleft( {4{t^3} - 5t + 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 0{rm{ }}}\ {t = frac{1}{2}{rm{ }}}\ {t = frac{{1 pm sqrt {17} }}{4}(loai)} end{array}} right. end{array}

+ Với: t = 0 Leftrightarrow left| {sin x} right| = 0 Leftrightarrow sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,{rm{ }}k in mathbb{Z}

+ Với:

 begin{array}{l} t = frac{1}{2} Leftrightarrow left| {sin x} right| = frac{1}{2} Leftrightarrow {sin ^2}x = frac{1}{4} Leftrightarrow frac{{1 - cos 2x}}{2} = frac{1}{4}\ Leftrightarrow cos 2x = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {2x = frac{pi }{3} + k2pi }\ {2x = - frac{pi }{3} + k2pi } end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = frac{pi }{6} + kpi }\ {x = - frac{pi }{6} + kpi } end{array}} right.,k in mathbb{Z} end{array}

Vậy nghiệm của (1) là: x = kpi ,x = frac{pi }{6} + kpi ,x = - frac{pi }{6} + kpi ,left( {k inmathbb{Z} } right)

2. Giải phương trình: left| {cos x - sin x} right| - cos xsin x = 1(2)

Giải:

Đặt t = left| {cos x - sin x} right|,{rm{ }}0 le t le sqrt 2

Khi đó: sin xcos x = frac{{1 - {t^2}}}{2}

(2) Leftrightarrow t - frac{{1 - {t^2}}}{2} = 1 Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1{rm{ }}}\ {t = - 3(loai)} end{array}} right.

Với:

 begin{array}{l} t = 1 Leftrightarrow left| {cos x - sin x} right| = 1 Leftrightarrow {left( {cos x - sin x} right)^2} = 1\ Leftrightarrow 1 - sin 2x = 1 Leftrightarrow sin 2x = 0 Leftrightarrow x = frac{{kpi }}{2},k in mathbb{Z}end{array}

Vậy nghiệm của (2) là: x = frac{{kpi }}{2},left( {k inmathbb{Z} } right)

3. Giải phương trình: sqrt {2 + cos x + sqrt 3 sin 2x} = sin x + sqrt 3 cos x(3)

Giải:

begin{array}{l} (3) Leftrightarrow sqrt {2left( {1 + frac{1}{2}cos 2x + frac{{sqrt 3 }}{2}sin 2x} right)} = 2left( {frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x} right)\ Leftrightarrow sqrt {2left[ {1 + cos left( {2x - frac{pi }{3}} right)} right]} = 2cos left( {x - frac{pi }{6}} right)\ Leftrightarrow left| {cos left( {x - frac{pi }{6}} right)} right| = cos left( {x - frac{pi }{6}} right) Leftrightarrow cos left( {x - frac{pi }{6}} right) ge 0\ Leftrightarrow - frac{pi }{2} + k2pi le x - frac{pi }{6} le frac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow - frac{pi }{3} + k2pi le x le frac{{2pi }}{3} + k2pi ,{rm{ }}k inmathbb{Z} end{array}

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là: - frac{pi }{3} + k2pi le x le frac{{2pi }}{3} + k2pi left( {k inmathbb{Z} } right)

4. Giải phương trình:

left| {2cos x - 1} right| + left| {2sin x - 1} right| = 2sqrt 2 cos left( {x + frac{pi }{4}} right)(4)

Giải:

Ta có: 

begin{array}{l} 2sqrt 2 cos left( {x + frac{pi }{4}} right) = 2left( {cos x - sin x} right)\ = left( {2cos x - 1} right) + left( {1 - 2sin x} right) end{array}

Khi đó:

begin{array}{l} (4) Leftrightarrow left| {2cos x - 1} right| + left| {2sin x - 1} right| = left( {2cos x - 1} right) + left( {1 - 2sin x} right)\ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2cos x - 1 ge 0}\ {1 - 2sin x ge 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {cos x ge frac{1}{2}}\ {sin x le frac{1}{2}} end{array}} right. Leftrightarrow - frac{pi }{3} + k2pi le x le frac{pi }{6} + k2pi ,{rm{ }}k in mathbb{Z} end{array}

Vậy tập nghiệm của (4) là: - frac{pi }{3} + k2pi le x le frac{pi }{6} + k2pi ,left( {k inmathbb{Z} } right).

(Mod Toán)

TIN LIÊN QUAN

  • Học và thi môn giáo dục công dân không khó (06/03)

  • Bảng nhận biết các chât hữu cơ (15/11)

  • Tổng hợp công thức Vật lý lớp 12 (14/11)

  • Bí quyết viết mở bài môn Ngữ Văn (14/11)

  • Những lời chúc bằng tiếng Anh cực ý nghĩa gửi tặng thầy cô nhân ngày 20/11 (14/11)

  • ‘House’ và ‘Home’ trong tiếng Anh (11/11)

  • Lý thuyết và bài tập Đọc – Hiểu môn Ngữ văn lớp 12 (11/11)

  • 9 bước để ghi nhớ mọi nội dung học hiệu quả (10/11)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button