Kiến thức

Phương trình lượng giác-Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức-Hoc247.vn

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác-Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức-Hoc247.vn

Phương trình lượng giác – Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức

25/08/2016 16:32

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

 » 

Phương trình lượng giác-Phần 6: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

 » 

Phương trình lượng giác – Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

 » 

Tổng hợp phương trình lượng giác trong các đề thi từ năm 2002 đến nay

 » 

Hình học không gian – P1: Các công thức đã học ở lớp 9-10 cần nhớ

 » 

Hình học không gian – P.2 Tổng hợp lý thuyết lớp 11

Bài viết giới thiệu các biện pháp xử lý khi gặp phương trình lượng giác chứa căn thức, bên cạnh đó là các ví dụ mẫu có thể giúp các em hình thành được cách làm và giải được các bài tập tương tự.

Phương pháp giải chung

  • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
  • Chọn phương pháp giải cho phù hợp
  • Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
  • Một số phương pháp giải.

1. Biến đổi tương đương

Dạng 1: sqrt {f(x)} = sqrt {g(x)} Leftrightarrow f(x) = g(x) ge 0 (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

Dạng 2: sqrt {f(x)} = g(x) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {g(x) ge 0{rm{ }}}\ {f(x) = {g^2}(x)} end{array}} right. (g(x) có nghĩa)

Dạng 3: sqrt {f(x)} + sqrt {g(x)} = sqrt {h(x)} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {f(x) ge 0{rm{ }}}\ {g(x) ge 0{rm{ }}}\ {f(x) + g(x) + 2sqrt {f(x)g(x)} = h(x)} end{array}} right.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp.

Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp

Nếu bài toán chứa:

  • sqrt {f(x)} ,va,f(x) đặt t = sqrt {f(x)}, điều kiện t ge 0,f(x) = {t^2}
  • sqrt {f(x)} ,sqrt {g(x)} và sqrt {f(x)} .sqrt {g(x)} = k (k: hằng số), ta đặt t = sqrt {f(x)}, điều kiện t ge 0. Khi đó: sqrt {g(x)} = frac{k}{t}
  • sqrt {f(x)} pm sqrt {g(x)} và f(x) + g(x) = k (k: hằng số), ta đặt: t = sqrt {f(x)} pm sqrt {g(x)}

Khi đó: sqrt {f(x)g(x)} = frac{{{t^2} - k}}{2}

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với hai ẩn phụ.

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x.

3. Ví dụ minh họa:

VD1: Giải phương trình: sqrt {5cos x - c{rm{os}}2x} = - 2sin x(1)

Giải:

(1) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} { - 2sin x ge 0{rm{ }}}\ {5cos x - cos 2x = 4{{sin }^2}x} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sin x le 0{rm{ (1')}}}\ {5cos x - cos 2x = 4{{sin }^2}x{rm{ (2')}}} end{array}} right.

Khi đó: 

begin{array}{l} (2') Leftrightarrow 5cos x - left( {2{{cos }^2}x - 1} right) = 4left( {1 - {{cos }^2}x} right)\ Leftrightarrow 2{cos ^2}x + 5cos x - 3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {cos x = frac{1}{2}}\ {cos x = - 3(loai)} end{array}} right. end{array}

Với cos x = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = frac{pi }{3} + k2pi }\ {x = - frac{pi }{3} + k2pi } end{array}} right.,k in mathbb{Z}

Kết hợp với điều kiện (1′) suy ra nghiệm của (1) là: x = - frac{pi }{3} + k2pi left( {k in mathbb{Z}} right)

VD2: Giải phương trình: frac{{{{sin }^2}2x + {{cos }^4}2x - 1}}{{sqrt {sin xcos x} }} = 0 (2)

Giải:

begin{array}{l} (2) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sin xcos x > 0{rm{ }}}\ {{{sin }^2}2x + {{cos }^4}2x - 1 = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sin 2x > 0{rm{ }}}\ {{{cos }^4}2x - {{cos }^2}2x = 0} end{array}} right.\ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sin 2x > 0}\ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{{cos }^2}2x = 0}\ {{{cos }^2}2x = 1} end{array}} right.} end{array}} right. Leftrightarrow sin 2x = 1\ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi ,{rm{ }}k in mathbb{Z} end{array}

Vậy nghiệm của (2) là: x = frac{pi }{4} + kpi left( {k in mathbb{Z}} right)

VD3: Giải phương trình: (1 + tan x){cos ^3}x + (1 + cot x)sin {}^3x = sqrt {2sin 2x} (3)

Điều kiện:

left{ {begin{array}{*{20}{c}} {cos x ne 0}\ {sin x ne 0}\ {sin 2x ge 0} end{array}} right. Leftrightarrow sin 2x > 0(*)

begin{array}{l} (3) Leftrightarrow left( {cos x + sin x} right){cos ^2}x + left( {sin x + cos x} right){sin ^2}x = sqrt {2sin 2x} \ Leftrightarrow sin x + cos x = sqrt {2sin 2x} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sin x + cos x > 0{rm{ (3}}{rm{.1)}}}\ {{{left( {sin x + cos x} right)}^2} = 2sin 2x{rm{ (3}}{rm{.2)}}} end{array}} right. end{array}

Giải (3.2):sin 2x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi ,{rm{ }}k in mathbb{Z}

Kiểm tra điều kiện (3.1)

begin{array}{l} sin x + cos x = sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = sqrt 2 sin left( {frac{pi }{2} + kpi } right) = sqrt 2 cos left( {kpi } right)\ = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt 2 {rm{ khi }}k = 2l}\ { - sqrt 2 {rm{ khi }}k = 2l + 1} end{array}} right. end{array}

Kết hợp với điều kiện (*),  nghiệm của (3) là x = frac{pi }{4} + k2pi (kinmathbb{Z})

VD4: Giải phương trình: sin x + sqrt 3 cos x + sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} = 2 (4)

Giải:

Đặt: t = sqrt {sin x + sqrt 3 cos x}

Ta có: sin x + sqrt 3 cos x = 2left( {frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x} right) = 2sin left( {x + frac{pi }{3}} right)

Suy ra: 0 le t le 2

Phương trình trở thành: {t^2} + t = 2 Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\ {t = - 2(loai)} end{array}} right.

Với: t = 1 Leftrightarrow sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} = 1 Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 1

begin{array}{l} Leftrightarrow 2sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = 1 Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x + frac{pi }{3} = frac{pi }{6} + k2pi }\ {x + frac{pi }{3} = frac{{5pi }}{6} + k2pi } end{array}} right.\ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = - frac{pi }{6} + k2pi }\ {x = frac{pi }{2} + k2pi } end{array}} right.,{rm{ }}k in mathbb{Z} end{array}

Vậy nghiệm của (4) là: x = - frac{pi }{6} + k2pi ;x = frac{pi }{2} + k2pi ,kinmathbb{Z}

VD5: Giải phương trình: cos 2x = sqrt {1 + tan x} .{cos ^2}x(5)

Giải:

Điều kiện: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {cos x ne 0}\ {tan x ge - 1} end{array}} right.(*)

Đặt t=tanx

Khi đó:

 cos 2x = frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}},{rm{ }}{cos ^2}x = frac{1}{{1 + {t^2}}}

Khi đó phương trình 5 trở thành:

begin{array}{l} frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = sqrt {1 + t} .frac{1}{{1 + {t^2}}} Leftrightarrow 1 - {t^2} = sqrt {1 + t} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1 - {t^2} ge 0{rm{ }}}\ {{{left( {1 - {t^2}} right)}^2} = 1 + t} end{array}} right.\ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left| t right| le 1}\ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {1 + t = 0{rm{ }}}\ {left( {1 - {t^2}} right)left( {1 + t} right) = 1} end{array}} right.} end{array}} right. end{array}

begin{array}{l} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left| t right| le 1{rm{ }}}\ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {1 + t = 0{rm{ }}}\ {{t^3} - {t^2} - t = 0} end{array}} right.} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left| t right| le 1{rm{ }}}\ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1{rm{ }}}\ {t = 0{rm{ }}}\ {t = frac{{1 pm sqrt 5 }}{2}} end{array}} right.} end{array}} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = - 1\ t = 0\ t = frac{{1 - sqrt 5 }}{2} end{array} right. end{array}

+ Với t = - 1 Leftrightarrow tan x = - 1 Leftrightarrow x = - frac{pi }{4} + kpi ,k inmathbb{Z}

+ Với t = 0 Leftrightarrow tan x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,k in mathbb{Z}

+ Với t = frac{{1 - sqrt 5 }}{2} Leftrightarrow tan x = frac{{1 - sqrt 5 }}{2} = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}

Kết hợp với (*) nghiệm của (5) là:

x = - frac{pi }{4} + kpi ;x = kpi ;x = alpha + kpi left( {voi,tan alpha = frac{{1 - sqrt 5 }}{2}} right)(kinmathbb{Z})

VD6: Giải phương trình: sqrt[3]{{2 - tan x}} + sqrt {tan x - 1} = 1 (6)

Giải:

Điều kiện: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {cos x ne 0{rm{ }}}\ {tan x - 1 ge 0} end{array}} right. Leftrightarrow tan x ge 1(*)

Đặt: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {u = sqrt[3]{{2 - tan x}}}\ {v = sqrt {tan x - 1} } end{array}} right.,{rm{ }}v ge 0. Khi đó: {u^3} + {v^2} = 1

Ta có hệ phương trình: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{u^3} + {v^2} = 1{rm{ }}left( {1'} right)}\ {u + v = 1{rm{ }}left( {2'} right)} end{array}} right.

Thay (2′) vào (1′) ta có: {u^3} + {left( {1 - u} right)^2} = 1 Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 2u = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {u = 0{rm{ }}}\ {u = 1{rm{ }}}\ {u = - 2} end{array}} right.

+ Với u = 0 Leftrightarrow sqrt[3]{{2 - tan x}} = 0 Leftrightarrow tan x = 2 = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k inmathbb{Z}

+ Với u = 1 Leftrightarrow sqrt[3]{{2 - tan x}} = 1 Leftrightarrow tan x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi ,k inmathbb{Z}

+ Với u = - 2 Leftrightarrow sqrt[3]{{2 - tan x}} = - 2 Leftrightarrow tan x = 10 = tan beta Leftrightarrow x = beta + kpi ,k in mathbb{Z}

Kết hợp (*) nghiệm của (6) là: x = frac{pi }{4} + kpi ;x = alpha + kpi ;x = beta + kpi ,(voi,tan alpha = 2,tan beta = 10)left( {k inmathbb{Z} } right)

Link tải file: 

https://drive.google.com/file/d/0B8zKIVrD5quOekxlRjJvSDJhR0E/view?usp=sharing

 

(Mod Toán)

TIN LIÊN QUAN

  • Học và thi môn giáo dục công dân không khó (06/03)

  • Bảng nhận biết các chât hữu cơ (15/11)

  • Tổng hợp công thức Vật lý lớp 12 (14/11)

  • Bí quyết viết mở bài môn Ngữ Văn (14/11)

  • Những lời chúc bằng tiếng Anh cực ý nghĩa gửi tặng thầy cô nhân ngày 20/11 (14/11)

  • ‘House’ và ‘Home’ trong tiếng Anh (11/11)

  • Lý thuyết và bài tập Đọc – Hiểu môn Ngữ văn lớp 12 (11/11)

  • 9 bước để ghi nhớ mọi nội dung học hiệu quả (10/11)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button