Kiến thức

Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp sử dụng tính chất chia hết – Geosiro

1. Sử dụng tính chẵn, lẻ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2 -2y^2 =5$ $(1)$.

Giải

Vì $x$, $y$ nguyên nên từ phương trình $(1)$ suy ra $x$ là số lẻ.

Thay $x=2k+1 (kin mathbb{Z})$ vào $(1)$ ta được

$4k^2 +4k +1 -2y^2 =5 Leftrightarrow 2(k^2 + k -1) = y^2 Rightarrow y$ là số chẵn.

Đặt $y=2t (tin mathbb{Z})$ ta có $2(k^2 +k -1) = 4t^2 Leftrightarrow k(k+1) = 2t^2 +1$ $(*)$

Vì $k(k+1)$ là số chẵn mà $2t^2 +1$ là số lẻ nên phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(2x+5y+1)(2^{|x|} + x^2 +x +y) =105$ $(2)$.

(Trích đề thi HSG lớp 9 TP. Hà Tĩnh năm 2006 – 2007)

Giải

Ở bài này ta thấy vế trái là tích của hai số nguyên mà vế phải là số lẻ nên nó phải là tích của hai số nguyên lẻ nên ta có thể sử dụng tính chất chẵn lẻ như sau:

Vì $105$ là số lẻ nên $2x + 5y +1$, $2^{|x|} + x^2 +x +y$ là các số lẻ. Suy ra $y$ là số chẵn , mà $x^2 +x = x(x+1)$ là số chẵn nên $2^{|x|}$ là số lẻ suy ra $x=0$

Thay $x=0$ vào $(2)$ ta được $(5y+1)(y+1) = 105 Leftrightarrow 5y^2 + 6y -104 =0Leftrightarrow y=4$ (vì $y$ là số chẵn). Do đó $y=4$. Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $(0;4)$.

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên $|19x + 15y| + 1975 = |19y + 5x| + 2016^x$ $(3)$.

Giải

Biến đổi phương trình $(3)$ ta được:

$1975 – 2016^x = (|19y + 5x| + 19y + 5x) – (|19x + 5y| + 19x + 5y) + 14(x-y)$.

Vì $|a| +a$ là số chẵn với mọi giá trị nguyên của $a$ nên vế phải là số chẵn do đó $1975 – 2016^x$ phải là số chẵn suy ra $2016^x$ là số lẻ suy ra $x=0$.

Thay $x=0$ vào phương trình $(3)$ ta được $|5y| + 1975 = |19y| +1 Leftrightarrow 14|y| = 1974 Leftrightarrow y=141$ hoặc $y=-141$.

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(0;141)$ và $(0;-141)$.

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x + x^2 + x^3 = 4y^2 +4$ $(4)$.

Giải

Ta có: $(4) Leftrightarrow 1+x+x^2 +x^3= 4y^2 +4y +1Leftrightarrow (x+1)(x^2+1) = (2y+1)^2$ $(*)$

Dễ thấy $(2y +1)^2$ lẻ suy ra $x+1$ và $x^2 +1$ là hai số lẻ. Giả sử $(x+1, x^2 +1) = d$ suy ra $d$ lẻ.

Mặt khác $x+1 vdots d Rightarrow 1-x^2   vdots d$, kết hợp với $x^2 +1   vdots d$ ta có $1-x^2 + 1+x^2   vdots d Rightarrow 2  vdots   dRightarrow d=1$ (vì $d$ lẻ)

Vì $(x+1)(x^2 +1)$ là số chính phương (theo $(*)$) và $(x+1,x^2+1)=1$ nên $x+1$ và $x^2 +1$ đều là số chính phương.

Dễ thấy $x^2$ và $x^2 +1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp mà đều là số chính phương nên $x=0$.

Khi đó theo $(4)$ thì $y=0$ hoặc $y=-1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $(0;0)$ hoặc $(0;-1)$

Ví dụ 5: Chứng tỏ phương trình: $x^4 + y^4 + z^4 + t^4 + k^4 =2015$ không có nghiệm nguyên.

Giải

Nếu $x$ là số chẵn thì $x^4   vdots 16$.

Nếu $x$ là số lẻ thì $x^2 : 8$ dư $1$ nên $x^4 = (8k+1)^2 : 16$ dư $1$.

Như vậy mỗi số $x^4$, $y^4$, $z^4$, $t^4$, $k^4$ chia cho $16$ dư $1$ hoặc $0$ nên $x^4+y^4+z^4+t^4+k^4$ chia cho $16$ có số dư không lớn hơn $5$ còn vế phải $2015$ chia cho $16$ dư $15$.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

2. Sử dụng tính chất chia hết

Ví dụ 6: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x$; $y$; $z$ thỏa mãn

$$x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z+2017 (6)$$

Giải

$(6) Leftrightarrowleft(x^{3}-xright)+left(y^{3}-yright)+left(z^{3}-zright)=2017$ . Vì $x^{3}-x=(x-1) x(x+1)$  là tích của $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $6$, tương tự $y^3 -y$, $z^3 -z$ cũng chia hết cho $6$ nên vế trái chia hết cho $6$ mà $2017$ không chia hết cho $6$ nên phương trình $(6)$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại các số nguyên $x$; $y$; $z$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z+2017$

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2y -5x^2 -xy -x +y -1=0$ $(7)$

(Trích đề thi HSG lớp $9$ huyện Can Lộc, Hà Tĩnh)

Giải

Đây là phương trình $2$ ẩn mà bậc đối với $y$ là bậc nhất nên ta dễ dàng biểu thị $y$ theo $x$ và ta có cách giải như sau:

$(7) Leftrightarrow y=dfrac{5 x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}left( text{do } x^{2}-x+1>0right) Rightarrow y=5+dfrac{6 x-4}{x^{2}-x+1}$

Ta có $y in mathbb{Z}   Leftrightarrow(6 x-4) vdots left(x^{2}-x+1right) $

$Leftrightarrow 2(3 x-2) vdotsleft(x^{2}-x+1right) $

$Leftrightarrowleft[begin{array}{l} 2 vdots left(x^{2}-x+1right) \ 3 x-2 vdots left(x^{2}-x+1right) end{array}right.$

(vì $x^{2}-x+1=x(x-1)+1$ là số lẻ).

  • TH1: $2:left(x^{2}-x+1right)$
    $Leftrightarrow x^{2}-x+1=pm 1$ (vì $.x^{2}-x+1$ lẻ)

$Leftrightarrow x=0 ; x=1$ (thỏa mãn $x$ nguyên).

$+$ Với $x=0 Rightarrow y=1$
$+$ Với $x=1 Rightarrow y=7$

  • TH2: $(3 x-2):left(x^{2}-x+1right) (*)$
    $Rightarrow x(3 x-2) vdots left(x^{2}-x+1right)$
    $Rightarrowleft(3 x^{2}-2 xright) vdots left(x^{2}-x+1right)$
    $Rightarrowleft(3 x^{2}-3 x+3+x-3right) vdots left(x^{2}-x+1right)$
    $Rightarrow(x-3) vdotsleft(x^{2}-x+1right)$
    $Rightarrow(3 x-9) vdotsleft(x^{2}-x+1right) (**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta được $7 vdotsleft(x^{2}-x+1right)Rightarrow x^2 -x+1$ bằng một trong các giá trị $-7$; $7$; $1$; $-1$.

Từ đây ta được các nghiệm: $(3;7)$, $(0;1)$, $(1;7)$.

Thử lại ta thấy phương trình $(7)$ có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(3;7)$, $(0;1)$, $(1;7)$.

Ví dụ 8: Tồn tại hay không một số nguyên $n$ thỏa mãn $n^3 + 2015n=2014^{2016} +1$?

Giải

Giả sử tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn phương trình $n^3 + 2015n=2014^{2016} +1$, suy ra:

$$n^3 -n +2016n = 2014^{2016}+1$$

$Leftrightarrow (n-1)n(n+1)+2016n=2014^{2016}+1$

Do $(n-1)n(n+1)$ là tích của ba số nguyên liên tiếp  nên chia hết cho $3$ và $2016, vdots , 3$ nên $n^3-n+2016n , vdots , 3$ hay $n^3 + 2015, vdots , 3$.

Mặt khác $2014$ chia $3$ dư $1$ nên $2014^{2016}$ chia $3$ dư $1Rightarrow 2014^{2016}$ chia $3$ dư $1Rightarrow 2014^{2016}+1$ chia $3$ dư $2$

Từ đó ta thấy điều mâu thuẫn. Vậy không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn phương trình.

Ví dụ 9: Tồn tại hay không hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$?

Giải

Giả sử tồn tại hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$.

Ta có: $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)$
Vì $a^{3}+b^{3}=2013, vdots, 3 Rightarrow a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b), vdots, 3$
$Leftrightarrow(a+b)^{3}, vdots, 3 Rightarrow a+b , vdots, 3 Rightarrow(a+b)^{3}, vdots, 9$
$Rightarrow 2013=a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b), vdots , 9$ (vô lý).
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$,

Ví dụ 10: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2(x-y)=5(y-1)$ $(10)$

Giải

Ta có $(10) Leftrightarrow x^{2}(x-y)=5(y-x)+5(x-1) Leftrightarrowleft(x^{2}+5right)(x-y)=5(x-1) .$
Suy ra $5(x-1),  vdots, left(x^{2}+5right) Rightarrow 5left(x^{2}+5right)-5 x(x-1)-5(x-1),  vdots, left(x^{2}+5right)$ hay $30,  vdots,left(x^{2}+5right)$
$Rightarrowleft(x^{2}+5right) in{5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30}$ và $x$ là số nguyên
$Rightarrow x in{0 ; pm 1 ; pm 5}$.

Thử lại ta được nghiệm nguyên của phương trình là $(0 ; 1); (1 ; 1); (-5 ;-4)$.

Ví dụ 11: Chứng minh phương trình: $x^2 -2^y =2015$ $(11)$ không có nghiệm nguyên.

Giải

$(11) Leftrightarrow x^{2}=2015+2^y$.
Ta sẽ chứng minh $A=2015+2^{y}$ không phải là số chinh phương với mọi số nguyên $y$.

Thật vậy thay $y$ bằng $0 ; 1; 2$ thì $A$ lần lượt nhận các giá trị là $2016 ; 2017; 2019$ đều không phải là số chính phương. Với $y geq 3$ thi $2^{y}$ chia hết cho $8$ , còn $2015$ chia $8$ dư $7$ nên $A$ chia $8$ dư $7$ mà số chính phương lẻ chia $8$ chỉ có thể dư $1$ do đó $A$ không phải là số chính phương.

Vậy phương trình  $(11)$ không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 12: Tìm các số nguyên dương $a$, $b$ sao cho

$dfrac{4}{a}+sqrt[3]{4-b}=sqrt[3]{4+4 sqrt{b+b}}+sqrt[3]{4-4 sqrt{b}+b}$ $(12)$

Giải

Đặt $sqrt[3]{2+sqrt{b}}=x ; sqrt[3]{2-sqrt{b}}=y$.

Vì $b>0$ nên $x>0$. Ta có $xy = sqrt[3]{2+sqrt{b}} cdot sqrt[3]{2-sqrt{b}}=sqrt[3]{4-b}$; $x^3 + y^3 =4$

Do đó phương trình $(12)$ trở thành:
$dfrac{x^{3}+y^{3}}{a}+x y=x^{2}+y^{2} Leftrightarrow dfrac{x^{2}+y^{3}}{a}=x^{2}+y^{2}-x y$
$Leftrightarrow dfrac{(x+y)left(x^{2}+y^{2}-x yright)}{a}=x^{2}+y^{2}-x y$
mà $x^{2}+y^{2}-x y=dfrac{3}{4} x^{2}+left(dfrac{x}{2}-yright)^{2}>0$

suy ra $x+y=a Rightarrow sqrt[3]{2+sqrt{b}}+sqrt[3]{2-sqrt{b}}=a$ $(*)$
$Rightarrow 4+3 sqrt[3]{4-b} cdot a=a^{3}$ $(**)$
$Leftrightarrow 4-b=left(dfrac{a^{3}-4}{3 a}right)^{3}$
Vì $b$ là số nguyên nên $a^{3}-4, vdots , 3 a Rightarrow a^{3}-4 , vdots , a$ $Rightarrow 4 vdots a Rightarrow a in{1 ; 2 ; 4}$
Với $a=1 Rightarrow b=5$.

Với $a=2$ hoặc $a=4$ thì $b$ không phải là số nguyên dưong.

Thử lại: Với $a=1$; $b=5$ ta có $(**)$ đúng tức là
$x^{3}+y^{3}+3 x y a=a^{3} Leftrightarrow a^{3}-x^{3}-y^{3}-3 x y a=0$
$Leftrightarrow(a-x-y)left[(a+x)^{2}+(a+y)^{2}+(x-y)^{2}right]=0 .$
Do $x>0 ; a>0$ nên $x+a>0 Rightarrow(a+x)^{2}+(a+y)^{2}+(x-y)^{2}>0 Rightarrow a-x-y=0$ hay $a=x+y$,
tức là $(*)$ đúng.

Vậy $(a, b)=(1 ; 5)$ là cặp số nguyên dương duy nhất thỏa mãn phương trình $(12)$.

Ví dụ 13: Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $361left(n^{3}+5 n+1right)=85left(n^{4}+6 n^{2}+n+5right)$  $(13)$

Giải
Ta có $(13) Leftrightarrow dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}=dfrac{85}{361}$.
Ta sẽ chứng minh $dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}$ la phân số tối giản với mọi giá trị $n in mathbb{N}$.
Thật vậy, đặt $d=left(n^{3}+5 n+1 ; n^{4}+6 n^{2}+n+5right)$.
Suy ra $n^{4}+6 n^{2}+n+5-nleft(n^{3}+5 n+1right),  vdots , d$ hay $n^{2}+5, vdots,  d$.

Từ đó $left(n^{3}+5 n+1right)-nleft(n^{2}+5right)$ ,  vdots , d hay $1,vdots , d Rightarrow d=1$.

Vậy phân số $dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}$ là phân số tối giản.

Mặt khác phân số $dfrac{85}{361}$ cũng là phân số tối giản mà dạng tối giản của một phân số là duy nhất nên ta có

$left{begin{array}{l}n^{3}+5 n+1=85 \ n^{4}+6 n^{2}+n+5=361end{array}right.$
$Rightarrowleft(n^{4}+6 n^{2}+n+5right)-nleft(n^{3}+5 n+1right)=361-85 n$
$Leftrightarrow n^{2}+85 n-356=0 Leftrightarrow(n-4)(n+89)=0$
Vi $n in mathbb{N}$ nên $n=4$.

Vậy số tự nhiên cần tìm là $n=4$.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các số nguyên dương $m$, $n$ thỏa mãn $3^{m}=n^{2}+2 n-8$ $(14)$

Giải
Ta có $(14) Leftrightarrow 3^{m}=(n+4)(n-2)$.

Đặt $n+4=3^{x} ; n-2=3^y$ với $x, y$ là số tự nhiên và $x+y=m$, khi đó $3^{x}-3^{y}=6$ hay $3^{y}left(3^{x-y}-1right)=6$.

Vì $3^y$ chỉ có ước là lũy thừa của $3$; $3^{x-y}-1$ không chia hết cho $3$ và $6=3.2$ nên $3^{y}=3$ và $3^{x-y}-1=2$ hay $y=1$ và $x=2$.

Từ đó $m=x+y=3$ và $n=3^{y}+2=5$.

Ví dụ 15: Tìm các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa $ x^{2}-y !=2015$

Giải
Nếu $y>5$ thì $y !, vdots , 9 Rightarrow y !+2015$ chia $9$ dư $8$ mà $x^{2}$ chia $9$ chi có thể nhận các số dư là $0 ; 1 ; 4 ; 7$ nên trong trường hợp này không tồn tại nghiệm.

Xét $y$ lần lượt bằng $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5$ đều không có giá trị $x$ thỏa mãn.
Vậy phương trình $(15)$ vô nghiệm.

Ví dụ 16: Tìm tất cả các số tự nhiên $m;n$ để $P=3^{3m^2+6n-61}+4$ là số nguyên tố.
(Trích đề thi HSG TP. Hà Tĩnh, năm hoc $2015-2016$)

Giải
Nhận xét:  Để tìm các số tự nhiên $m, n$ sao cho $P$ là số nguyên tố thì ta có thể chứng minh $P$ chia hết cho
một số nguyên tố $n$ nào đó và khi đó $P=n$

Đặt $3m^2+6n-61=3k+2 (kin mathbb{N})$.

Ta có $P=3^{3 k-2}+4=9.27^{k}+4$

Vì $27equiv 1 (bmod 13)$ nên $27^{k}equiv 1 (bmod 13)Rightarrow 9.27^{k} equiv 9 (bmod 13) Rightarrow 9.27^{k}+4 equiv 13(bmod 13)$
hay $P, vdots, 13$, mà $P$ là số nguyên tố nên $P=13$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $k=0 .$

Suy ra $3 m^{2}+6 n-61=2 Leftrightarrow m^{2}+2 n=21$
Vì $m ; n$ là các số tự nhiên nên chỉ có 2 cặp số $(m ; n)$ thỏa mãn là $(1 ; 10)$ và $(3 ; 6)$.

Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{11}+y^{11}=11 z$ $(17)$

Giải
$(17)$ có nghiệm nguyên khi $x^{11}+y^{11}, vdots , 11$.

Vì $11$ là số nguyên tố, theo định lý nhỏ Fermat ta có: $x^{11}- x, vdots, 11$ và $y^{11}-y, vdots, 11 .$

Ta viết $(17)$ dưới dạng: $left(x^{11}-xright)+left(y^{11}-yright)+(x+y)=11 z$ suy ra $x+y,  vdots,  11$.

Đặt $x+y=11 k ; x=t$ $(k, t in mathbb{Z}) .$ Ta có công thức nghiệm: $x=t$, $y=11 k-t$ và $left[t^{11}+(11 k-t)^{11}right] , vdots, 11$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:
a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.
b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $
c) $ x^3-y^3=91 $.

Bài 2. Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:

a) $3^x-y^3=1$;
b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;
c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.

Bài 3. Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$

Bài 4. Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.

Bài 5. Chứng tỏ rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên

a) $2x^2 +y^2 =1999$.

b) $7x^2 -5y^2 =3$.

c) $x^4 + y^4 + (x+y)^4=4004$.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

a) $17x^2 +26y^2 = 846$.

b) $3x^2 -3xy =7x -y -21$.

c) $x^3 + 3367 =2^y$.

d) $2^x -3^y =7$.

e) $x! + y! =10z+9$.

f) $|x-y|+|y-z|+|z-x|=2017$.

g) $x^3 +y^3 +z^4 =2003$.

Bài 7. Tồn tại hay không $4$ số nguyên liên tiếp $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $a^3 + b^2 +c+d=491$.

Bài 8. Cho đa thức $f(x)$ có các hệ số nguyên. Biết rằng $f(1)cdot f(2)=45$. Chứng tỏ đa thức $f(x)$ không có nghiệm nguyên.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button