Kiến thức

Bài 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN-Toan123.vn

Bài 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Bạn đang xem: Bài 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN-Toan123.vn

4.1. Phương pháp đổi biến

4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

4.1.1.1. Định lí

Nếu     1) Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục trên $left[ alpha ;,,beta  right]$

             2) Hàm hợp $f(u(t))$ được xác định trên $left[ alpha ;,,beta  right]$,

             3) $u(alpha )=a,,,u(beta )=b$

Khi đó: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{alpha }^{beta }{f(u(t)){{u}^{‘}}(t)dt}$.

4.1.1.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Đặt $x=uleft( t right)$
  • Bước 2: Tính vi phân hai vế :    $x=u(t)Rightarrow dx=u'(t)dt$ 

      Đổi cận:   $left| begin{array}{l}
x = b\
x = a
end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
t = beta \
t = alpha 
end{array} right.$

  • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t    

    Vậy: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{fleft[ u(t) right]u'(t)dt}=intlimits_{alpha }^{beta }{g(t)dt}$ $ = G(t)left| begin{array}{l}
beta \
alpha 
end{array} right. = G(beta ) – G(alpha )$

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

4.1.2.1. Định lí

Nếu hàm số $u=u(x)$đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn $left[ a;b right]$ sao cho  $f(x)dx=gleft( u(x) right)u'(x)dx=g(u)du$ thì: $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$.

4.1.2.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Đặt $u=u(x)Rightarrow du={{u}^{‘}}(x)dx$
  • Bước 2: Đổi cận :  $left| begin{array}{l}
    x = b\
    x = a
    end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
    u = u(b)\
    u = u(a)
    end{array} right.$
  • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo $u$

             Vậy:  $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{a}^{b}{gleft[ u(x) right]}.u'(x)dx=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

4.2.1. Định lí

Nếu $uleft( x right)$ và $vleft( x right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $left[ a;b right]$ thì:

$intlimits_a^b {u(x)v} ‘(x)d{rm{x}} = (u(x)v(x))left| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – u'(x)d{rm{x}}$    Hay   $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.$$ – intlimits_a^b {vdu} $     Hay   $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.$$ – intlimits_a^b {vdu} $

4.2.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Viết $fleft( x right)dx$ dưới dạng $udv=u{{v}^{‘}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $fleft( x right)$ làm $uleft( x right)$ và phần còn lại $dv=v'(x)dx$
  • Bước 2: Tính $du=u’dx$  và $v=int{dv}$$=int{v'(x)dx}$
  • Bước 3: Tính  $intlimits_a^b {vu'(x)dx} $ và $uvleft| begin{array}{l}
    b\
    a
    end{array} right.$

* Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng

$intlimits_{a}^{b}{P(x){{e}^{x}}dx}$

$intlimits_{a}^{b}{P(x)ln xdx}$

$intlimits_{a}^{b}{P(x)cos xdx}$

$intlimits_{a}^{b}{{{e}^{x}}cos xdx}$

u

P(x)

lnx

P(x)

${{e}^{x}}$

dv

${{e}^{x}}dx$

P(x)dx

cosxdx

cosxdx

Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $fleft( x right)$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của $fleft( x right)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button