PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN-Chủ Đề Toán 12-Để học tốt

Bạn đang xem: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN-Chủ Đề Toán 12-Để học tốt

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

theluc95 | 2 năm trước | 277 lượt xem |

Chủ Đề Toán 12


PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ta biết (displaystyle (u.v)’ = uv’ + u’v), do đó (displaystyle boxed{uv = int {uv’ + int {u’v Rightarrow int {uv’ = uv – int {u’v} } } }} )

Vậy, khi ta cần tính một nguyên hàm (tích phân) dạng tích mà không phải dạng hàm hợp (displaystyle int {f(x).g(x)dx} ) thì ta nghĩ đến phương pháp từng phần nhằm đưa nguyên hàm (tích phân) cần tính thành nguyên hàm (tích phân) khác dễ hơn, bằng cách:

– Coi (displaystyle f(x) = u Rightarrow u’ = f'(x)): Lúc này (displaystyle u’) phải đơn giản hơn hàm (displaystyle f(x)) ban đầu.

– Coi (displaystyle g(x) = v’ Rightarrow v = int {g(x)dx} = G(x))

– Vậy (displaystyle int {f(x).g(x)dx} = f(x).G(x) – int {G(x)f'(x)dx} )

Như vậy, quy tắc được mô tả trong hình sau:

– Coi (displaystyle f(x)) là (displaystyle u) thì nhấc nó sang vế phải, còn lại chính là (displaystyle v’) .

– Lấy tay che (displaystyle f(x)) và tính nguyên hàm (displaystyle int {g(x)dx} ) được bao nhiêu (được (displaystyle v)) viết nó ngay cạnh (displaystyle u).

– Trừ đi nguyên hàm của: Nhấc (displaystyle v) sang nhân với (displaystyle u’).

Đặt

(displaystyle mathop int limits_a^b Pleft( x right).{e^x}dx)

(displaystyle mathop int limits_a^b Pleft( x right).cos xdx)

(displaystyle mathop int limits_a^b Pleft( x right).sin xdx)

(displaystyle mathop int limits_a^b Pleft( x right).ln xdx)

(displaystyle u)

(displaystyle Pleft( x right))

(displaystyle Pleft( x right))

(displaystyle Pleft( x right))

(displaystyle ln x)

(displaystyle dv)

(displaystyle {e^x}dx)

(displaystyle cos xdx)

(displaystyle sin xdx)

(displaystyle Pleft( x right)dx)

Ví dụ:

1, (displaystyle int {x.sin 2x.dx = x.frac{{ – cos 2x}}{2} + int {frac{{cos 2x}}{2}dx = – frac{1}{2}x.cos 2x + frac{1}{4}sin 2x + C} } )

2, (displaystyle int {x.{e^{2x}}dx = x.frac{{{e^{2x}}}}{2} – frac{1}{2}int {{e^{2x}}dx = frac{1}{2}x.{e^{2x}} – frac{1}{4}{e^{2x}} + C} } )

3, (displaystyle int {ln ({x^2} – x)dx = } ln ({x^2} – x).x – int {x.frac{{2x – 1}}{{{x^2} – x}}dx} ) =(displaystyle x.ln ({x^2} – x) – int {frac{{2x – 1}}{{x – 1}}dx = x.ln ({x^2} – x) – int {(2 + frac{1}{{x – 1}})dx} } ) =(displaystyle x.ln ({x^2} – x) – 2x – ln left| {x – 1} right| + C).

4, (displaystyle I = int {cos x.{e^{2x}}dx = cos x.frac{{{e^{2x}}}}{2} – frac{1}{2}int {( – sin x).{e^{2x}}dx} } ) = (displaystyle frac{1}{2}cos x.{e^{2x}} + frac{1}{2}left( {sin x.frac{{{e^{2x}}}}{2} – frac{1}{2}int {cos x.{e^{2x}}dx} } right)) =(displaystyle frac{1}{2}cos x.{e^{2x}} + frac{1}{4}sin x.{e^{2x}} – frac{1}{4}I)(displaystyle Rightarrow frac{5}{4}I = frac{1}{2}cos x.{e^{2x}} + frac{1}{4}sin x.{e^{2x}}) (displaystyle Rightarrow I = frac{2}{5}cos x.{e^{2x}} + frac{1}{5}sin x.{e^{2x}} + C)

5, (displaystyle int {{{ln }^2}xdx = {{ln }^2}x.x – int {x.2ln x.frac{1}{x}dx} } ) = (displaystyle x.{ln ^2}x – 2int {ln xdx = } x.{ln ^2}x – 2left( {x.ln x – int {x.frac{1}{x}dx} } right)) = (displaystyle x.{ln ^2}x – 2x.ln x + 2x + C) = (displaystyle xleft( {{{ln }^2}x – 2ln x + 2} right) + C) .


tích phân từng phần

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button