Kiến thức

Phần 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG-Toan123.vn

Bạn đang xem: Phần 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG-Toan123.vn

Phần 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1

.  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1

. Lý thuyết

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

$A{{B}^{2}}=BH.BC$ hay ${{c}^{2}}=ac’$

$A{{C}^{2}}=CH.BC$ hay ${{b}^{2}}=ab’$

$H{{A}^{2}}text{ = }HB.HC$ hay ${{h}^{2}}=c’b’$

$AB.text{ }ACtext{ }=BC.text{ }AH$ hay $cb=ah$

$frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}$ hay $frac{1}{{{h}^{2}}}=frac{1}{{{c}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}.$

$B{{C}^{2}}=text{ }A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lí Pitago)

1

. Bài tập

Vận dụng hệ thức 1:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Vẽ đường cao AH.

Ta có ${frac { mathrm { HB } } { mathrm { HC } } = frac { 9 } { 16 } Rightarrow frac { mathrm { HB } } { 9 } = frac { mathrm { HC } } { 16 } = frac { mathrm { HB } + mathrm { HC } } { 9 + 16 } = frac { 20 } { 25 }}$

Suy ra ${mathrm { HB } = frac { 9.20 } { 25 } = 7,2}$(cm);  ${mathrm { HC } = frac { 16.20 } { 25 } = 12,8}$ (cm)

Xét DABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

$A{{B}^{2}}=BC.BH=20.7,2=144$ Þ AB = 12 (cm);

$A{{C}^{2}}=text{ }BC.CH=20.12,8=256$ Þ AC = 16 (cm).

Vậy diện tích DABC là ${mathrm { S } = frac { 1 } { 2 } mathrm { AB } mathrm { AC } = frac { 1 } { 2 } cdot 12.16 = 96}$ (cm2).

Cách giải khác:

Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: $A{{H}^{2}}=HB.HC$ (hệ thức 2).

$A{{H}^{2}}=7,2.12,8=92,16$ Þ AH = 9,6 (cm).

Diện tích DABC là ${mathrm { S } = frac { 1 } { 2 } mathrm { BCAH } = frac { 1 } { 2 } cdot 20.9,6 = 96}$ (cm2).

Bài 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Hướng dẫn giải

 

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25Rightarrow BC=5$cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$B{{A}^{2}}=text{ }BH.BC$ $Rightarrow BH=frac{B{{A}^{2}}}{BC}Rightarrow BH=frac{{{3}^{2}}}{5}Rightarrow BH=frac{9}{5}$(cm)

$C{{A}^{2}}=CH.CBRightarrow CH=frac{C{{A}^{2}}}{CB}Rightarrow CH=frac{{{4}^{2}}}{5}Rightarrow CH=frac{16}{5}$ (cm)

$A{{H}^{2}}=HB.HCRightarrow A{{H}^{2}}=frac{9}{5}.frac{16}{5}Rightarrow AH=frac{12}{5}$ (cm)

 

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}$)

Description: Description: HBài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết ${mathrm { OA } = 2 sqrt { 3 }}$cm, OB = 2cm, tính độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.

Ta có ${widehat { mathrm { D } } + widehat { mathrm { B } _ { 1 } } = 90 ^ { circ }}$ $widehat{AOD}+widehat{{{text{B}}_{2}}}={{90}^{{}^circ }}$

mà ${widehat { mathrm { B } _ { 1 } } = widehat { mathrm { B } _ { 2 } }}$ nên $widehat{AOD}=widehat{D}$

Do đó DAOD cân tại A. Suy ra ${A D = A O = 2 sqrt { 3 }}$ (cm).

Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.

Ta đặt $HO=HD=x$ thì $BD=2xtext{ }+text{ }2.$

Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có $A{{D}^{2}}=BD.HD.$

Suy ra ${( 2 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = x ( 2 x + 2 )}$ Từ đó ta được phương trình:

$2{{x}^{2}}+text{ }2xtext{ }12=0$ Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.

Do đó $BD=2+2+2=6$ (cm). Suy ra ${A B = sqrt { 6 ^ { 2 } – ( 2 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = sqrt { 24 } = 2 sqrt { 6 }}$ (cm).

Vận dụng hệ thức 2:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC.

Description: Description: HHướng dẫn giải

Ta có ${S _ { A B H } = frac { 1 } { 2 } A H B H = 54}$

Suy ra $AH.BH=108$ .                                 (1)

${mathrm { S } _ { mathrm { ACH } } = frac { 1 } { 2 } mathrm { AH } . mathrm { CH } = 96}$ Suy ra $AH.CHtext{ }=text{ }192$ .                (2)

Từ (1) và (2) ta được: $A{{H}^{2}}.BH.CH=108.192.$

Mặt khác $A{{H}^{2}}=text{ }BH.CH$ (hệ thức 2). Suy ra $A{{H}^{4}}=text{ }{{12}^{4}}$ Þ AH = 12 (cm).

Ta có ${{S}_{ABC}}=54text{ }+96=150$ (cm2) mà ${S _ { A B C } = frac { 1 } { 2 } B C A H}$ nên ${frac { 1 } { 2 } mathrm { BCAH } = 150}$

Suy ra ${mathrm { BC } = frac { 150.2 } { 12 } = 25}$ (cm).

Bài 2: Cho hình thang ABCD, $widehat{A}=widehat{D}={{90}^{0}}$ Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.

a) Tính diện tích hình thang;

b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN.

Description: Description: HHướng dẫn giải

* Tìm cách giải

Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC.

* Trình bày lời giải

a) · Xét DABD vuông tại A có AO ^ BD nên $O{{A}^{2}}=text{ }OB.OD$ (hệ thức 2).

Do đó $O{{A}^{2}}=text{ }5,4.15text{ }=text{ }81$ Þ OA = 9 (cm).

· Xét DACD vuông tại D có OD ^ AC nên $O{{D}^{2}}=text{ }OA.OC$ (hệ thức 2).

${Rightarrow mathrm { OC } = frac { mathrm { OD } ^ { 2 } } { mathrm { OA } } = frac { 15 ^ { 2 } } { 9 } = 25}$ (cm).

Do đó $AC=25+9=34$ (cm); $BD=5,4+15=20,4$ (cm).

Diện tích hình thang ABCD là: ${mathrm { S } = frac { mathrm { ACBD } } { 2 } = frac { 34.20,4 } { 2 } = 346,8}$ (cm2).

b) Xét DADC có OM // CD nên ${frac { mathrm { OM } } { mathrm { CD } } = frac { mathrm { A } mathrm { O } } { mathrm { AC } }}$ (hệ quả của định lí Ta-lét).                                                                      (1)

Xét DBDC có ON // CD nên ${frac { mathrm { ON } } { mathrm { CD } } = frac { mathrm { BN } } { mathrm { BC } }}$ (hệ quả của định lí Ta-lét).                                                                                                    (2)

Xét DABC có ON // AB nên ${frac { A O } { A C } = frac { B N } { B C }}$ (định lí Ta-lét).                                                                                  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ${frac { mathrm { OM } } { mathrm { CD } } = frac { mathrm { ON } } { mathrm { CD } }}$

Do đó OM = ON.

Xét DAOD vuông tại O, OM ^ AD nên ${frac { 1 } { mathrm { OM } ^ { 2 } } = frac { 1 } { mathrm { OA } ^ { 2 } } + frac { 1 } { mathrm { OD } ^ { 2 } }}$ (hệ thức 4).

Do đó ${frac { 1 } { mathrm { OM } ^ { 2 } } = frac { 1 } { 9 ^ { 2 } } + frac { 1 } { 15 ^ { 2 } } Rightarrow mathrm { OM } approx 7,7}$ (cm).

Suy ra $MNapprox 7,7.2text{ }=text{ }15,4$ (cm).

Vận dụng hệ thức 4:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức ${mathrm { P } = frac { 1 } { mathrm { AM } ^ { 2 } } + frac { 1 } { mathrm { AN } ^ { 2 } }}$

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải

Biểu thức ${frac { 1 } { mathrm { AM } ^ { 2 } } + frac { 1 } { mathrm { AN } ^ { 2 } }}$ gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) ${frac { 1 } { h ^ { 2 } } = frac { 1 } { b ^ { 2 } } + frac { 1 } { c ^ { 2 } }}$ để giải. Muốn vậy phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN.

* Trình bày lời giải

 

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.

Description: Description: HDADE và DABM có ${widehat { mathrm { D } } = widehat { mathrm { B } } = 90 ^ { circ }}$ AD = AB; $widehat{{{A}_{1}}}=widehat{{{A}_{2}}}$ (cùng phụ với $widehat{DAM}$ ).

Do đó $Delta ADEtext{ }=Delta ABMtext{ }left( g.c.g right).$ Suy ra AE = AM.

Xét DAEN vuông tại A có AD ^ EN nên ${frac { 1 } { mathrm { AE } ^ { 2 } } + frac { 1 } { mathrm { AN } ^ { 2 } } = frac { 1 } { mathrm { AD } ^ { 2 } }}$

Mặt khác $AE=AM;text{ }ADtext{ }=text{ }1$ nên ${frac { 1 } { mathrm { AM } ^ { 2 } } + frac { 1 } { mathrm { AN } ^ { 2 } } = 1}$

Bài 2:Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng :  $frac{1}{B{{K}^{2}}}=frac{1}{B{{C}^{2}}}+frac{1}{4A{{H}^{2}}}$

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức $frac{1}{{{h}^{2}}}=frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}$ ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.

* Trình bày lời giảiQua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.Vì $Delta $ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến $Rightarrow $ BH = HC.

Xét $Delta $BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD ( $bot $ BC )

$Rightarrow $ CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).

Nên AH là đường trung bình của $Delta $BCD

$Rightarrow $ AH = $AH=frac{1}{2}BD$ $Rightarrow $ BD = 2AH. (1)

Xét $Delta $BCD có $widehat{DBC}={{90}^{0}}$; BK $bot $ CD  ( K $in $ CD )

$Rightarrow $ $frac{1}{B{{K}^{2}}}=frac{1}{B{{C}^{2}}}+frac{1}{B{{D}^{2}}}$ (2)

Từ (1) và (2) $Rightarrow $$frac{1}{B{{K}^{2}}}=frac{1}{B{{C}^{2}}}+frac{1}{4A{{H}^{2}}}$ (đpcm)

Vận dụng nhiều hệ thức

Bài 1:Cho hình thang ABCD, ${widehat { A } = widehat { D } = 90 ^ { circ } =}$ hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.

 

Description: Description: HHướng dẫn giải

DADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{12}^{2}}+{{16}^{2}}=400$ .

Suy ra AC = 20 (cm).

DADC vuông tại D, DO là đường cao nên

$AD.DCtext{ }=text{ }AC.DO$ (hệ thức 3).

Suy ra ${mathrm { OD } = frac { mathrm { AD } mathrm { DC } } { mathrm { AC } } = frac { 12.16 } { 20 } = 9,6}$ (cm).

Ta lại có $A{{D}^{2}}=text{ }AC.AO$ (hệ thức 1) nên ${mathrm { OA } = frac { mathrm { AD } ^ { 2 } } { mathrm { AC } } = frac { 12 ^ { 2 } } { 20 } = 7,2}$(cm).

Do đó $OC=207,2=12,8$ (cm).

Xét DABD vuông tại A, AO là đường cao nên $A{{O}^{2}}=text{ }OB.OD$ (hệ thức 2).

${Rightarrow mathrm { OB } = frac { mathrm { AO } ^ { 2 } } { mathrm { OD } } = frac { 7,2 ^ { 2 } } { 9,6 } = 5,4}$(cm). Bài 2:                     (Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau)        Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. )

Hướng dẫn giải

*Cách 1: Ta có $Delta ABC$ vuông tại A nên :

$BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10(cm)$ (Định lý Pytago)

$Delta ABC$ vuông tại A, AH$bot $BC, nên $AH.BC=AB.AC$ $Rightarrow AH=frac{AB.AC}{BC}=4,8(cm)$

*Cách 2:  $Delta ABC$ vuông tại A, AH$bot $BC, nên:

$frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}Rightarrow A{{H}^{2}}=frac{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}Rightarrow AH=sqrt{frac{64.36}{100}}=4.8(cm)$

*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}}=100$ nên suy ra BC=10cm.

$Delta ABC$ vuông tại A nên:  $BH.BC=A{{B}^{2}}Rightarrow BH=frac{A{{B}^{2}}}{BC}=6.4(cm)$. Mà $HC=BC-BH=3,6$ (cm)

$Delta ABC$ vuông tại A, AH$bot $BC, nên:$A{{H}^{2}}=BH.HC={{4.8}^{2}}Rightarrow AH=4.8(cm)$

*Cách 4:  Gọi M là trung điểm BC.

Ta có : $BM=AM=frac{1}{2}BC=5cm$

+ Tính được BH=6.4cm

+ Nên $MH=BH-BM=6,4-5=1(cm)$

Áp dụng định lý Pitago vào $Delta HAM$ vuông tại H: $AH=sqrt{A{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}}=sqrt{{{5}^{2}}-1,{{4}^{2}}}=4,8(cm)$

Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp.

 

Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp giải: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A,$ đường cao$AH.$ Nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức $left( 1 right)to (5)$

Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:

Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.

Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.

Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button