Kiến thức

Lượng giác hóa các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhờ việc đặt ẩn phụ

Bạn đang xem: Lượng giác hóa các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhờ việc đặt ẩn phụ

Lượng giác hóa các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhờ việc đặt ẩn phụ

ctvdehoctot1 | 8 tháng trước | 251 lượt xem |

Phương pháp giải các dạng toán (Đại Số và Giải Tích 11)


§4. LƯỢNG GIÁC HOÁ CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT NHỜ VIỆC ĐẶT ẨN PHỤ

Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm GTNN và GTLN có thể đưa được về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc.

Về việc đặt ẩn phụ (t), tóm tắt những kinh nghiệm như sau:

Những điểm cần chú ý:

– Chú ý giới hạn cung, góc, và điều kiện.

– Điều kiện có nghiệm của phương trình a sin x + b cos x = c là

Ví dụ 41.

Cho $mid xmid leq 1$. Tìm GTLN của

Giải.

Vì $mid xmid leq 1$ nên có thể đặt x = cos2t, khi đó:

Như vậy $yleq 2^{n}$. Dấu “=” xảy ra khi sin t cos t = 0 ⇔

Vậy max y = $2^{n}$.

Ví dụ 42. Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện

Tìm GTLN của T = a + d.

Giải.

Vì $a^{2}$ + $b^{2}$ = 25 nên có thể đặt a = 5sin $alpha$, b = 5cos $alpha$,

$c^{2}$ + $d^{2}$ = 16 nên có thể đặt c = 4cos$beta$, d = 4sin$beta$, từ đó:

ac + bd = 20sin$alpha$cos$beta$ + 20cos$alpha$sin$beta$ = 20 sin($alpha$ + $beta$) $leq$ 20.

Từ giả thiết ac + bd $geq$ 20, suy ra

Ví dụ 43.

Cho $mid xmid leq 1$. Tìm GTLN của:

Giải.

a)

Dấu “=” xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy max y = 1.

b) Vì $mid xmid leq 1$ nên đặt x = cos$alpha$, ta có:

suy ra y = cos4$alpha$ $leq$ 1. Dấu “=” xảy ra, chẳng hạn, khi x = 0.

Vậy max y = 1.

Ví dụ 44.

Tìm GTLN, GTNN của :

Giải.

a) Vì x $in$ R nên đặt x = tan $alpha$, ta được:

Ví dụ 45.

Cho $a^{2}$ + $b^{2}$ = 1. Tìm GTLN của:

Giải.

Ví dụ 46. Tìm GTLN, GTNN của:

Giải.

Ví dụ 47.

Tìm GTLN, GTNN của :

Giải.

Điều kiện có nghiệm x của phương trình trên là :

Vậy max y = 1 + $sqrt{3}$, min y = 1 – $sqrt{3}$.

b) Ta có

D = R, ta biến đổi thành phương trình:

(1 + y) cos 2x + sin 2x = 3y-1.

Điều kiện có nghiệm của phương trình trên là :

Giải ra ta được :

Ví dụ 48.

Với a, b $in$ R, tìm GTLN, GTNN của

Giải.


lượng giác hóa các bài toán

tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất nhờ việc đặt ẩn phụ

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button