Kiến thức

Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

– Chọn bài -Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốBài 2: Cực trị của hàm sốBài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốBài 4: Đường tiệm cậnBài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốBài tập ôn tập chương 1

  • Sách giáo khoa đại số và giải tích 12

  • Sách giáo khoa hình học 12

  • Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

  • Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao

  • Giải Toán Lớp 12

  • Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12

  • Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12

  • Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao

  • Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao

  • Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao

  • Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12

  • Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao

  • Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao

  • Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bạn đang xem: Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

Bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = −2x2 + 7x − 5

b) y = x3 − 3x2 − 24x + 7

c) y = (x + 2)2.(x − 3)3

Lời giải:

a) y = −2x2 + 7x − 5. TXĐ: R

y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4

y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0

Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và yCD = 9/8

b) y = x3 − 3x2 − 24x + 7. TXĐ: R

y′ = 3x2 − 6x – 24 = 3(x2 − 2x − 8)

y′ = 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 17 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 1

Vì y′′(−2) = −18 < 0, y′′(4) = 18 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -2; đạt cực tiểu tại x = 4 và y = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73.

e) TXĐ: R

y′ = 2(x + 2).(x − 3)3 + 3(x + 2)2.(x − 3)2 = 5x(x + 2).(x − 3)2

y′= 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 17 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 2

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 17 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 3

Từ đó suy ra y = y(-2) = 0; yCT = y(0) = -108.

Bài 1.18 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 1
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 2

Lời giải:

a) TXĐ : R

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 3

y′= 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 4

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 5

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và yCD = y(2) = 1/4; yCT = y(−4) = −1/8

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 6

y′=0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 7

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 8

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − √2 và đạt cực tiểu tại x = 1 + √2, ta có:

yCD = y(1 − √2) = −2√2;

yCT = y(1 + √2) = 2√2.

c) TXĐ: R{-1}

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 9

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

d) Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (−∞; +∞)

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 10

y′ = 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 11

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 18 Trang 15 Sbt Giai Tich 12 12

Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và yCD = y(−1/3) = 13/4; yCT = y(4) = 0

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 2

Lời giải:

a) TXĐ: R

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 3

y′ = 0 ⇔ x = 64

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 4

Vậy ta có y = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.

b) Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞).

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 5

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 6

Vậy yCD = y(−2) = Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 7

c) Hàm số xác định trên khoảng (−√10;√10).

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 8

Vì y’ > 0 với mọi (−√10;√10) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: D = (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞)

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 9
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 10
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 11

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 19 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 12

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và yCT = y(3) = 9√3; yCD = y(−3) = −9√3

Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = sin2x

b) y = cosx − sinx

c) y = sin2x

Lời giải:

a) y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y’ = 2cos2x

y’ = 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 2

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD = y(π/4) = 1; yCT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y = y(π/4 + kπ) = 1;

yCT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 3

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y = y(−π4 + k2π) = √2;

yCT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

c) Ta có:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 4

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 5

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 20 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 6

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

yCT = y(2mπ) = 0; yCT = y(2mπ) = 0;

y = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)

Bài 1.21 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:

y = x3 + 2mx2 + mx − 1

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ = 4m2 -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 21 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

Bài 1.22 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Xem thêm: Công thức tính nồng độ mol của dung dịch chính xác 100%

Bài 1.23 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định m để hàm số: y = x3 − mx2 + (m – 2/3)x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải:

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3x2 − 2mx + (m – 2/3)

Δ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 23 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Ta có:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 23 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 2

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = (16/3).

Bài 1.24 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 24 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 24 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 24 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 2

Mặt khác, với x < 0 thì Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 24 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 3

với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 24 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 4

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = y(0) = 0.

Bài 1.25 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 25 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 1

Lời giải:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R{m}.

Ta có:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 25 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 2
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 25 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 3
Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai 25 Trang 16 Sbt Giai Tich 12 4

Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3

Δ’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ;

Δ’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Bài tập trắc nghiệm trang 16, 17 Sách bài tập Giải tích 12:

Bài 1.26: Hàm số y = (x + 1)3(5 – x) có mấy điểm cực trị?

A. 0              B. 1

C. 2              D. 3

Bài 1.27: Hàm số y = x4 – 5x2 + 4 có mấy điểm cực đại?

A. 0              B. 2

C. 3              D. 1

Bài 1.28: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + mx – 5 có cực trị:

A. m = 3              B. m ∈ [3; +∞]

C. m < 3              D. m > 3

Xem thêm: Sóng điện từ là sóng dọc hay sóng ngang

Bài 1.29: Xác định giá trị của tham số m để hàm số có cực trị:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 1

A. m > √5              B. m < -√5

C. m = √5              D. -√5 < m < √5

Bài 1.30: Cho hàm số y = -x4 + 4x2 – 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu

D. Hàm số chỉ có một cực đại

Bài 1.31: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

y = mx3/3 + mx2 + 2(m – 1)x – 2.

A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 2              B. m ≥ 0

C. m ≤ 0 ≤ 2              D. m ∈ [0; +∞]

Bài 1.32: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

y = x3 – 3(m – 1)x2 – 3(m + 3)x – 5

A. m ≥ 0              B. m ∈ R

C. m < 0              D. m ∈ [-5;5]

Bài 1.33: Cho hàm số:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 2

Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. d = 2√5              B. d = √5/4

C. d = √5              D. √5/2

Lời giải:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33
Đáp án B D C D B A B D

Bài 1.26: Đáp án: B.

Hàm số y = (x + 1)3(5 – x) xác định trên R.

y’ = -(x + 1)3 + 3(x + 1)2(5 – x) = 2(x + 1)2(7 – 2x)

y’ = 0 ⇔ Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 3

Bảng biến thiên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 11

Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại)

Xem thêm: log, logf, log10, log10f

Bài 1.27: Đáp án: D.

Hàm số y = x4 – 5x2 + 4 xác định trên R.

y’ = 4x3 – 10x = 2x(2x5 – 5);

y’ = 0 khi

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 4

y” = 12x2 – 10

Vì y”(0) = -10 < 0, Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 5

nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0)

Bài 1.28: Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y’ = 3x2 – 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R

⇔ 3x2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3

Bài 1.29: Đáp án: D.

Tập xác định: D = R {m}

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 6

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = -m2 + 5 > 0 ⇔ -√5 < m < √5

Bài 1.30: Đáp án: B.

Vì a < 0 và y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai cực đại, một cực tiểu.

Ở đây y’ = -4x3 + 8x; y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 2) = 0

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 7

Bài 1.31: Đáp án: A.

– Nếu m = 0 thì y = -2x – 2, hàm số không có cực trị.

– Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = mx2 + 2mx + 2(m – 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ’ = m2 – 2m(m – 1) = -m2 + 2m ≤ 0

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 8

Bài 1.32: Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y’ = 3x2 – 6(m – 1)x – 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ = (m – 1)2 + (m + 3) = m2 – m + 4 > 0

Ta thấy tam thức Δ’ = m2 – m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 – 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Bài 1.33: Đáp án: D.

y’ = 3x2 + 3x = 3x(x + 1) = 0

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 9

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 Bai Tap Trac Nghiem Trang 16 17 Sbt Giai Tich 12 10

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bài trước

– Chọn bài -Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốBài 2: Cực trị của hàm sốBài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốBài 4: Đường tiệm cậnBài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốBài tập ôn tập chương 1

Bài tiếp

Bình luận

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button