Kiến thức

lý thuyết số phức năm 2021-ToanHoc.org

lý thuyết số phức năm 2021

Trước đó bạn đã quen với tập hợp số thực, khi bước sang tập

số phức

sẽ khiến bạn gặp nhiều khó khăn. Không cần quá lo bởi bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết số phức, các dạng bài tập số phức từ cơ bản tới nâng cao để bạn học – ôn tâp hiệu quả hơn.

Mục lục

ẩn

1 Số phức là gì?

2 Những công thức số phức cơ bản

2.1 Phép cộng và trừ

2.2 Phép nhân, chia

2.3 Biểu diễn số phức

2.4 Số phức liên hợp

2.5 Module và Argument

3. Dạng lượng giác của số phức

3.1 Những biến đổi lượng giác quan trọng

3.2 Công thức Moivre (Moa-vrơ)

3.3 Khai căn số phức dưới dạng lượng giác

1 Số phức là gì?

Số phức là số được có dạng biểu thức z = a + bi. Trong đó:

  • a là phần thực z
  • b là phần ảo z
  • i là số ảo với i2 = – 1
  • Tập hợp các số phức kí hiệu là C

Chú ý: Với z = a + bi

  • b = 0 => z = a cũng là số phức => Mỗi số thức đều là 1 số phức
  • a = 0 => z = bi được gọi là số thuần ảo hay còn gọi là ảo
  • Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
  • Số đối của z = a + bi là – z = – z – bi

Từ những chú ý trên ta thấy R ⊂ C

2 Những công thức số phức cơ bản

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i

Bạn đang xem: lý thuyết số phức năm 2021-ToanHoc.org

2.1 Phép cộng và trừ

  • Phép cộng z + z’ = (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
  • Phép trừ z – z’ = (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i
  • Hai số phức bằng nhau khi: z = z’ <=>a + bi = a’ + b’i hay a = a’ và b = b’

2.2 Phép nhân, chia

  • Phép nhân: z.z’ = (a + bi).(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i
  • Nếu k là 1 số thực thì: k.z = k(a + b.i) = ka + kb.i
  • Phép chia: $frac{z}{{z’}} = frac{{a + bi}}{{a’ + b’i}}$$ = frac{{left( {a + bi} right).left( {a’ – b’i} right)}}{{left( {a’ + b’i} right).left( {a’ – b’i} right)}}$$ = frac{{aa’ + bb’}}{{{{left( {a’} right)}^2} + {{left( {b’} right)}^2}}} + frac{{ba’ – ab’}}{{{{left( {a’} right)}^2} + {{left( {b’} right)}^2}}}.i$

Xem thêm: Đạo hàm của các hàm lượng giác – Wikipedia tiếng Việt

2.3 Biểu diễn số phức

Trong hệ toạ độ

Descartes

, ta có thể biểu diễn số phức z = x + y.i như sau:

  • Trục hoành biểu diễn phần thực
  • Trục tung biểu diễn phần ảo

biểu diễn số phức

Mặt phẳng trên được gọi là mặt phẳng phức.

2.4 Số phức liên hợp

Số phức z = a + bi thì $overline z $ = a – bi gọi là

số phức liên hợp

của z.

Tính chất:

  • $z.overline z = {a^2} + {b^2}$ là một số thực.
  • $z + overline z = 2a$ là một số thực
  • $overline {z + z’} = overline z + overline {z’} $
  • $overline {z.z’} = overline z .overline {z’} $

Xem thêm: Oxit-công thức, tính chất hoá học, phân loại và cách gọi tên oxit

2.5 Module và Argument

Module: $left| z right| = sqrt {z.overline z } = sqrt {{a^2} + {b^2}} $

  • |z| ≥ 0, ∀z ∈ C
  • Khi |z| = 0 => z = 0
  • |z.z’| = |z|.|z’|
  • $left| {frac{z}{{z’}}} right| = frac{{left| z right|}}{{left| {z’} right|}}$
  • | |z| – |z’|| ≤ |z ± z’| ≤ |z| + |z’|

3. Dạng lượng giác của số phức

Từ số phức z = x + y.i  ta có dạng lượng giác z = r(cosφ + isinφ), r > 0. Trong đó

  • $r = sqrt {{x^2} + {y^2}} $
  • $cos varphi = frac{x}{r}$
  • $sin varphi = frac{y}{r}$
  • φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

|z| = 1 <=>cosφ + isinφ, với φ ∈ R

3.1 Những biến đổi lượng giác quan trọng

Giả sử có 2 số phức z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r'(cosφ’ + isinφ’)

Phép nhân: z.z’ = r(cosφ + isinφ).r'(cosφ’ + isinφ’) = r.r’.[cos(φ + φ’) + i.sin(φ + φ’)]

Phép chia: $frac{z}{{z’}} = frac{{rleft( {cos varphi + isin varphi } right)}}{{r’left( {cos varphi ‘ + i.sin varphi ‘} right)}}$$ = frac{r}{{r’}}left[ {cos left( {varphi – varphi ‘} right) + icos left( {varphi – varphi ‘} right)} right]$

Xem thêm: Tất cả những công thức hóa học lớp 8-Trung Tâm Gia Sư Trí Tuệ Việt-Trung Tâm Gia Sư Trí Tuệ Việt

3.2 Công thức Moivre (Moa-vrơ)

  • Lúy thừa zn = [r(cosφ + isinφ)]n = rn[cos(nφ) + isin(φ)], với n ∈ N*
  • (cosφ + isinφ)n = cos(nφ) + isin(nφ)

3.3 Khai căn số phức dưới dạng lượng giác

Dạng tổng quát: $sqrt[n]{z} = sqrt[n]{r}left[ {cos left( {frac{{varphi + k2pi }}{m}} right) + i.sin left( {frac{{varphi + k2pi }}{m}} right)} right]$, với m = 0, 1, 2, 3, …, n – 1. (3.3.1)

Thường gặp dạng toán căn bậc 2 của số phức. Từ (3.3.1) ta thấy căn bậc 2 ứng với m = 2 – 1 = 1: $sqrt z = sqrt r left[ {cos left( {frac{{varphi + k2pi }}{1}} right) + i.sin left( {frac{{varphi + k2pi }}{1}} right)} right]$ $ = sqrt z left[ {cos left( {frac{varphi }{2}} right) + i.sin left( {frac{varphi }{2}} right)} right]$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button