Kiến thức

Sử dụng máy tính casio giải phương trình số phức-Công thức nguyên hàm

giải toán bằng máy tính casio

máy tính casio

/

số phức

Bạn đang xem: Sử dụng máy tính casio giải phương trình số phức-Công thức nguyên hàm

Sử dụng máy tính casio giải phương trình số phức

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = rleft( {cos varphi + isin varphi } right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}left( {cos nvarphi + isin nvarphi } right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3

    • Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + sqrt 3 i$ )

  • Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $varphi = frac{pi }{3}$

II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} – z + 1 = 0$ . Giá trị của $left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4

Lời giải

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} – z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

 Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP

$ Rightarrow left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác

VD2. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$:
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$

Lời giải:

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = – 1 + i$ và ${z_2} = – 1 – i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${left( { – 1 + i} right)^4} = – 4$ , ${left( { – 1 – i} right)^4} = – 4$

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {left( { – 1 + i} right)^{2016}} + {left( { – 1 – i} right)^{2016}} = {left[ {{{left( { – 1 + i} right)}^4}} right]^{504}} + {left[ {{{left( { – 1 – i} right)}^4}} right]^{504}}$
$ = {left( { – 4} right)^{504}} + {left( { – 4} right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác

VD3. (Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 )
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ . Tính tổng :
$T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| + left| {{z_3}} right| + left| {{z_4}} right|$
A.T=4
B. $T = 2sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2sqrt 3 $

Lời giải

Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} – t – 12 = 0$

Vậy $left[ begin{array}{l} t = 4\ t = – 3 end{array} right.$ hay $left[ begin{array}{l} {z^2} = 4\ {z^2} = – 3 end{array} right.$
Với ${{rm{z}}^2} = 4 Rightarrow z = pm 2$
Với ${z^2} = – 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} Leftrightarrow z = pm sqrt 3 i$ với ${i^2} = – 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = – 3 Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = pm 1,,,z = pm sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP

VD4: (Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 )
Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + left( {i + 1} right){z^2} + left( {i + 1} right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC

Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.

Vậy $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

VD5: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 )
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + sqrt 3 ,;{z_2} = 1 – sqrt 3 $
A. ${z^2} + isqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} – 2{rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} – 2{rm{z}} – 4 = 0$

Lời giải:

Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ): $left{ begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – frac{b}{a}\ {z_1}{z_2} = frac{c}{a} end{array} right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$

Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} – 2{rm{z}} + 4 = 0$ có $ – frac{b}{a} = 2$ và $frac{c}{a} = 4$
$ Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

VD 6: (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số

Lời giải:

Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có 1 nghiệm duy nhất nếu $Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $left[ begin{array}{l} Delta > 0\ Delta < 0 end{array} right.$
Vậy ta chỉ cần tính $Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $Delta = {i^2} – 4 = – 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt Đáp số chính xác là A VD7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = frac{{{{left( {1 – i} right)}^{10}}{{left( {sqrt 3 + i} right)}^5}}}{{{{left( { – 1 – isqrt 3 } right)}^{10}}}}$ A.-1+i B.1 C.3-2i D. ${2^5}i$ Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 – i = rleft( {cos varphi + isin varphi } right)$. Để tính r và $varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3

Vậy ${z_1} = sqrt 2 left( {cos frac{{ – pi }}{4} + isin frac{{ – pi }}{4}} right)$ $z_1^{10} = {left( {sqrt 2 } right)^{10}}left( {cos 10.frac{{ – pi }}{4} + isin 10.frac{{ – pi }}{4}} right)$
Tính $cos 10.frac{{ – pi }}{4} + isin 10.frac{{ – pi }}{4}$

Vậy $z_1^{10} = {left( {sqrt 2 } right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}left( {cos 5.frac{pi }{6} + isin 5.frac{pi }{6}} right) = {2^5}left( { – frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}left( {cos 10.frac{{ – 2pi }}{3} + isin 10.frac{{ – 2pi }}{3}} right) = {2^{10}}left( { – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)$
Tổng hợp $z = frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = frac{{{2^5}i{{.2}^5}left( { – frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)}}{{{2^{10}}left( { – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)}}$

Vậy z=1 $ Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho phương trình v có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|$ là :
A. $2sqrt {17} $
B. $2sqrt {13} $
C. $2sqrt {10} $
D. $2sqrt {15} $
(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 )

Bài 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {left| {{z_1}} right|^2} + {left| {{z_2}} right|^2}$
A. $2sqrt {10} $
B.20
C. $5sqrt 2 $
D. $10sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)

Bài 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| + left| {{z_3}} right|$
A.T=0
B. $T = 3sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 )

Bài 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{rm{z}}^4} – 3{{rm{z}}^2} – 2 = 0$ . Tính tổng sau
$T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| + left| {{z_3}} right| + left| {{z_4}} right|$
A.5
B. $5sqrt 2 $
C. $3sqrt 2 $
D. $sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = left{ 1 right}$
B. $S = left{ {1;frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2}} right}$
C. $S = left{ {1; – frac{1}{2} pm frac{{sqrt 3 }}{2}i} right}$
D. $S = left{ { – frac{1}{2} pm frac{{sqrt 3 }}{2}i} right}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = – frac{5}{2}$
D. $P = frac{7}{4}$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button