Kiến thức

T10.ĐS.II.3. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

T10.ĐS.II.3. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu

Bạn đang xem: T10.ĐS.II.3. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

1. Tam thức bậc hai ĐỊNH NGHĨA Tam thức bậc hai ( đối với x) là biểu thức dạng ${a^2}x + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước với $a ne 0$ Nghiệm của phương trình ${a^2}x + bx + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$ Các biểu thức $Delta  = {b^2} – 4ac$ và $Delta ‘ = b{‘^2} – ac$ với $b = 2b’$ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$ 2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của $f(x) = {a^2}x + bx + c$ phụ thuộc vào dấu của biểu thức $Delta $ và hệ số a. ĐỊNH LÝ (về dấu của tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c,,,(a ne 0)$ + Nếu $Delta  < 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x in R$. + Nếu $Delta  = 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x ne  – frac{b}{{2a}}$. + Nếu $Delta  > 0$ thì f(x) có hai nghiệm ${x_1}& {x_2},({x_1} < {x_2})$.Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng $({x_1};{x_2})$, và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn $left[ {{x_1};{x_2}} right]$

Chứng minh:

I. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R.

Cho tam thức bậc hai (f(x)=ax^2+bx+c) với (a neq 0), đặt (Delta = b^2-4ac).

  • (f(x) >0 quad forall x in mathbb{R} Leftrightarrow begin{cases}Delta <0 \ a>0end{cases})
  • (f(x) <0 quad forall x in mathbb{R} Leftrightarrow begin{cases} Delta <0 \ a<0 end{cases})
  • (f(x) ge 0 quad forall x in mathbb{R} Leftrightarrow begin{cases} Delta le 0 \ a>0 end{cases})
  • (f(x) le 0 quad forall x in mathbb{R} Leftrightarrow begin{cases} Delta le 0 \ a<0 end{cases})

Trong các công thức trên, có thể thay (Delta) bởi (Delta’=b’^2-ac) và (b’=dfrac{b}{2}.) Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của tham số (m) để (f(x)=x^2-3x+m) luôn dương (forall x in mathbb{R}.) Giải. (f(x)=x^2-3x+m>0 ; forall x in mathbb{R}) khi và chỉ khi (begin{cases}1>0 \ Delta = 9-4m<0end{cases} Leftrightarrow m>dfrac{9}{4}) Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham số (m) để (mx^2-mx-5le0 ; forall x in mathbb{R}.) Giải. Đặt (f(x)=mx^2-mx-5.)

  • Nếu (m=0) thì (f(x)=-5 le 0 ; forall x in mathbb{R}) (đúng).
  • Nếu (m ne 0), ta có (f(x) le 0 ; forall x in mathbb{R}) (Leftrightarrow begin{cases}m<0 \ Delta le 0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<0 \ m^2+20m le 0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<0 \ -20 le m le 0end{cases}) (Leftrightarrow -20le m <0)

Gộp kết quả của 2 trường hợp ta được (-20 le m le 0) là đáp số. Chú ý: Nếu hệ số (a) chứa tham số (m) thì ta phải xét 2 trường hợp (a=0) và (a ne 0). Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của tham số (m) để bất phương trình ((m-1)x^2-2(m+2)x+mle0) có tập nghiệm là (mathbb{R}.) Giải. Xét (f(x)=(m-1)x^2-2(m+2)x+m.)

  • Nếu (m-1=0 Leftrightarrow m=1) thì ta có bất phương trình (-6x+1 le 0.) Bất phương trình này có tập nghiệm (left[dfrac{1}{6};+inftyright)) khác (mathbb{R}.)
  • Nếu (m ne 1), bất phương trình (f(x) le 0) có tập nghiệm là (mathbb{R}) (Leftrightarrowbegin{cases}m-1<0 \ Delta’=(m+2)^2-m(m-1) le 0end{cases}) (Leftrightarrowbegin{cases}m<1 \ 5m+4 le 0end{cases}) (Leftrightarrowbegin{cases}m<1 \ m le -dfrac{4}{5}end{cases}) (Leftrightarrow m le -dfrac{4}{5})

Gộp kết quả 2 trường hợp ta được (m le -dfrac{4}{5}) thoả yêu cầu đề bài. Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số (m) để (f(x)=(m-1)x^2+2(m+1)x-2) luôn dương với mọi (xin mathbb{R}.) Giải. Xét (f(x)=(m-1)x^2+2(m+1)x-2.)

  • Nếu (m=1) thì (f(x)=4x-2>0 ; forall x in mathbb{R}) là điều sai.
  • Nếu (m ne 1), (f(x)>0 ; forall x in mathbb{R}) khi và chỉ khi (begin{cases} m-1>0 \ Delta’=(m+1)^2+2(m-1)<0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases} m>1 \ m^2+4m-1<0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases} m>1 \ -2-sqrt{5}<m<-2+sqrt{5}end{cases}) (Leftrightarrow) không có (m).

Vậy không có (m) thoả yêu cầu đề bài. Ví dụ 5. Tìm (m) để bất phương trình (f(x)=mx^2-4mx+8) luôn âm với mọi x thuộc (mathbb{R}.) Giải.

  • Trường hợp (m=0) ta có (f(x)=8<0), không thỏa mãn.
  • Trường hợp (m ne 0). ta có f(x)<0 với mọi x thuộc (mathbb{R}) (Leftrightarrow mx^2-4mx+8<0 ; forall x in mathbb{R}) (Leftrightarrow begin{cases} m<0 \ Delta’ < 0 end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases} m<0 \ 4m^2-8m < 0 end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases} m<0 \ 0<m<2 end{cases}) (không có (m).)

Vậy không có (m) thoả yêu cầu đề bài. BÀI TẬP Tìm tất cả giá trị của tham số (m) để các bất phương trình sau có tập nghiệm là (mathbb{R})

  1. (x^2-mx+m+3 ge 0)
  2. (x^2+2(m-1)x+m+5>0)
  3. (mx^2-mx-5<0)
  4. (-x^2-2(m+1)x-2m-2<0)
  5. (-x^2+2(1-m)x-9 le 0)
  6. (x^2+(m+3)x+4 ge 0)
  7. (mx^2-2(m+3)x+m-6>0)

Xem thêm: Gia Sư Hóa Lớp 10-WElearn Gia Sư LTDH Tại Nhà Giá Rẻ

II. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên (a;b)

Ví dụ 1. Cho $f(x)={{x}^{2}}-2(m-3)x+2m-7$. Tìm m để f(x)<0 với mọi x thuộc (1;2). Giải Xét $f(x)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m-3)x+2m-7=0Leftrightarrow x=1;x=2m-7$ Vì a=1>0. Theo định lí về dấu tam thức bậc hai  suy ra: Trường hợp 1:

x 1 2m-7
f(x) + 0 0 +

Trường hợp 2:

x 2m-7 1
f(x) + 0 0 +

Theo yêu cầu bài toán thì (1;2) thuộc (1;2m-7) suy ra: $2m – 7 ge 2 < = > m ge frac{9}{2}$. Vậy: m>9/2. Ví dụ 2. Cho $f(x)=(m+1){{x}^{2}}-(3m-2)x+2m-3$. Tìm m để f(x)<0 với mọi x thuộc (3;$ + infty $). Giải Xét m=-1, $f(x)=6x-5$. $f(x)<0Leftrightarrow 6x-5<0Leftrightarrow x<frac{5}{6}$  (loại vì không chứa (3;$ + infty $). Xét $mne -1$, Ta có: a+b+c=0=> $f(x)=0Leftrightarrow (m+1){{x}^{2}}-(3m-2)x+2m-3=0Leftrightarrow x=1;x=frac{2m-3}{m+1}$ Theo định lí về dấu tam thức bậc hai  suy ra: Trường hợp 1: a>0<=>m>1

x $frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$ 1
f(x) + 0 0 +
x 1 $frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
f(x) + 0 0 +

Cả hai trường hợp trên đều bị loại. Trường hợp 2: a<0 <=>m<-1

x 1 $frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
f(x) 0 + 0
x $frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$ 1
f(x) 0 + 0

Theo yêu cầu bài toán, ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m < – 1}\ {frac{{2m – 3}}{{m + 1}} le 3} end{array}} right. Leftrightarrow m le – 6$ Vậy: $m le -6$.

Xem thêm: Phương pháp giải toán CO2 tác dụng với dung dịch kiềm môn Hóa học 9

III. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên [a;b]

Tương tự mục II. tuy nhiên khi giải ta phải chú ý dấu “=”.

Chuyên mục:

Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI


Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button