Kiến thức

T10.ĐS.V.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ 00-1800 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

T10.ĐS.V.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ 00-1800

Dạng 1. Dấu của giá trị lượng giác

Bạn đang xem: T10.ĐS.V.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ 00-1800 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Phương pháp:

$ alpha $ $0^0$ I $90^0$ II $180^0$
sin $ alpha $ 0 + 1 + 0
cos $ alpha $ 1 + 0 -1
tan $ alpha $ 0 + || 0
cot $ alpha $ || + 0 + ||

Ví dụ

Ví dụ :   Cho $pi < alpha < frac{{3pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :

cos $left( {alpha – frac{pi }{2}} right)$

Giải

$begin{array}{l} pi < alpha < frac{{3pi }}{2}\ Rightarrow pi – frac{pi }{2} < alpha – frac{pi }{2} < frac{{3pi }}{2} – frac{pi }{2}\ Rightarrow frac{pi }{2} < alpha – frac{pi }{2} < pi \ Rightarrow – 1 < cos left( {alpha – frac{pi }{2}} right) < 0 end{array}$

Lưu ý: $pi = {180^0}$

Bài tập thực hành

Cho $pi < alpha < frac{{3pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :

a)  sin  $left( {alpha + frac{pi }{2}} right)$

b)  tan $left( {frac{{3pi }}{2} – alpha } right)$

c)  cot$left( {alpha + pi } right)$

DẠNG 2. Chứng minh các hằng đẳng thức lượng giác.

Xem thêm: Đông Trùng Hạ Thảo Thể Khô Sấy Đối Lưu-Quà Tặng Sức Khỏe

Ví dụ

Cho ${{{90}^0} < alpha < {{180}^0}}$. CMR:

$frac{{1 + {{sin }^4}alpha – {{cos }^4}alpha }}{{1 – {{sin }^6}alpha – {{cos }^6}alpha }} = frac{2}{{3{{cos }^2}alpha }}$

Giải

Do: ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$

Ta có:

$begin{array}{*{20}{l}} {VT = frac{{1 + left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right)}}{{1 – left( {{{left( {{{sin }^2}alpha } right)}^3} + {{left( {{{cos }^2}alpha } right)}^3}} right)}}}\ begin{array}{l} = frac{{1 + left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)}}{{1 – left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^4}alpha – {{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha + {{cos }^4}alpha } right)}}\ = = frac{{1 – {{cos }^2}alpha + {{sin }^2}alpha }}{{1 – left[ {{{left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right)}^2} – 3{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha } right]}} end{array}\ { = frac{{2{{sin }^2}alpha }}{{1 – left( {1 – 3{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha } right)}}}\ { = frac{{2{{sin }^2}alpha }}{{3{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha }}}\ { = frac{2}{{3{{cos }^2}alpha }} = VP} end{array}$

Ví dụ 2

 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)).

Giải  Ta có: $B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)$

$ =2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)$

$=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$

$=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$

$=-1$

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lượng giác

Ví dụ

Tính giá trị của biểu thức: $A = frac{{11tanalpha – 5cotalpha }}{{34tanalpha + 2cotalpha }}$   biết (sinalpha=frac{1}{4}).

Giải  Ta có: $A = frac{{11tanalpha – 5cotalpha }}{{34tanalpha + 2cotalpha }}$

$ = frac{{11frac{{sinalpha }}{{cosalpha }} – 5frac{{cosalpha }}{{sinalpha }}}}{{34frac{{sinalpha }}{{cosalpha }} + 2frac{{cosalpha }}{{sinalpha }}}}$

$ = frac{{11si{n^2}alpha – 5co{s^2}alpha }}{{34si{n^2}alpha + 2co{s^2}alpha }}$

$ = frac{{16si{n^2}alpha – 5}}{{36si{n^2}alpha + 2}}$$ = frac{{16.{{(0,25)}^2} – 5}}{{32.{{(0,25)}^2} + 2}} = – 1$

Bài tập thực hành

Bài 1. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. CMR:

$a)text{ }{{left( sinxtext{ }+text{ }cosx right)}^{2}}=text{ }1text{ }+text{ }2sinx.cosx$

$b)text{ }{{left( sinxtext{ }text{ }cosx right)}^{2}}=text{ }1text{ }text{ }2sinx.cosx$

$c)text{ }si{{n}^{4}}xtext{ }+text{ }co{{s}^{4}}xtext{ }=text{ }1text{ }text{ }2si{{n}^{2}}xtext{ }co{{s}^{2}}x$

$d)text{ }sinxcosxleft( 1text{ }+text{ }tan x right)left( 1text{ }+text{ }cotx right)text{ }=text{ }1text{ }+text{ }2sinxtext{ }.text{ }cosx$ .

Bài 2. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)   $frac{1}{1+tan alpha }+frac{1}{1+cot alpha }=1$

b) $si{{n}^{4}}xtext{ }text{ }co{{s}^{4}}xtext{ }=text{ }2si{{n}^{2}}xtext{ }text{ }1$

c)  $frac{1}{{{sin }^{2}}x}+frac{1}{{{cos }^{2}}x}={{tan }^{2}}xtext{ }+text{ }co{{t}^{2}}xtext{ }+text{ }2$

d)  $frac{1+{{sin }^{2}}alpha }{1-{{sin }^{2}}alpha }=1+2{{tan }^{2}}alpha $

e)  $co{{s}^{2}}alpha text{ }text{ }co{{s}^{2}}b=text{ }si{{n}^{2}}b-text{ }si{{n}^{2}}alpha text{ }=frac{1}{1+{{tan }^{2}}alpha }+frac{1}{1+{{tan }^{2}}beta }$.

DẠNG 3. Cho một giá trị LG, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm: Tính chất vật lí của benzen là:

Ví dụ

Biết rằng  ${{{90}^0} < alpha < {{180}^0}}$ và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα.

Giải

Do: ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$

$ Rightarrow {cos ^2}alpha = 1 – {sin ^2}alpha = 1 – {(0,6)^2} = 0,64$

$ Rightarrow cos alpha = pm 0,8$

Do: ${90^0} < alpha < {180^0}$

$ Rightarrow cos alpha = – 0,8$

*$tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{0,6}}{{0,8}} = frac{2}{3}$

Bài tập thực hành

Bài 1. Tính

  1. Biết rằng $left( {{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}} right)$và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα.
  2. Biết rằng $left( {{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}} right)$cosα = 0,7. Tính sinα và tanα.
  3. Biết rằng $left( {{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}} right)$ và tanα = 0,8. Tính sinα và cosα.
  4. Biết $left( {{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}} right)$và $cosxtext{ }=frac{1}{2}$, tính $Ptext{ }=text{ }3si{{n}^{2}}xtext{ }+text{ }4co{{s}^{2}}x$ .
  5. Cho góc nhọn b mà $sinb=frac{1}{4}$. Tính cosb và tanb.
  6. Cho góc α, $left( {{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}} right)$và $cosalpha text{ }=text{ }-frac{1}{3}$. Tính sinα, tanα và cotα .
  7. Cho${{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}}$ $tan xtext{ }=2sqrt{2}$. Tính sinx và cosx.

Bài 2. Cho ${{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}}$. Hãy tính sinα, tanα nếu:

a)  $cos alpha =frac{12}{13}$ b)  $cos alpha =frac{3}{5}$

Bài 3.  Biết rằng $sintext{ }{{15}^{o}}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}$. Tính tỉ số lượng giác của góc 15o .

Bài 4. Cho ${{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}}$ và $tantext{ }a=text{ }-2$. Tính:

$A=frac{2sin a+5cos a}{4cos a-3sin a}$

$B=frac{3{{sin }^{2}}a-4{{cos }^{2}}a}{5{{cos }^{2}}a+3{{sin }^{2}}a}$

$D=frac{3sin a-4{{cos }^{2}}a}{cos a+5{{sin }^{2}}a}$

$E=frac{2{{sin }^{2}}a-3cos a}{5{{cos }^{2}}a+sin a}$

DẠNG 4.  Rút gọn biểu thức

Ví dụ:

Cho ${0^0} < alpha < {180^0}$. $CMR:frac{{1 + {{sin }^4}alpha – {{cos }^4}alpha }}{{1 – {{sin }^4}alpha – {{cos }^4}alpha }} = 1 + {tan ^2}alpha $

Giải

$begin{array}{l} VT = frac{{1 + left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right)}}{{1 – left( {{{left( {{{sin }^2}alpha } right)}^4} + {{left( {{{cos }^2}alpha } right)}^4}} right)}}\ = frac{{1 + left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)}}{{1 – left( {left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right) – 2{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha } right)}}\ = frac{{{{sin }^2}alpha + (1 – {{cos }^2}alpha )}}{{1 – left( {1 – 2{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha } right)}}\ = frac{{2{{sin }^2}alpha }}{{2{{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha }} = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }} = 1 + {tan ^2}alpha = VP end{array}$

Chú ý: Ta có thể chứng minh hai vế cùng bằng biểu thức thứ 3.

Bài tập thực hành

Bài 1.Tính

a) $A=co{{s}^{2}}{{12}^{o}}+text{ }co{{s}^{2}}{{78}^{o}}+text{ }co{{s}^{2}}{{1}^{o}}+text{ }co{{s}^{2}}{{89}^{o}}$

b) $B=si{{n}^{2}}{{3}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{15}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{75}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{87}^{o}}$ .

Bài 2. Tính

$A={{sin }^{2}}{{30}^{0}}+{{cos }^{2}}{{60}^{0}}$

`$B=tan {{30}^{0}}cot {{12}^{0}}+2sin {{135}^{0}}-3cos {{45}^{0}}+2sin {{75}^{0}}$

$ P=si{{n}^{2}}{{10}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{20}^{o}}+~si{{n}^{2}}{{30}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{80}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{70}^{o}}+text{ }si{{n}^{2}}{{60}^{o}}$

Bài 3. Cho ${{90}^{0}}<alpha <{{180}^{0}}$. Đơn giản các biểu thức:

$A=si{{n}^{6}}xtext{ }+text{ }3si{{n}^{4}}x.co{{s}^{2}}xtext{ }+text{ }3si{{n}^{2}}x.co{{s}^{4}}xtext{ }+text{ }co{{s}^{6}}x$.

$M=left( 1text{ }+text{ }cosalpha  right)left( 1text{ }text{ }cosalpha  right)text{ }text{ }si{{n}^{2}}alpha $ với ${{0}^{0}}<alpha <{{90}^{0}}$.

$Ptext{ }=text{ }cosytext{ }+text{ }siny.tan y$

$Q=sqrt{1+cos b}sqrt{1-cos b}$

$D=sin asqrt{1+{{tan }^{2}}a}$

$Etext{ }=text{ }sinleft( {{90}^{o}}text{ }x right)sinleft( {{180}^{o}}text{ }x right)$

$F=text{ }cosleft( {{90}^{o}}text{ }x right)cosleft( {{180}^{o}}text{ }x right)$

DẠNG 5. TÌM GTLN-NN CỦA BIỂU THỨC

Xem thêm: CÁCH GỌI TÊN THÔNG THƯỜNG, TÊN GỐC CHỨC VÀ TÊN THAY THẾ HỢP CHẤT HỮU CƠ

Ví dụ:

Cho ${0^0} < alpha < {180^0}$. Tìm GTLN-NN của biểu thức:

$P = sqrt {1 – 3{{cos }^2}alpha } $

Giải

Do: $begin{array}{l} {0^0} le alpha le {180^0}\ Rightarrow 0 le {cos ^2}alpha le 1\ Leftrightarrow 0 le 3{cos ^2}alpha le 3\ Leftrightarrow 1 le 1 + 3{cos ^2}alpha le 4\ Leftrightarrow 1 le sqrt {1 + 3{{cos }^2}alpha } le 2\ Leftrightarrow 1 le P le 2 end{array}$

$begin{array}{l} *P = 1 Leftrightarrow cos alpha = 0 Rightarrow alpha = {90^0}\ *P = 2 Leftrightarrow {cos ^2}alpha = 1 Rightarrow cos alpha = pm 1 Rightarrow alpha = {90^0};alpha = {180^0} end{array}$

$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {mathop {MaxP}limits_{{0^0} le alpha le {{180}^0}} = 2 Leftrightarrow alpha = {0^0};alpha = {{180}^0}}\ {mathop {MinP}limits_{{0^0} le alpha le {{180}^0}} = 1 Leftrightarrow alpha = {{90}^0}begin{array}{*{20}{c}} {}&{begin{array}{*{20}{c}} {}&{} end{array}} end{array}} end{array}} right.$

Bài tập thực hành

Bài 1. Tìm Max, min của: $A=3{{sin }^{2}}a+5{{cos }^{2}}a+1;left( {{0}^{0}}le ale {{180}^{0}} right)$

Bài 2. Tìm Max, min của: $b=sqrt{1+3{{cos }^{2}}a};left( {{0}^{0}}le ale {{180}^{0}} right)$

DẠNG 6. SO SÁNH

Ví dụ:

So sánh $cos {99^0}1’$ và $sin {1^0}59’$

Giải

Ta có: ${180^0} < {99^0}1′ < {90^0} = > cos {99^0}1′ < 0$

Tương tự: ${0^0} < {1^0}59′ < {90^0} Rightarrow sin {1^0}59′ > 0$

$ Rightarrow sin {1^0}59′ > cos {99^0}1’$

Bài tập thực hành

1. $tantext{ }{{36}^{0}}1’$ và $tantext{ }{{36}^{0}}2’$

2. $text{cot 9}{{text{9}}^{0}}1’$  và $text{cot }{{99}^{0}}2’$

3.$sin {{58}^{0}}32’15.16”$ và $sin {{58}^{0}}32’16.16”$

4. $cos {{58}^{0}}32’15.16”$và $cos {{58}^{0}}32’17.16”$


Xem thêm:

  • Giá trị của góc lượng giác của một góc từ ${0^0}$ đến ${180^0}$.

Chuyên mục:

Chương V: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button