Kiến thức

T11.GT.IV.2.2. Giới hạn hàm số thường gặp – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

T11.GT.IV.2.2. Giới hạn hàm số thường gặp

Bạn đang xem: T11.GT.IV.2.2. Giới hạn hàm số thường gặp – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

A. Quy tắc giới hạn

1. Giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = pm infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = L ne 0) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) được cho trong bảng sau:

Xem thêm: Giải Vật lý 9 Bài 6: Bài tập vận dụng định luật ôm

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương (dfrac{f(x)}{g(x)})

+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L ne 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = 0) và (gleft( x right) > 0) hoặc (gleft( x right) < 0) với mọi (x in Jbackslash left{ {{x_0}} right}), trong đó (J) là một khoảng nào đó chứa ({x_0}) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) được cho trong bảng sau:

B. Cách tính giới hạn hàm số thường gặp

2.1.Dạng $frac{0}{0}$ đối với giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1: Tính: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$

Giải

Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng  nên khẳng định đây là dạng $frac{0}{0}$.

Bước 2: Biến đổi: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{left( {x – 4} right)left( {x + 4} right)}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} left( {x + 4} right) = 8$

Xem thêm: Tổng Hợp Công Thức Lượng Giác Và Rút Gọn Biểu Thức

Ví dụ 2.

Tính $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$

Giải

Bước 1: Ta thế 0 vào biểu thức dưới dấu lim thì sẽ thấy dạng  $frac{0}{0}$  nên khẳng định đây là dạng  $frac{0}{0}$.

Bước 2: Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = lim frac{{left( {sqrt {{x^2} + 1} – 1} right)left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$ $mathop { = lim }limits_{x to 0} frac{{{x^2}}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$

Đến đây, chia cả tử và mẫu cho x2 ta được: $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = frac{1}{2}$

2.2.Dạng $frac{infty }{infty }$

Phương pháp: Ta chia cho x với số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Xem thêm: Cách share máy in và sửa lỗi không share được qua mạng lan, wifi

Ví dụ 1.

Tính giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}}$.

Giải

Thay $ + infty $ và biểu thức ta thấy có dạng $frac{{ + infty }}{{ + infty }}$.

Lại có bậc của x lớn nhất bằng 2, ta chia cả tử và mẫu cho x2.

$mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}}}{{frac{3}{{{x^2}}} + 2}} = frac{4}{2} = 2$

2.3. Dạng ${ + infty + infty }$

Ví dụ

Tính các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$

Giải

$mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{left| x right|sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}} – x}}{{x – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( { – sqrt {4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}} – 1} right)}}{{x Ví dụ1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – sqrt {4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}} – 1}}{{1 – frac{1}{x}}} = frac{{ – 2}}{1} = – 2$.

Lưu ý: Học sinh rất dễ nhầm dạng ${ + infty + infty }$ và dạng ${ + infty – infty }$.

2.4. Dạng ${ + infty – infty }$

Ví dụ

Tính gới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$.

Giải

Bước 1: Nhân với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim.

Bước 2: Sau liên hợp, có dạng $frac{infty }{infty }$, nên ta chia cả tử và mẫu cho x.

$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x – 1}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1 – frac{1}{x}}}{{left( {sqrt {1 – frac{1}{x}} + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}} = – frac{1}{2}$

2.5. Dạng ${0.infty }$

Ví dụ

Tính giới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

Giải

$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {{x^2} – 9} }}$

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {x – 3} .sqrt {x + 3} }}$

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} frac{{sqrt {x – 3} sqrt x }}{{sqrt {x + 3} }} = 0$

Chúc các bạn thành công!

https://youtu.be/D6e1LfXsbOI

Xem thêm:

  • Các phương pháp tính giới hạn hàm số.

  • Các phương pháp tính gới hạn dãy số.

  • Các phương pháp và  kỹ thuật tính giới hạn dãy số.

Chuyên mục:

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive