Kiến thức

T11.HH.III.8.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng-Phần 4 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Bạn đang xem: T11.HH.III.8.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng-Phần 4 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

T11.HH.III.8.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phần 4: Kỹ thuật tỉ số thể tích

A. Lý thuyết

Phương pháp Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp $V = frac{1}{3}B.h Leftrightarrow h = frac{{3V}}{S}$.

Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S.

B. Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, $widehat{ABC}=30{}^circ $; SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ C đến $left( SAB right)$.

Lời giải

  • Gọi E là trung điểm của BC khi đó $SEbot left( ABC right)$ và $SE=frac{asqrt{3}}{2}$.

Ta có $BC=aRightarrow AB=frac{asqrt{3}}{2};AC=frac{a}{2}$ vì vậy thể tích của khối chóp là:

${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.frac{sqrt{3}a}{2}.frac{1}{2}.frac{a}{2}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{3}}}{16}$

  • Để tính khoảng cách từ C đến $left( SAB right)$ ta cần tính diện tích $Delta SAB$.

Ta có: $AB=frac{asqrt{3}}{2};SB=a;SA=sqrt{S{{E}^{2}}+E{{A}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}$, Áp dụng công thức Heron ta được:

${{S}_{Delta SAB}}=sqrt{pleft( p-SA right)left( p-SB right)left( p-AB right)};left( p=frac{a+a+{}^{asqrt{3}}/{}_{2}}{2} right)=frac{sqrt{39}}{16}{{a}^{2}}$

Vậy $dleft( C,left( SAB right) right)=frac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{Delta SAB}}}=frac{asqrt{39}}{13}$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ A đến $left( SCD right)$.

Lời giải

  • Gọi E là trung điểm của AB khi đó $SEbot left( ABC right)$, và $SE=frac{asqrt{3}}{2}$. Vì vậy thể tích khối chóp cần tính là ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}frac{asqrt{3}}{2}{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$
  • Ta cần tính khoảng cách từ A đến $left( SCD right)$, ta quan sát khối chóp $S.ACD$ có thể tích là ${{V}_{S.ACD}}=frac{1}{3}frac{asqrt{3}}{2}frac{1}{2}{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$ vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của $Delta SCD$.

Ta có $CD=a;SD=SC=sqrt{S{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}}=sqrt{S{{E}^{2}}+D{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}=asqrt{2}$, Áp dụng công thức Heron ta được:

${{S}_{Delta SCD}}=sqrt{pleft( p-CD right)left( p-SD right)left( p-SC right)};left( p=frac{a+asqrt{2}+asqrt{2}}{2} right)=frac{sqrt{7}}{4}{{a}^{2}}$

Vì vậy $dleft( a,left( SCD right) right)=frac{3{{V}_{S.ACD}}}{{{S}_{Delta SCD}}}=frac{sqrt{21}}{7}a$

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SD=frac{3a}{2}$, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $left( ABCD right)$ trùng với trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng $left( SBD right)$.

Lời giải

  • Gọi E là trung điểm của AB khi đó $SEbot left( ABC right)$, dùng định lý Pitago ta tính được $SE=a$.

Từ đó ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}{{a}^{3}}$

  • Ta cần tính khoảng cách từ A đến $left( SBD right)$ ta quan sát hình chóp ADB có thể tích là $frac{1}{3}.frac{1}{2}{{a}^{2}}.a=frac{1}{6}{{a}^{3}}$ vậy nên nếu ta tìm được diện tích tam giác $Delta SBD$ bài toán sẽ được giải quyết.

Ta có $BD=asqrt{2};SD=frac{3a}{2};SB=frac{sqrt{5}}{2}a$. Áp dụng công thức Heron ta được:

 ${{S}_{Delta SBD}}=sqrt{pleft( p-SB right)left( p-SD right)left( p-BD right)};left( p=frac{asqrt{2}+frac{3a}{2}+frac{sqrt{5}}{2}a}{2} right)=frac{3}{4}{{a}^{2}}$

Vậy $dleft( S,left( SBD right) right)=frac{3{{V}_{S.ABD}}}{{{S}_{Delta SDB}}}=frac{3.{}^{{{a}^{2}}}/{}_{6}}{3{}^{{{a}^{2}}}/{}_{4}}=frac{2a}{3}$

Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $left( ABC right)$ là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt đáy bằng $60{}^circ $. Tính khoảng cách từ B đến $left( ACC’A’ right)$

Lời giải

  • Gọi E là trung điểm AB, khi đó

$A’Ebot left( ABC right),60{}^circ =left( A’C,left( ABC right) right)=widehat{A’CE}$.

Ta có $CE=frac{asqrt{3}}{2}$ (đường cao trong tam giác đều)

vì vậy

$A’E=tan 60{}^circ CE=frac{3a}{2}Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=frac{3a}{2}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}3sqrt{3}}{8}$

  • Ta cần tính khoảng cách từ B đến $left( ACC’A’ right)$ tức từ B đến $left( AA’C right)$, ta quan sát khối chóp $A’.ABC$ có thể tích là ${{V}_{A’.ABC}}=frac{1}{3}.frac{3a}{2}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$ vì vậy ta cần tìm diện tích $Delta A’AC$ (để dùng thể tích 2 lần).

Ta có $AC=a;AA’=sqrt{{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{3}{2}a right)}^{2}}}=frac{asqrt{10}}{2};A’C=frac{CE}{cos 60{}^circ }=asqrt{3}$. Áp dụng công thức Heron ta được:

${{S}_{Delta A’AC}}=sqrt{pleft( p-A’A right)left( p-A’C right)left( p-AC right)};left( p=frac{a+frac{asqrt{10}}{2}+asqrt{3}}{2} right)=frac{sqrt{39}}{8}{{a}^{2}}$

Trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ có ba kích thước $AB=a$, $AD=2a$, $A{{A}_{1}}=3a$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( {{A}_{1}}BD right)$ bằng bao nhiêu?

A. $a$.

B. $frac{7}{6}a$.

C. $frac{5}{7}a$.

D. $frac{6}{7}a$.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$ và có góc $widehat{BAD}={{60}^{0}}$. Đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $left( ABCD right)$ và $SO=frac{3a}{4}$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $left( SBC right)$ là

A. $frac{asqrt{3}}{2}$

B. $frac{3a}{2}$

C. $frac{2a}{3}$

D. $frac{3a}{4}$

Câu 3. Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$, cạnh bên bằng $3a$. Tính khoảng cách $h$ từ đỉnh $S$ tới mặt phẳng đáy $M$.

A. $h=a$.

B. $h=asqrt{6}$.

C. $h=frac{3}{2}a$.

D. $h=asqrt{3}$.

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$.có độ dài cạnh bên $A{{A}_{1}}=21$. Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=42$. Tính khoảng cách $h$ từ $A$ đến $left( {{A}_{1}}BC right)$.

A. $h=7sqrt{2}$.

B. $h=frac{21sqrt{3}}{2}$.

C. $h=42$.

D. $h=frac{21sqrt{2}}{2}$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a,BC=a$. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $asqrt{2}$. Tính khoảng cách $h$ từ $S$ đến mặt phẳng đáy $left( ABCD right)$.

A. $h=frac{asqrt{2}}{2}$.

B. $h=frac{asqrt{2}}{4}$.

C. $h=frac{asqrt{3}}{2}$.

D. $h=frac{asqrt{3}}{4}$.

—————————-

Phần trước: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng-Phần 3

 

 

Chuyên mục:

Các khóa học

CHƯƠNG III: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHONG GIAN.


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button