Kiến thức

T11.HH.III.8.8. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

T11.HH.III.8.8. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

I. Định nghĩa

Bạn đang xem: T11.HH.III.8.8. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Định nghĩa 1.

Hai đường thẳng a và b được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

Định nghĩa 2. 

Đường thẳng c vuông góc và cắt a, b lần lượt tại M;N gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b và MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a;b.

Xem thêm: Lý thuyết phương trình đường tròn-Môn Toán-Tìm đáp án, giải bài

Định nghĩa 3. 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường đường thẳng đó.

II. Phương pháp

Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Qui tắc 1. PP Định nghĩa

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b, vậy $d(a,b)=MN.$

Qui tắc 2. PP khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song.

Cho a chéo b, gọi (P) là mặt phẳng chứa b và song song a. Khi đó khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ a đến (P) và bằng khoảng cách từ một điểm A thuộc a đến (P).

Ta có: $d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P))$ với $b subset (P)$ và $a//(P)$.

Xem thêm: Join the WhatsApp Messenger beta-TestFlight-Apple

Qui tắc 3. PP hai mặt phẳng song song

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, Gọi (P) mặt phẳng chứa a và song song b, (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Khi đó cặp (P) , (Q) là duy nhất và khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ một điểm B thuộc (P) đén mặt phẳng (Q).

$d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) = d((Q),(P)) = BK.$

Qui tắc 4. PP mặt phẳng vuông góc.

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Gọi I là một điểm thuộc a.  Dựng $(P)$ qua I và vuông góc a, gọi c là hình chiếu của b trên ($P$). Dựng IH ⊥ c tại H, Dựng HK vuông góc $(P)$, K thuộc b. Nối KQ. Khoảng cách giữa a và b bằng QK.

Ta có: $d(a,b)=QK$.

Xem thêm: Cách kết nối máy in với laptop win 7-Máy tính An Khánh

Qui tắc 5. PP vec tơ (Xem thêm pp tọa độ trong không gian).

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.  Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN   và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và ${rm{SH = a}}sqrt[]{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.

Giải

Ta có: $Delta CDN{rm{ }} = Delta DAM Rightarrow CN bot DM$; mặt khác $SH bot DM Rightarrow DM bot left( {SCN} right)$

$ Rightarrow DM bot SC$.

Kẻ $HK bot SC Rightarrow HK bot DM$

$ Rightarrow dleft( {HK,{rm{ }}DM} right){rm{ }} = {rm{ }}HK$

Ta có ${S_{Delta CMD}} = {rm{ }}S_{ABCD}^{} – {rm{ }}{S_{ADM}} – {rm{ }}{S_{CBM}} = frac{{{a^2}}}{2}$

Mặt khác ${S_{CDM}} = frac{1}{2}CH.DM$

$ Rightarrow CH{rm{ }} = frac{{2{S_{CDM}}}}{{DM}} = frac{{2a}}{{sqrt 5 }}$

$frac{1}{{H{K^2}}}; = frac{1}{{C{H^2}}} + frac{1}{{S{H^2}}} = frac{{19}}{{12{a^2}}}$

$ Rightarrow HK = frac{{2asqrt 3 }}{{sqrt {19} }}$

$ Rightarrow d(DM,SC) = frac{{2asqrt 3 }}{{sqrt {19} }}$.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$có tất cả các cạnh đều bằng$a$. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng${{30}^{0}}$. Hình chiếu $H$của $A$ trên mặt phẳng $left( {A}'{B}'{C}’ right)$thuộc đường thẳng${B}'{C}’$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}’$và ${B}'{C}’$ là:

  • A. $frac{asqrt{3}}{4}$.
  • B. $frac{a}{2}$.
  • C. $frac{asqrt{3}}{2}$.                                       
  • D. $frac{a}{3}$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

$H$ là trung điểm ${B}'{C}’$. Dựng $HKbot A{A}’$, $dleft( A{A}’;{B}'{C}’ right)=HK$,

$frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{{A}'{{H}^{2}}}+frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}}+frac{1}{{{left( a.sin {{30}^{0}} right)}^{2}}}=frac{16}{3{{a}^{2}}}$; $HK=frac{sqrt{3}}{4}a$

Ví dụ 3.  Cho tứ diện $ABCD$ có$AC=BC=AD=BD=a$, $CD=b,text{ }AB=c$. Khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ là?

  • A. $frac{sqrt{3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}}{2}$.
  • B. $frac{sqrt{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}}{2}$.
  • C. $frac{sqrt{2{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}}{2}$. 
  • D. $frac{sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$, $dleft( AB,CD right)=MN=sqrt{A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}}$

$=sqrt{A{{D}^{2}}-frac{C{{D}^{2}}}{4}-frac{A{{B}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}}{2}$

Ví dụ 4.  Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’~$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B{C}’$ và $C{D}’$ là:

  • A. $frac{a}{2}$.
  • B. $frac{asqrt{2}}{2}$.
  • C. $frac{asqrt{3}}{2}$.
  • D. $frac{asqrt{3}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $CD{D}'{C}’$. Khi đó C’O là đoạn vuông góc chung của BC’ và CD’.

$dleft( B{C}’,C{D}’ right)={C}’O=frac{asqrt{2}}{2}$

Ví dụ 5.  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a,SA$ vuông góc với đáy$left( ABCD right)$, $SA=a$. khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng bao nhiêu?

  • A. $frac{a}{sqrt{6}}$.
  • B. $frac{a}{sqrt{7}}$.
  • C. $frac{a}{2}$.
  • D. $frac{a}{sqrt{5}}$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dựng $OKbot SC$ ,$dleft( BD,SC right)=OK$. $OK=frac{SA.OC}{SC}=frac{a.frac{sqrt{2}}{2}a}{asqrt{3}}=frac{a}{sqrt{6}}$

——————-

Xem thêm:

Khoảng cách giữa từ một điểm đến một mặt phẳng.

Chuyên mục:

CHƯƠNG III: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHONG GIAN.


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button