Kiến thức

T12.GT.III.2.2. Phương pháp tính Tích phân bằng đổi biến loại 1 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Phương pháp tính Tích phân bằng đổi biến loại 1

Định lý:

Nếu
1) Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục $left[ alpha ;,,beta right]$,

2) Hàm số $f(u(t))$ được xác định trên $left[ alpha ;,,beta right]$,

3) $u(alpha )=a,,,u(beta )=b$,
thì $I=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{alpha }^{beta }{f(u(t)){{u}^{‘}}(t)dt}$.

Bạn đang xem: T12.GT.III.2.2. Phương pháp tính Tích phân bằng đổi biến loại 1 – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Phương pháp

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $left[ a;b right]$ có nguyên hàm là $F(x)$.

Giả sử $u(x)$ là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn $left[ alpha ,beta  right]$ và có miền giá trị là $left[ a;b right]$ thì ta có :

$int{fleft[ u(x) right]}.u'(x)dx=F(x)left[ u(x) right]+C$

Đổi biến  $t=varphi (x)$, rút x theo t.

+) Xác định vi phân: $dx=varphi ‘(t)dt$

+) Biểu thị  f(x)dx theo t  và dt. Giả sử $f(x)dx=g(t)dt$. Khi đó $I=int{g(t)dt}$

Dấu hiệu đặt ẩn phụ

Dấu hiệu Quy tắc
Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu
Hàm $f(x,,sqrt{varphi (x)})$ Đặt $t=varphi (x)$
Hàm $f(x,sqrt[n]{varphi (x)},sqrt[m]{varphi (x)})$ Đặt $t=tan frac{x}{2}$
Hàm lẻ với sinx Đặt $t=cos x$
Hàm lẻ với cosx Đặt $t=operatorname{s}text{inx}$
Hàm chẵn với sinx và cosx Đặt t =tanx
Hàm $f(x)=frac{text{a}sin x+bcos x}{csin x+dcos x+e}$ Đặt $t=tan frac{x}{2}$

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Tính: ${I_1} = intlimits_0^1 {frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $

Giải

Đặt  $t={{x}^{2}}+1quad Rightarrow quad dt=2xdxquad Rightarrow quad xdx=frac{dt}{2}$

Đổi cận : $left{ begin{align}
& x=0to t=1 \
& x=1to t=2 \
end{align} right.$

Vậy: ${I_1} = intlimits_1^2 {frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = frac{1}{2}intlimits_1^2 {frac{{dt}}{t} = frac{1}{2}left. {ln t} right|} } _1^2 = frac{1}{2}ln 2$

Xem thêm: Để không bao giờ nhầm lẫn khi phát âm-s và-es

Ví dụ 2

Tính: ${I_2} = intlimits_0^1 {frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}} $

Giải

Đặt:  $t={{e}^{x}}-1quad Rightarrow quad dt={{e}^{x}}dxquad $

Đổi cận :$left{ begin{array}{l}
x = 1 to t = e – 1\
x = 2 to t = {e^2} – 1
end{array} right.$

Vậy :  ${{I}_{2}}=intlimits_{0}^{1}{frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{x}}-1}}=intlimits_{e-1}^{{{e}^{2}}-1}{frac{dt}{t}=left. ln t right|}_{e-1}^{{{e}^{2}}-1}=ln (e+1)$

Ví dụ 3

Tinh: ${I_3} = intlimits_1^e {frac{{sqrt {1 + ln x} dx}}{x}} $

Giải

Đặt:  ${{t}^{{}}}=1+ln xquad Rightarrow quad tdt=frac{1}{x}dxquad $

Đổi cận : $left{ begin{align}
& x=1to t=1 \
& x=eto t=2 \
end{align} right.$

${I_3} = intlimits_1^e {frac{{sqrt {1 + ln x} dx}}{x}} = intlimits_1^2 {sqrt t dt = frac{2}{3}left. {{t^{frac{3}{2}}}} right|} _1^2 = frac{2}{3}(2sqrt 2 – 1)$

Xem thêm: Toán Học – KXONEWS

Ví dụ 4.

Tính: ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{o}}{{rm{s}}^{rm{5}}}x.dx = }$

Giải

${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{o}}{{rm{s}}^{rm{5}}}x.dx = } intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{o}}{{rm{s}}^{rm{4}}}x.c{rm{osx}}.dx} $

$ = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{(1 – {{sin }^2}x)}^2}d(sin x)} $

$ = left( {frac{1}{5}{{sin }^5}x – frac{{2{{sin }^3}x}}{3} + sin x} right)left| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. = frac{8}{{15}}$

Ví dụ 5.

Tính: $I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{o}}{{rm{s}}^{rm{2}}}x.dx} $

Xem thêm: Nguyên lý Le Chatelier – Wikipedia tiếng Việt

Giải

$I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{o}}{{rm{s}}^{rm{2}}}x.dx} = frac{1}{2}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {(1 + c{rm{os2x)}}{rm{.dx}}} $

$ = frac{1}{2}left( {x + frac{1}{2}sin 2x} right)left| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. = frac{pi }{4}$

Ví dụ 6

Tính: $I = intlimits_0^1 {{x^2}sqrt {{x^3} + 5} dx}$

Giải

Ta có: $dleft( {{x}^{3}}+5 right)=3{{x}^{2}}dxRightarrow frac{dleft( {{x}^{3}}+5 right)}{3}={{x}^{2}}dx$

$ Rightarrow I = intlimits_0^1 {sqrt {{x^3} + 5} frac{{dleft( {{x^3} + 5} right)}}{3}} $

$begin{array}{l}
= frac{1}{3}intlimits_0^1 {{{left( {{x^3} + 5} right)}^{frac{1}{2}}}d({x^3} + 5)} \
= frac{1}{3}frac{{{{({x^3} + 5)}^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}}left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right.\
= frac{2}{9}({x^3} + 5)sqrt {{x^3} + 5} left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right.
end{array}$
$ = frac{4}{3}sqrt 6 – frac{{10}}{9}sqrt 5 $

Chúc các bạn thành công!

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–

Chuyên mục:

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button