Kiến thức

T12.GT.III.3.1. Phương pháp tích phân từng phần. – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Phương pháp tích phân từng phần.

Bạn đang xem: T12.GT.III.3.1. Phương pháp tích phân từng phần. – TOÁN CHO CUỘC SỐNG

Định lí .

Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $left[ a;b right]$ thì:
[intlimits_{a}^{b}{u(x){{v}^{‘}}(x)dx=left( u(x)v(x) right)left| begin{align}
& b \
& a \
end{align} right.-intlimits_{a}^{b}{v(x){{u}^{‘}}(x)dx}}]
hay
[intlimits_{a}^{b}{udv=uvleft| begin{align}
& b \
& a \
end{align} right.-intlimits_{a}^{b}{vdu}}].

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng $udv=u{{v}^{‘}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại $dv={{v}^{‘}}(x)dx.$
• Bước 2: Tính $du={{u}^{‘}}dx] và [v=int{dv}=int{{{v}^{‘}}(x)dx}$.

• Bước 3: Tính $intlimits_{a}^{b}{vdu}=intlimits_{a}^{b}{vu’dx}$ và $uvleft| begin{align}
& b \
& a \
end{align} right.$.

• Bước 5: Áp dụng công thức trên.

Ví dụ 1 :

a)Tính tích phân $I=intlimits_{1}^{3}{frac{3+ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}$
[begin{align}
& I=intlimits_{1}^{3}{frac{3+ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}=3intlimits_{1}^{3}{frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}+intlimits_{1}^{3}{frac{ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}} \
& {{I}_{1}}=3intlimits_{1}^{3}{frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}}=left. frac{-3}{(x+1)}, right|_{1}^{3}=frac{3}{4} \
& {{I}_{2}}=intlimits_{1}^{3}{frac{ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx} \
end{align}]
Đặt u = lnx $Rightarrow du=frac{dx}{x}$
$dv=frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}.,$ Chọn $v=frac{-1}{x+1}$
${{I}_{2}}=left. -frac{ln x}{x+1} right|_{1}^{3}+intlimits_{1}^{3}{frac{dx}{x(x+1)}}=-frac{ln 3}{4}+intlimits_{1}^{3}{frac{dx}{x}}-intlimits_{1}^{3}{frac{dx}{x+1}=-frac{ln 3}{4}+ln frac{3}{2}}$
Vậy : $I=frac{3}{4}(1+ln 3)-ln 2$

b) Tính $intlimits_{1}^{e}{xln xdx}$
Giải:

Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = ln x\
dv = xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{dx}}{x}\
v = frac{{{x^2}}}{2}
end{array} right.$

$begin{array}{l}
I = intlimits_1^e {xln xdx} \
= frac{{{x^2}}}{2}ln xleft| begin{array}{l}
e\
1
end{array} right. – frac{1}{2}intlimits_1^e {xdx} \
= frac{{{e^2}}}{2} – frac{{{x^2}}}{4}left| begin{array}{l}
e\
1
end{array} right. = frac{{{e^2} + 1}}{4}
end{array}$

Ví dụ 2.

Tính các tích phân sau:
a) $intlimits_{1}^{2}{frac{ln x}{{{x}^{5}}}dx}$
b) $intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{xcos xdx}$

c)$intlimits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}$
d) $intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{{{e}^{x}}cos xdx}$

Giải: 

a) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = ln x\
dv = frac{1}{{{x^5}}}dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{dx}}{x}\
v = – frac{1}{{4{x^4}}}
end{array} right.$

Do đó:

$begin{array}{l}
I = intlimits_1^2 {frac{{ln x}}{{{x^5}}}dx} \
= left. { – frac{{ln x}}{{4{x^4}}}} right|_1^2 + frac{1}{4}int_1^2 {frac{{dx}}{{{x^5}}}} \
= – frac{{ln 2}}{{64}} + left. {frac{1}{4}left( { – frac{1}{{4{x^4}}}} right)} right|_1^2\
= frac{{15 – 4ln 2}}{{256}}
end{array}$

b) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = cos xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = sin x
end{array} right.$

Do đó:

$begin{array}{l}
J = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {xcos xdx} \
= left( {xsin x} right)left| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin xdx} \
= frac{pi }{2} + cos xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. = frac{pi }{2} – 1
end{array}$

c) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = {e^x}dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = {e^x}
end{array} right.$

$begin{array}{l}
M = intlimits_0^1 {x{e^x}dx} \
= x{e^x}left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right. – intlimits_0^1 {{e^x}dx} \
= e – {e^x}left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right. = e – left( {e – 1} right) = 1
end{array}$

d). Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {e^x}\
dv = cos xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = {e^x}dx\
v = sin x
end{array} right.$

$ Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} = {e^x}sin xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}sin xdx} $

Đặt :$left{ begin{array}{l}
{u_1} = {e^x}\
d{v_1} = sin xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
d{u_1} = {e^x}dx\
{v_1} = – cos x
end{array} right.$

$ Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} = {e^{frac{pi }{2}}} + {e^x}cos xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} $

$begin{array}{l}
Leftrightarrow 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} = {e^{frac{pi }{2}}} – 1\
Leftrightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} = frac{{{e^{frac{pi }{2}}} – 1}}{2}.
end{array}$

*Lưu ý: Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

$intlimits_a^b {P(x){e^x}dx} $ $intlimits_a^b {P(x)ln xdx} $ $intlimits_a^b {P(x)cos xdx} $ $intlimits_a^b {{e^x}cos xdx} $
u P(x) ln(x) P(x) ${e^x}$
dv ${e^x}dx$ P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và $dv={{v}^{‘}}dx$ thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

• Nếu tính tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{P(x)Q(x)dx}$mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: ${{e}^{ax}},, ,cos ax,quad sin ax$ thì ta thường đặt

$left{ begin{array}{l}
u = P(x)\
dv = Q(x)dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = P'(x)dx\
v = int {Q(x)dx}
end{array} right.$

• Nếu tính tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{P(x)Q(x)dx}$ mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

$left{ begin{array}{l}
u = Q(x)\
dv = P(x)dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = Q’left( x right)dx\
v = int {P(x)dx}
end{array} right.$

• Nếu tính tích phân $I=intlimits_{alpha }^{beta }{{{e}^{ax}}cos bxdx}$ hoặc $ quad J=intlimits_{alpha }^{beta }{{{e}^{ax}}sin bxdx}$ thì

Ta đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\
dv = cos bxdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\
v = frac{1}{b}sin bx
end{array} right.$

Hoặc đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\
dv = sin bxdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\
v = – frac{1}{b}cos bx
end{array} right.$

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–

Chuyên mục:

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button