Khoa Ngôn ngữ và Văn hóa-Trường Đại học Khoa học

Xét tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ

19/06/2020

513


Bạn đang xem: Khoa Ngôn ngữ và Văn hóa-Trường Đại học Khoa học

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 – 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y’ = 3x2 – 12x + 9

y’ = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y’ = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y’ = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 – x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R{1}.

Tìm y’ = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x3 + 6x2 – 9x + 4

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 – 2x)/(x + 7)

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x4 + 4x + 6

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x2 – 2x – 3|

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button