Kiến thức

Bài 1: Định nghĩa và các phép toán số phức

I. LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm số phức:

  • Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả ${i^2}$ = –1.
  • Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
  • Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi/ a, b ∈ R và ${i^2}$= –1}. Ta có $R subset C$.
  • Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = $a in R subset C$
  • Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
  • Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Số phức bằng nhau:

  • Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có z = z¢ ↔ $left{ begin{array}{l}a = a’\b = b’end{array} right.$

VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y + 1) = (2y + 1) + (3x – 7)i (1)
(1) ↔ $left{ begin{array}{l}2x – 3 = 2y + 1\ – 3y – 1 = 3x – 7end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – y = 2\x + y = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 2\y = 0end{array} right.$

3. Biểu diễn hình học của số phức:

  • Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
  • Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
  • Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
${z_A} = 1 + 4i;,{z_B} = – 3 + 0i;,,{z_C} = 0 – 2i;,,{z_D} = 4 – i.$

4. Môđun của số phức:

  • Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ $overrightarrow {OM} $ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu $left| z right| = left| {a + bi} right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} $

VD: z = 3 – 4i có $left| z right| = left| {3 – 4i} right| = sqrt {{3^2} + {{( – 4)}^2}} $= 5

12-6-2014 1-21-36 PM.png

Chú ý: $left| {{z^2}} right| = left| {{a^2} – {b^2} + 2abi} right| = sqrt {{{({a^2} – {b^2})}^2} + 4{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} = {left| z right|^2}$

5. Số phức liên hợp:

  • Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của z là $bar z = a – bi$.

$z = a + bi leftrightarrow bar z = a – bi;,,overline {bar z} = z;,left| {bar z} right| = left| z right|$
* Chú ý: $(overline {{z^n}} ) = {(overline z )^n};overline i = – i; – overline i = i$

  • z là số thực $leftrightarrow overline z = z$
  • z là số ảo $leftrightarrow overline z = – z$

* Môđun số phức z = a + b.i (a; b $ in $ R) $left| z right| = left| {OM} right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} = sqrt {z.overline z } $

Chú ý: $left| z right| = left| {overline z } right|;,forall z in C$
Hai điểm biểu diễn z và $bar z$ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.

6. Cộng, trừ số phức:

  • Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
  • Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)
  • Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

7. Phép nhân số phức:

  • Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’.i. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay $i^2$ = –1 và rút gọn, ta được:
  • k.z = k(a + bi) = ka + kb.i . Đặc biệt 0.z = 0 $forall z in C$
  • $overline z $ = (a + bi)(a – bi) hay $z.bar z = {a^2} + {b^2} = {left| z right|^2}$

VD: Phân tích ${z^2}$+ 4 thành nhân tử. ${z^2}$ + 4 = ${z^2}$ – ${(2i)^2}$ = (z – 2i)(z + 2i).

  • Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.

8. Phép chia số phức:

  • Số nghịch đảo của số phức z = a + bi ≠ 0 là ${z^{ – 1}} = frac{1}{z} = frac{{bar z}}{{{{left| z right|}^2}}}$ hay $frac{1}{{a + bi}} = frac{{a – bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
  • Cho hai số phức z = a + bi ≠ 0 và z’ = a’ + b’i thì $frac{{z’}}{z} = frac{{z’.overline z }}{{{{left| z right|}^2}}}$ hay $frac{{a’ + b’i}}{{a + bi}} = frac{{(a’ + b’i)(a – bi)}}{{{a^2} + {b^2}}}$

VD: Tìm z thoả (1 + 2i)z = 3z – i.
Ta có (3 – 1 – 2i)z = i ↔ z = $frac{i}{{2 – 2i}}$ ↔ $z = frac{{i(2 + 2i)}}{{4 + 4}} Leftrightarrow z = frac{{ – 2 + 2i}}{8} Leftrightarrow z = – frac{1}{4} + frac{1}{4}i$

9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k $ in $ N
${i^{4k}} = 1;,,,{i^{4k + 1}} = i;,,,,{i^{4k + 2}} = – 1;,,,,{i^{4k + 3}} = – i$
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = ${(2 – 2i)^{13}}$
$z = {left[ {{{(2 – 2i)}^2}} right]^6}(2 – 2i) = {(8i)^6}(2 – 2i) = – {8^6}.2 + {8^6}.2i = – {2^{19}} + {2^{19}}i$
Phần thực a = $ – {2^{19}}$, phần ảo b = ${2^{19}}$

II. Bài tập rèn luyện
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (1 – 2x) – i$sqrt 3 $ = $sqrt 5 $ + (1 – 3y)i;
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

ĐS:
a) x = 1,5 ; y = 4/3
b) x = 0 ; y = 1
c) x = $frac{{1 – sqrt 5 }}{2}$; y = $frac{{1 + sqrt 3 }}{3}$

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].

Hướng dẫn

a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên.

3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| ≤ 1
c) 1 < |z| ≤ 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Hướng dẫn

a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} = 1$, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} le 1$, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa $1 < {a^2} + {b^2} le 2$, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
b) $frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}$

5) Giải phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;
b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c) $frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i$

Hướng dẫn

a) z = 1
b) z = $frac{8}{5} – frac{9}{5}i$
c) z = 15 – 5i.

6)
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Hướng dẫn
12-6-2014 1-39-12 PM.png

Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. $Fleft( {cos frac{pi }{6};sin frac{pi }{6}} right)$ nên F biểu diễn số $frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i$. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số $ – frac{{sqrt 3 }}{2} – frac{1}{2}i$. E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số $frac{{sqrt 3 }}{2} – frac{1}{2}i$. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số $ – frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i$
7)
Cho $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$. Hãy tính: $frac{1}{z};,,bar z;,,{z^2};,{(bar z)^3};,1 + z + {z^2}$.

Hướng dẫn

Ta có $left| z right| = 1$ nên
$frac{1}{z} = – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i = bar z$;
${z^2} = – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i$;
${bar z^3} = bar z.{bar z^2} = 1$;
$1 + z + {z^2} = 0$

8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng $frac{1}{2}left( {z + bar z} right)$, phần ảo của số phức z bằng $frac{1}{{2i}}left( {z – bar z} right)$
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi $z = – bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi $z = bar z$.
d) Với mọi số phức z, z¢, ta có $overline {z + z’} = overline z + overline {z’} ,,,,,overline {zz’} = overline z .overline {z’} $ và nếu z ¹ 0 thì $frac{{overline {z’} }}{{bar z}} = overline {left( {frac{{z’}}{z}} right)} $

Hướng dẫn

$z = a + bi,,,bar z = a – bi$ (1)
a) Lấy vế cộng vế → Phần thực của số phức z bằng $frac{1}{2}left( {z + bar z} right)$. Lấy vế trừ vế → phần ảo của số phức z bằng $frac{1}{{2i}}left( {z – bar z} right)$.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ↔ $z + bar z = 0 Leftrightarrow z = – bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ↔ $z – bar z = 0 Leftrightarrow z = bar z$.
d) $z = a + bi;,,,,,z’ = a’ + b’i;,,,,,,,z,bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực
$overline {z + z’} = overline {(a + a’) + (b + b’)i} = (a + a’) – (b + b’)i = (a – bi) + (a’ – b’i) = overline z + overline {z’} $
$overline {zz’} = overline {(aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i} = (aa’ – bb’) – (ab’ + a’b)i = (a – bi)(a’ – b’i) = overline z .overline {z’} $
$overline {left( {frac{{z’}}{z}} right)} = overline {left( {frac{{z’.bar z}}{{z.bar z}}} right)} = frac{{overline {z’} .overline {bar z} }}{{z.bar z}} = frac{{overline {z’} .z}}{{z.bar z}} = frac{{overline {z’} }}{{bar z}}$

9)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có ${i^{4m}} = 1;,,{i^{4m + 1}} = i;,,,{i^{4m + 2}} = – 1;,,,{i^{4m + 3}} = – i$

Hướng dẫn

Ta có ${i^4} = {i^2}.{i^2} = 1$
$begin{array}{l}
{left( {{i^4}} right)^m} = {1^m} leftrightarrow {i^{4m}} = 1 leftrightarrow {i^{4m}}.i = 1.i\
leftrightarrow {i^{4m + 1}} = i leftrightarrow {i^{4m + 1}}.i = i.i\
leftrightarrow {i^{4m + 2}} = – 1 leftrightarrow {i^{4m + 2}}.i = – 1.i\
leftrightarrow {i^{4m + 3}} = – i
end{array}$

10)
Chứng minh rằng:
a) Nếu $overrightarrow u $ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì $|overrightarrow u |, = ,|z|$ và từ đó nếu hai điểm ${A_1},,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},,{z_2}$ thì $left| {overrightarrow {{A_1}{A_2}} } right| = left| {{z_2} – {z_1}} right|$.
b) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z’| = |z|.|z’| và khi z ≠ 0 thì $left| {frac{{z’}}{z}} right| = frac{{left| {z’} right|}}{{left| z right|}}$
c) Với mọi số phức z, z’, ta có $left| {z + z’} right| le left| z right| + left| {z’} right|$

Hướng dẫn

a) z = a + bi thì $left| z right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} $, $overrightarrow u $ biểu diễn số phức z thì $overrightarrow u $= (a; b)→ $left| {overrightarrow u } right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} $ do đó $|overrightarrow u |, = ,|z|$
${A_1},,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},,{z_2}$ thì $overrightarrow {{A_1}{A_2}} = overrightarrow {O{A_2}} – overrightarrow {O{A_1}} = {z_2} – {z_1} Rightarrow left| {overrightarrow {{A_1}{A_2}} } right| = left| {{z_2} – {z_1}} right|$

b) z = a + bi, z’ = a’ + b’i, z.z’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i, $left| z right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} ,,,left| {z’} right| = sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} $
Ta có ${left| z right|^2}.{left| {z’} right|^2} = left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {a{‘^2} + b{‘^2}} right)$
Ta có
${left| {z.z’} right|^2} = {left( {aa’ – bb’} right)^2} + {left( {ab’ + a’b} right)^2} = {left( {aa’} right)^2} + {left( {bb’} right)^2} + {left( {ab’} right)^2} + {left( {a’b} right)^2} = left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {a{‘^2} + b{‘^2}} right)$
Vậy |z.z’| = |z|.|z’|
Khi z ≠ 0 ta có $left| {frac{{z’}}{z}} right| = left| {frac{{z’.bar z}}{{z.bar z}}} right| = frac{{left| {z’} right|.left| {bar z} right|}}{{{{left| z right|}^2}}} = frac{{left| {z’} right|.left| z right|}}{{{{left| z right|}^2}}} = frac{{left| {z’} right|}}{{left| z right|}}$

c) $overrightarrow u $ biểu diễn z, $overrightarrow u’ $ biểu diễn z¢ thì $overrightarrow u + overrightarrow {u’} $ biểu diễn z + z¢ và $left| {z + z’} right| = left| {overrightarrow u + overrightarrow {u’} } right|$
Khi $overrightarrow u ,overrightarrow {u’} ne overrightarrow 0 $, ta có ${left| {overrightarrow u + overrightarrow {u’} } right|^2} = {overrightarrow u ^2} + {overrightarrow {u’} ^2} + 2left| {overrightarrow u } right|left| {overrightarrow {u’} } right|cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right) le {left| {overrightarrow u } right|^2} + {left| {overrightarrow {u’} } right|^2} + 2left| {overrightarrow u } right|left| {overrightarrow {u’} } right| = {left( {left| {overrightarrow u } right| + left| {overrightarrow {u’} } right|} right)^2}$
→ $left| {overrightarrow u + overrightarrow {u’} } right| le left| {overrightarrow u } right| + left| {overrightarrow {u’} } right|$ do đó $left| {z + z’} right| le left| z right| + left| {z’} right|$

12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.

13)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có $1 + z + {z^2} + … + {z^9} = frac{{{z^{10}} – 1}}{{z – 1}}$

Hướng dẫn

Với z ¹ 1, $left( {1 + z + {z^2} + … + {z^9}} right)left( {z – 1} right) = z + {z^2} + … + {z^9} + {z^{10}} – left( {1 + z + {z^2} + … + {z^9}} right) = {z^{10}} – 1$
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)

14)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a) ${z^2} + {(bar z)^2}$
b) $frac{{z – bar z}}{{{z^3} + {{(bar z)}^3}}}$
c) $frac{{{z^2} – {{(bar z)}^2}}}{{1 + zbar z}}$

Hướng dẫn

Ta có $z = a + bi,,,bar z = a – bi$, $,{z^2} = ({a^2} – {b^2}) + 2abi,,,,,{bar z^2} = ({a^2} – {b^2}) – 2abi,,$
Và $,{z^3} = ({a^3} – 3a{b^2}) + (3{a^2}b – {b^3})i,,,{bar z^3} = ({a^3} – 3a{b^2}) – (3{a^2}b – {b^3})i$
Vậy${z^2} + {(bar z)^2} = 2({a^2} – {b^2})$ là số thực; $frac{{z – bar z}}{{{z^3} + {{(bar z)}^3}}} = frac{b}{{{a^3} – 3a{b^2}}}i$ là số ảo; $frac{{{z^2} – {{(bar z)}^2}}}{{1 + z.bar z}} = frac{{4ab}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}i$ là số ảo.

15)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
a) ${z^2}$ là số thực âm;
b) ${z^2}$ là số ảo ;
c) ${z^2} = {(bar z)^2}$ d
) $frac{1}{{z – i}}$ là số ảo.

Hướng dẫn

M(x; y) biểu diễn z thì $z = x + yi Rightarrow {z^2} = {x^2} – {y^2} + 2xyi;,,{bar z^2} = {x^2} – {y^2} – 2xyi$
a) ${z^2}$ là số thực âm khi xy = 0 và ${x^2} – {y^2} < 0$ ↔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O

b) ${z^2}$ là số ảo khi ${x^2} – {y^2} = 0$↔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.

c) ${z^2} = {(bar z)^2}$ khi xy = 0 ↔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.

d) $frac{1}{{z – i}} = frac{1}{{x + (y – 1)i}} = frac{{x – (y – 1)i}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$ là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;1)

16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a) iz + 2 – i = 0
b) $left( {2 – i} right)bar z – 4 = 0$
c) ${z^2} + 4 = 0$
d) (2 + 3i)z = z – 1
e) $left( {iz – 1} right)left( {z + 3i} right)left( {bar z – 2 + 3i} right) = 0$


Hướng dẫn

a) z = 1 + 2i
b) $z = – frac{1}{{10}} + frac{3}{{10}}i$
c) $z = frac{8}{5} – frac{4}{5}i$
d) – i – 3i; 2 + 3i
e) z = ± 2i

17)
a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức $frac{{z + i}}{{z – i}}$
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện $frac{{z + i}}{{z – i}}$ là số thực dương.

Hướng dẫn

a) Phần thực là $frac{{{x^2} + {y^2} – 1}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$, phần ảo $frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$
b) Là số thực dương khi x = 0 và ${x^2} + {y^2} – 1 > 0$ Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i, – i.

18)
a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},,{z_2},,{z_3}$. Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},,{z_2},,{z_3}$ thỏa $left| {{z_1}} right| = ,left| {{z_2}} right| = left| {,{z_3}} right|$. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ${z_1} + ,{z_2} + ,{z_3} = 0$

Hướng dẫn

a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có $overrightarrow {OG} = frac{1}{3}left( {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} } right) = frac{1}{3}left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} right)$ vậy G biểu diễn số phức $z = frac{1}{3}left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} right)$
b) Vì $left| {overrightarrow {OA} } right| = left| {overrightarrow {OB} } right| = left| {overrightarrow {OC} } right|$ nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay ${z_1} + ,{z_2} + ,{z_3} = 0$.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button