Kiến thức

Bài toán 5: Dạng vô định các hàm lượng giác.

Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
+ $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin x}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{x}{{sin x}}$ $ = 1$, từ đó suy ra $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{tan x}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{x}{{tan x}}$ $ = 1.$
+ Nếu $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} u(x) = 0$ $ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{tan u(x)}}{{u(x)}} = 1.$

Ví dụ 13. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = $ $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {cos x} – sqrt[3]{{cos x}}}}{{{{sin }^2}x}}.$
2. $B = $ $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {1 + 2x} – sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{1 – sqrt {cos 2x} }}.$

1. Ta có: $A = $ $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {cos x} – 1}}{{{x^2}}}frac{{{x^2}}}{{{{sin }^2}x}}$ $ + mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – sqrt[3]{{cos x}}}}{{{x^2}}}.frac{{{x^2}}}{{{{sin }^2}x}}.$
Mà:
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {cos x} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{cos x – 1}}{{{x^2}}}.frac{1}{{sqrt {cos x} + 1}}$ $ = – frac{1}{4}.$
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – sqrt[3]{{cos x}}}}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – cos x}}{{{x^2}}}$$.frac{1}{{sqrt[3]{{{{cos }^2}x}} + sqrt[3]{{cos x}} + 1}}$ $ = frac{1}{6}.$
Do đó: $A = – frac{1}{4} + frac{1}{6} = – frac{1}{{12}}.$
2. Ta có: $B = $ $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{sqrt {1 + 2x} – sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}}}{{frac{{1 – sqrt {cos 2x} }}{{{x^2}}}}}.$
Mà:
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {1 + 2x} – sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {1 + 2x} – (1 + x)}}{{{x^2}}}$ $ + mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{(x + 1) – sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ – 1}}{{sqrt {1 + 2x} + x + 1}}$ $ + mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2} + (x + 1)sqrt[3]{{1 + 3x}} + sqrt[3]{{{{left( {1 + 3x} right)}^2}}}}}$ $ = – frac{1}{2} + 1 = frac{1}{2}.$
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – sqrt {cos 2x} }}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – cos 2x}}{{{x^2}}}$$.frac{1}{{1 + sqrt {cos 2x} }}$ $ = 1.$
Vậy $B = frac{1}{2}.$

Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3}sin frac{1}{{{x^2}}}.$
2. $B = $ $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2sin x + {{cos }^3}x} right)left( {sqrt {x + 1} – sqrt x } right).$

1. Ta có: $0 le left| {{x^3}sin frac{1}{{{x^2}}}} right| le {x^3}.$
Mà $mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3} = 0$ $ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} left| {{x^3}sin frac{1}{{{x^2}}}} right| = 0$ $ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3}sin frac{1}{{{x^2}}} = 0.$
Vậy $A = 0.$
2. Ta có: $B = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2sin x + {{cos }^3}x}}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }}.$
Mà $0 le left| {frac{{2sin x + {{cos }^2}x}}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }}} right|$ $ le frac{3}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }} to 0$ khi $x to + infty .$
Do đó: $B = 0.$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive