Kiến thức

Toán 12-bài toán tiếp tuyến-sự tiếp xúc của 2 đường cong

I. tiếp tuyến của một đường cong (C) tại 1 điểm thuộc (C)
– cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có đồ thị là đường cong (C). điểm [tex]M(x_0;y_0)[/tex] thuộc đồ thị (C). khi đó, tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là:
[tex]y=f'(x_0).(x-x_0)+y_0[/tex]
– với [tex]k=f'(x_0)[/tex] là hệ số góc của tiếp tuyến. từ đó, nhiều bài toán liên quan đến hệ số góc k.
– nếu A, B thuộc đồ thị (C). khi đó: [tex]K_A=f'(x_A);k_B=f'(x_B)[/tex]
+ nếu [tex]k_A=k_B[/tex] thì tiếp tuyến tại A và B song song hoặc trùng nhau.
+ nếu [tex]k_A.k_B=-1[/tex] thì 2 tiếp tuyến tại A và B vuông góc.
+ góc giữa 2 đường thẳng: [tex]tanalpha =left | frac{k_A-k_B}{1+k_A.k_B} right |[/tex]
[​IMG]
chú ý: tiếp tuyến tại 1 điểm có thể cắt đồ thị hàm số
[​IMG]
– ví dụ 1: hàm số [tex]y=frac{1}{3}x^3-frac{1}{2}x^2+x+1[/tex] có đồ thị (C). tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
– ta có hệ số góc của tiếp tuyến của (C): [tex]k=y’=x^2-x+1=(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4}geq frac{3}{4}[/tex]
vậy, hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là [tex]k=frac{3}{4}[/tex] tại [tex]M(frac{1}{2};frac{17}{12})[/tex].
vậy, tiếp tuyến có phương trình: [tex]y=frac{3}{4}(x-frac{1}{2})+frac{17}{12}[/tex]
II. tiếp tuyến đi qua 1 điểm nằm ngoài đồ thị – sự tiếp xúc của 2 đường cong
– hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có đồ thị là (C). điểm [tex]A(x_0;y_0)[/tex] là điểm nằm ngoài đồ thị hàm số. viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
+ giả sử tiếp tuyến có hệ số góc là k, khi đó ta có phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A: [tex]y=k(x-x_0)+y_0[/tex]
+ để đường thẳng trên là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm:
[tex]left{begin{matrix} f(x)=y\ f'(x)=y’ end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} f(x)=k(x-x_0)+y_0\ f'(x)=k end{matrix}right.[/tex]
– mở rộng ra cho 2 đường cong: 2 đường cong tiếp xúc với nhau tại 1 điểm nếu 2 đường cong có chung 1 tiếp tuyến tại điểm đó.
– điều kiện để 2 đường cong tiếp xúc nhau: hàm số f(x) có đồ thị [tex](C_1)[/tex], hàm số g(x) có đồ thị [tex](C_2)[/tex]. hai đồ thị tiến xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:
[tex]left{begin{matrix} f(x)=g(x)\ f'(x)=g'(x) end{matrix}right.[/tex]
– ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=frac{-x+2}{x-1}[/tex] có đồ thị (C) và điểm A(a;1). tìm a để có đúng 1 tiếp tuyến của (C) đi qua A. ( đề minh họa toán THPTQG 2018)
+ gọi đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị (C) có phương trình là [tex]y=k(x-a)+1[/tex]. điều kiện tiếp xúc: [tex]left{begin{matrix} frac{-x+2}{x-1}=k(x-a)+1\ frac{-1}{(x-1)^2}=k end{matrix}right. =>frac{-x+2}{x-1}=-frac{x-a}{(x-1)^2}+1<=>2x^2-6x+3+a=0[/tex]
để chỉ có 1 tiếp tuyến qua A thì pt trên chỉ có 1 nghiệm kép:
=> [tex]Delta =0<=>6^2-4.2.3.a=0<=>a=frac{3}{2}[/tex]
hoặc có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm bằng 1:
[tex]left{begin{matrix} 6^2-4.2.3.a>0\ 2-6+3+a= 0 end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} a< frac{3}{2}\ a=1 end{matrix}right.<=>a=1[/tex]
vậy có 2 giá trị là [tex]a=frac{3}{2};a=1[/tex]

@YuuDuong

@thomnguyen1961

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button