Kiến thức

Toán 12-Biện luận tham số m(nằm trong biểu thức loga) của pt logarit

Sau đây là cách làm chung cho dạng bài này

Cho phương trình: [tex]log_2(x-1)=log_2(x^2-2mx+m)[/tex] . Tìm tập giá trị của m để pt có 2 nghiệm phân biệt

Để giải pt logarit thì phải đặt điều kiện cho biểu thức của logarit có nghĩa.
Với pt kiểu này ta chỉ cần đặt điều kiện cho 1 biểu thức loga. Và chọn biểu thức đơn giản hơn để đặt.

ĐK:x>1.
PT<=>[TEX]x-1=x^2-2mx+m[/TEX](1)

Tại sao không cần đặt điều kiện cho biểu thức còn lại. Đơn giản là vì nếu (1) có nghiệm, thì nghiệm đó chắc chắn thỏa mãn VP=VT. MÀ VT luôn lớn hơn 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ đã đặt ra. Vậy VP cũng sẽ luôn lớn hơn 0.

PT<=>[TEX]x^2-(2m+1)x+m+1=0[/TEX](2)

Để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt, thì pt (2) phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Như vậy, ta có các biểu thức điều kiện sau:
[tex]left{begin{matrix} Delta >0\ (x_1-1)+(x_2-1)>0\ (x_1-1)(x_2-1)>0 end{matrix}right.[/tex]

Hệ thức thứ 2 và thứ 3, chúng ta áp dụng Vi-ét để giải và kết hợp tập nghiệm. Đây là bài toán cơ bản

Có thể người ta sẽ cho tham số m phức tạp hơn, nhưng nhìn chung cái giải là như vậy. Cũng có thể có biến thể như sau:

Tìm m để pt : [tex]log_2frac{x+2}{x^2-mx+3m}=0[/tex] có 2 nghiệm phân biệt

Thì ở dạng này sẽ có chút đánh lừa hơn dạng trên, bởi nếu ta giải:
PT<=>[TEX]log_2(x+2)-log_2(x^2-mx+3m)=0<=>log_2(x+2)=log_2(x^2-mx+3m)[/TEX]

Rồi sau đó ta đặt [TEX]x>-2[/TEX] rồi giải tương tự bài trên. Thì sẽ gây thiếu trường hợp. Bởi vì khi biến đổi :
[tex]logfrac{a}{b}=loga-logb[/tex] thì ĐKXĐ đã bị thay đổi, từ việc a,b chỉ cần cùng dấu, sang thành: a,b phải cùng dương.

Vậy giải đúng:
ĐK: [TEX]x neq -2[/TEX]
PT<=>[tex]frac{x+2}{x^2-mx+3m}=1<=>x^2-(m+1)x+3m-2=0(3)[/tex]

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Vậy chỉ đơn giản: [tex]Delta > 0[/tex]

Và x=-2 không là nghiệm nên : [tex](-2)^2-(m+1).(-2)+3m neq 0<=>mneq frac{-6}{5}[/tex]

Với bài toán bất phương trình, thì cách làm gần tương tự.

Tim m để bpt : [tex]log(x^2+mx+3)geq log(x-5)[/tex] nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

Ta có:
[TEX]x^2+mx+3 geq x-5 >0[/TEX]

<=>x>5 và [tex]x^2+(m-1)x+8geq 0[/tex]

<=> [tex]mgeq frac{-8-x^2}{x}+1[/tex]

Khảo sát hàm [TEX]f(x)=frac{-8-x^2}{x}+1[/TEX] trên đoạn (5;+oo)

Ta có [TEX]max[/TEX] [TEX]f(x)=[/TEX] [tex]frac{-28}{5}[/tex] tại x=5

Vậy điều kiện của m là: [tex]mgeq frac{-28}{5}[/tex]

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button