Kiến thức

Toán 12-Biện luận tham số m(nằm trong biểu thức loga) của pt logarit

Sau đây là cách làm chung cho dạng bài này

Cho phương trình: [tex]log_2(x-1)=log_2(x^2-2mx+m)[/tex] . Tìm tập giá trị của m để pt có 2 nghiệm phân biệt

Để giải pt logarit thì phải đặt điều kiện cho biểu thức của logarit có nghĩa.
Với pt kiểu này ta chỉ cần đặt điều kiện cho 1 biểu thức loga. Và chọn biểu thức đơn giản hơn để đặt.

ĐK:x>1.
PT<=>[TEX]x-1=x^2-2mx+m[/TEX](1)

Tại sao không cần đặt điều kiện cho biểu thức còn lại. Đơn giản là vì nếu (1) có nghiệm, thì nghiệm đó chắc chắn thỏa mãn VP=VT. MÀ VT luôn lớn hơn 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ đã đặt ra. Vậy VP cũng sẽ luôn lớn hơn 0.

PT<=>[TEX]x^2-(2m+1)x+m+1=0[/TEX](2)

Để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt, thì pt (2) phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Như vậy, ta có các biểu thức điều kiện sau:
[tex]left{begin{matrix} Delta >0\ (x_1-1)+(x_2-1)>0\ (x_1-1)(x_2-1)>0 end{matrix}right.[/tex]

Hệ thức thứ 2 và thứ 3, chúng ta áp dụng Vi-ét để giải và kết hợp tập nghiệm. Đây là bài toán cơ bản

Có thể người ta sẽ cho tham số m phức tạp hơn, nhưng nhìn chung cái giải là như vậy. Cũng có thể có biến thể như sau:

Tìm m để pt : [tex]log_2frac{x+2}{x^2-mx+3m}=0[/tex] có 2 nghiệm phân biệt

Thì ở dạng này sẽ có chút đánh lừa hơn dạng trên, bởi nếu ta giải:
PT<=>[TEX]log_2(x+2)-log_2(x^2-mx+3m)=0<=>log_2(x+2)=log_2(x^2-mx+3m)[/TEX]

Rồi sau đó ta đặt [TEX]x>-2[/TEX] rồi giải tương tự bài trên. Thì sẽ gây thiếu trường hợp. Bởi vì khi biến đổi :
[tex]logfrac{a}{b}=loga-logb[/tex] thì ĐKXĐ đã bị thay đổi, từ việc a,b chỉ cần cùng dấu, sang thành: a,b phải cùng dương.

Vậy giải đúng:
ĐK: [TEX]x neq -2[/TEX]
PT<=>[tex]frac{x+2}{x^2-mx+3m}=1<=>x^2-(m+1)x+3m-2=0(3)[/tex]

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Vậy chỉ đơn giản: [tex]Delta > 0[/tex]

Và x=-2 không là nghiệm nên : [tex](-2)^2-(m+1).(-2)+3m neq 0<=>mneq frac{-6}{5}[/tex]

Với bài toán bất phương trình, thì cách làm gần tương tự.

Tim m để bpt : [tex]log(x^2+mx+3)geq log(x-5)[/tex] nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

Ta có:
[TEX]x^2+mx+3 geq x-5 >0[/TEX]

<=>x>5 và [tex]x^2+(m-1)x+8geq 0[/tex]

<=> [tex]mgeq frac{-8-x^2}{x}+1[/tex]

Khảo sát hàm [TEX]f(x)=frac{-8-x^2}{x}+1[/TEX] trên đoạn (5;+oo)

Ta có [TEX]max[/TEX] [TEX]f(x)=[/TEX] [tex]frac{-28}{5}[/tex] tại x=5

Vậy điều kiện của m là: [tex]mgeq frac{-28}{5}[/tex]

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive