Kiến thức

Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ

Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $3sin x + 4cos x$ $ + frac{6}{{3sin x + 4cos x + 1}} = 6.$
b. $sin x + sqrt 3 cos x$ $ + sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} = 2.$
c. ${cos ^2}x + frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ = cos x + frac{1}{{cos x}}.$
d. $2{cos ^2}2x + cos 2x$ $ = 4{sin ^2}2x{cos ^2}x.$
e. $1 + 3tan x = 2sin 2x.$

a. Nhận xét: Nhận thấy biểu thức $3sin x+4cos x$ xuất hiện $2$ lần, ta đặt $t=3sin x+4cos x+1$ vừa giúp chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn $t$, vừa làm gọn mẫu số.
Điều kiện: $3sin x+4cos x+1ne 0.$
Đặt $t=3sin x+4cos x+1$ $left( tne 0 right).$
$PT Leftrightarrow t – 1 + frac{6}{t} = 6$ $ Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = 6
end{array} right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $3sin x + 4cos x = 0$ $ Leftrightarrow frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 0.$
Gọi $alpha $ là giá trị thỏa mãn: $left{ begin{array}{l}
cos alpha = frac{3}{5}\
sin alpha = frac{4}{5}
end{array} right.$
$frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 0$ $ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 0$
$ Leftrightarrow sin left( {x + alpha } right) = 0$ $ Leftrightarrow x = – alpha + kpi $ $left( {k in Z} right).$
+ Với $t = 6$, ta có: $3sin x + 4cos x = 5$ $ Leftrightarrow frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 1$
$ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x + alpha } right) = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} – alpha + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = – alpha + kpi \
x = frac{pi }{2} – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
b. Điều kiện: $sin x + sqrt 3 cos x ge 0.$
Đặt $t = sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} $ $left( {t ge 0} right).$
$PT Leftrightarrow {t^2} + t = 2$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = – 2 left( {loại} right)
end{array} right.$
Với $t = 1$, ta có: $sin x + sqrt 3 cos x = 1$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x = frac{1}{2}$
$ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
c. Điều kiện: $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Đặt $t = cos x + frac{1}{{cos x}}$ $ Rightarrow {t^2} = {cos ^2}x + frac{1}{{{{cos }^2}x}} + 2.$
$PT Leftrightarrow {t^2} – 2 = t$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1\
t = 2
end{array} right.$
+ Với $t = – 1$, ta có: $cos x + frac{1}{{cos x}} = – 1$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x + cos x + 1 = 0$ $(PTVN).$
+ Với $t = 2$, ta có: $cos x + frac{1}{{cos x}} = 2$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x – 2cos x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos x = 1$ $ Leftrightarrow x = k2pi $ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $ Leftrightarrow x = k2pi $ $left( {k in Z} right).$
d. $PT Leftrightarrow 2{cos ^2}2x + cos 2x$ $ = 2left( {1 – {{cos }^2}2x} right)left( {1 + cos 2x} right).$
Đặt $t = cos 2x$, $left| t right| le 1.$
$PT Leftrightarrow 2{t^2} + t$ $ = 2left( {1 – {t^2}} right)left( {1 + t} right)$ $ Leftrightarrow 2{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 2 left( {loại} right)\
t = frac{{sqrt 2 }}{2}\
t = frac{{ – sqrt 2 }}{2}
end{array} right.$
Thay $t = cos 2x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{8} + kpi \
x = frac{{ – pi }}{8} + kpi \
x = frac{{3pi }}{8} + kpi \
x = frac{{ – 3pi }}{8} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
e. Điều kiện: $cos x ne 0.$
Đặt $t = tan x$ $ Rightarrow sin 2x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.$
$PT Leftrightarrow 1 + 3t = frac{{4t}}{{1 + {t^2}}}$ $ Leftrightarrow left( {1 + 3t} right)left( {1 + {t^2}} right) = 4t$
$ Leftrightarrow 3{t^3} + {t^2} – t + 1 = 0$ $ Leftrightarrow t = – 1.$
Thay $t = tan x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = frac{{ – pi }}{4} + kpi $ $left( {k in Z} right).$

Lưu ý: Một số phương trình lượng giác được giải bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, tức là sau khi đặt ẩn phụ, ẩn cũ và ẩn mới cùng tồn tại trong phương trình (biểu thức chứa ẩn cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình). Ta xét một số ví dụ sau đây:

Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác sau: $(sin x + 3){sin ^4}frac{x}{2}$ $ – (sin x + 3){sin ^2}frac{x}{2} + 1 = 0.$

Đặt ${sin ^2}frac{x}{2} = t$ $(0 le t le 1)$, phương trình đã cho trở thành: $left( {sin x + 3} right){t^2}$ $ – (sin x + 3)t + 1 = 0$ $(*).$
Do $sin x + 3 > 0$ với mọi $x∈R$ nên ta xem phương trình $(*)$ là phương trình bậc hai ẩn $t.$
Ta có: $Delta = {(sin + 3)^2} – 4(sin x + 3)$ $ = (sin x – 1)(sin x + 3).$
Vì $left{ begin{array}{l}
sin x – 1 le 0\
sin x + 3 > 0
end{array} right.$ nên $Δ≤0, ∀x∈R.$
Do đó phương trình $left( * right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = 0\
t = – frac{b}{{2a}}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
{sin ^2}frac{x}{2} = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
frac{{1 – cos 2x}}{2} = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
cos x = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi $ $(k∈Z).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = frac{pi }{2} + k2pi $ $(k∈Z).$

Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác sau: $frac{9}{{{{81}^{{{sin }^2}x}}}}$ $ + 2(cos 2x – 2)frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$ $ + 4{cos ^2}x – 3 = 0.$

Đặt $t = frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$, $left( {t > 0} right).$
Ta có: $t = frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$ $ = {3^{1 – 2{{sin }^2}x}} = {3^{cos 2x}}.$
Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + 2(cos 2x – 2)t$ $ + 4{cos ^2}x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} + 2(cos 2x – 2)t$ $ + 2cos 2x – 5 = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1left( {loại} right)\
t = 5 – 2cos 2x
end{array} right.$
Với $t = 5 – 2cos 2x$, ta có: ${3^{cos 2x}} = 5 – 2cos 2x$ $ Leftrightarrow {3^{cos 2x}} + 2cos 2x = 5$ $(*).$
Đặt $y = cos 2x$, $left| y right| le 1$ thì phương trình $(*)$ trở thành: ${3^y} + 2y = 5.$
Vì hàm số $f(y) = {3^y} + 2y$ luôn đồng biến trên $R$ nên phương trình $f(y)=5$ có nghiệm duy nhất. Mặc khác $f(1) = 5$, suy ra $y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(y)=5.$
Với $y=1$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = kpi $ $(k∈Z).$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive