Kiến thức

Chứng minh phương trình có nghiệm dựa vào tính liên tục của hàm số

Phương pháp:
Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng $fleft( x right) = 0.$
+ Bước 2: Tìm hai số $a$ và $b$ $(a<b)$ sao cho $fleft( a right).fleft( b right) < 0.$
+ Bước 3: Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right].$
Từ đó suy ra phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a;b} right).$
Chú ý:
+ Nếu $fleft( a right).fleft( b right) le 0$ thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $left[ {a;b} right].$
+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left[ {a; + infty } right)$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a; + infty } right).$
+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left( { – infty ;a} right]$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( { – infty ;a} right).$

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $4{x^3} – 8{x^2} + 1 = 0$ có nghiệm trong khoảng $left( { – 1;2} right).$

Hàm số $fleft( x right) = 4{x^3} – 8{x^2} + 1$ liên tục trên $R.$
Ta có: $fleft( { – 1} right) = – 11$, $fleft( 2 right) = 1$ nên $fleft( { – 1} right).fleft( 2 right) < 0.$
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;2} right).$

Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $4{x^4} + 2{x^2} – x – 3 = 0$ có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Đặt $fleft( x right) = 4{x^4} + 2{x^2} – x – 3$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$
Ta có:
$fleft( { – 1} right) = 4 + 2 + 1 – 3 = 4.$
$fleft( 0 right) = – 3.$
$fleft( 1 right) = 2.$
Vì $fleft( { – 1} right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;0} right).$
Vì $fleft( 1 right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {0;1} right).$
Mà hai khoảng $left( { – 1;0} right)$, $left( {0;1} right)$ không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Ví dụ 3: Chứng minh phương trình ${x^5} – 5{x^3} + 4x – 1 = 0$ có đúng năm nghiệm.

Đặt $fleft( x right) = {x^5} – 5{x^3} + 4x – 1$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$
Ta có $fleft( x right) = xleft( {{x^4} – 5{x^2} + 4} right) – 1$ $ = left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)xleft( {x + 1} right)left( {x + 2} right) – 1.$
$fleft( { – 2} right) = – 1.$
$fleft( { – frac{3}{2}} right) = frac{{105}}{{32}} – 1 > 0.$
$fleft( { – 1} right) = – 1 < 0.$
$fleft( {frac{1}{2}} right) = frac{{45}}{{32}} – 1 > 0.$
$fleft( 1 right) = – 1 < 0.$
$fleft( 3 right) = 120 – 1 = 119 > 0.$
Vì $fleft( { – 2} right).fleft( { – frac{3}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right).$
Vì $fleft( { – frac{3}{2}} right).fleft( { – 1} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – frac{3}{2}; – 1} right).$
Vì $fleft( { – 1} right).fleft( {frac{1}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;frac{1}{2}} right).$
Vì $fleft( {frac{1}{2}} right).fleft( 1 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {frac{1}{2};1} right).$
Vì $fleft( 1 right).fleft( 3 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {1;3} right).$
Do các khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right)$, $left( { – frac{3}{2}; – 1} right)$, $left( { – 1;frac{1}{2}} right)$, $left( {frac{1}{2};1} right)$, $left( {1;3} right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất $5$ nghiệm.
Mà phương trình bậc $5$ có không quá $5$ nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng $5$ nghiệm.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6c = 0$ thì phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

Đặt $t = tan x$, vì $x in left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$ nên $t in left( {0;1} right)$, phương trình đã cho trở thành: $a{t^2} + bt + c = 0$ $left( * right)$ với $t in left( {0;1} right).$
Đặt $fleft( t right) = a{t^2} + bt + c$ thì $fleft( t right)$ liên tục trên $R.$
Ta sẽ chứng minh phương trình $left( * right)$ luôn có nghiệm $t in left( {0;1} right).$
• Cách 1:
Ta có: $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right)$ $ = frac{c}{9}left( {4a + 6b + 9c} right)$ $ = frac{c}{9}left[ {2left( {2a + 3b + 6c} right) – 3c} right]$ $ = – frac{{{c^2}}}{3}.$
+ Nếu $c = 0$ thì $fleft( {frac{2}{3}} right) = 0$ do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t = frac{2}{3} in left( {0;1} right).$
+ Nếu $c ne 0$ thì $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right) < 0$ suy ra phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;frac{2}{3}pi } right)$, do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;1} right).$
Vậy phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$
• Cách 2:
Ta có: $fleft( 0 right) + 4fleft( {frac{1}{2}} right) + fleft( 1 right)$ $ = c + 4left( {frac{1}{4}a + frac{1}{2}b + c} right)$ $ + a + b + c$ $ = 2a + 3b + 6c = 0$ $left( { * * } right).$
+ Nếu $a = 0$, từ giả thiết suy ra $3b + 6c = 0$, do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t = frac{1}{2} in left( {0;1} right).$
+ Nếu $a ne 0$ thì $fleft( 0 right)$, $fleft( {frac{1}{2}} right)$, $fleft( 1 right)$ không thể đồng thời bằng $0$ (vì phương trình bậc hai không có quá hai nghiệm).
Khi đó, từ $left( { * * } right)$ suy ra trong ba số $fleft( 0 right)$, $fleft( {frac{1}{2}} right)$, $fleft( 1 right)$ phải có hai giá trị trái dấu nhau (Vì nếu cả ba giá trị đó cùng âm hoặc cùng dương thì tổng của chúng không thể bằng $0$).
Mà hai giá trị nào trong chúng trái dấu thì theo tính chất hàm liên tục ta đều suy ra phương trình $left( * right)$ có ít nhất một nghiệm $t in left( {0;1} right).$
Vậy phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} – frac{3}{2}{m^2}{x^2} + 32$ (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng với $m < – 2$ hoặc $m > 2$ thì phương trình $f(x)=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3}$ và thỏa điều kiện ${x_1} < 0 < {x_2} < {x_3}.$

Ta có: $f(0) = 32$, $fleft( {{m^2}} right) = frac{1}{2}left( {64 – {m^6}} right)$, khi $m < – 2$ hoặc $m > 2$ thì $frac{1}{2}left( {64 – {m^6}} right) < 0$ và ${m^2} > 0.$
Mà:
$mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {{x^3} – frac{3}{2}{m^2}{x^2} + 32} right) = – infty $ $ Rightarrow exists alpha < 0$ sao cho $fleft( alpha right) < 0.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {{x^3} – frac{3}{2}{m^2}{x^2} + 32} right) = + infty $ $ Rightarrow exists beta > {m^2}$ sao cho $fleft( beta right) > 0.$
Do đó ta có $left{ begin{array}{l}
fleft( alpha right).fleft( 0 right) < 0\
fleft( 0 right).fleft( {{m^2}} right) < 0\
fleft( {{m^2}} right).fleft( beta right) < 0
end{array} right. .$ Vì hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ nên liên tục trên các đoạn $left[ {alpha ;0} right]$, $left[ {0;{m^2}} right]$, $left[ {{m^2};beta } right]$ nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất ba nghiệm lần lượt thuộc các khoảng $left( {alpha ;0} right)$, $left( {0;{m^2}} right)$, $left( {{m^2};beta } right).$ Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên nhiều nhất chỉ có ba nghiệm.
Vậy với $m < – 2$ hoặc $m > 2$ thì phương trình $f(x)={x^3} – frac{3}{2}{m^2}{x^2} + 32=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3}$ thỏa mãn điều kiện ${x_1} < 0 < {x_2} < {x_3}.$

Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình $left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4 = 0$ với $n in {N^*}$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Đặt $fleft( x right) = left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4.$
Ta có:
$fleft( { – 2} right)$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){left( { – 2} right)^{2n}} – 2left( { – 2} right) – 4$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){2^{2n}} > 0$, $forall m in R.$
$fleft( 0 right) = – 4 < 0$, $forall m in R.$
Từ đó có: $fleft( { – 2} right).fleft( 0 right) < 0$, $forall m in R.$
Ngoài ra hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ nên hàm số liên tục trên đoạn $left[ { – 2;0} right].$
Vậy phương trình $f(x) = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số $m.$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button