Kiến thức

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Lý thuyết về

cấp số cộng

cấp số nhân

môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng.

cấp số cộng.png

Đề thi tham khảo nào của bộ cũng có vài câu về cấp số cộng và cấp số nhân đúng không? Chưa kể đề thi chính thức các năm trước đều có => muốn đạt điểm cao bắt buộc học bài này :)

Vậy giờ học như nào để đạt điểm tuyệt đối phần này? Làm như nào để giải nhanh mấy câu phần này? (tất nhiên là giải nhanh phải đúng chớ giải nhanh mà chệch đáp án thì tốt nhất nghỉ :D).

Ok, tôi đoán chắc rằng bạn không hiểu và thuộc những CHÍNH XÁC những kiến thức cơ bản => Hoang mang đúng rồi. Kế nữa bạn không biết những công thức cấp số cộng giải nhanh hay

công thức tính tổng cấp số nhân

giải nhanh => Hoang mang đúng rồi.
Hãy để tôi hệ thống giúp bạn:

  • Hãy xem lại lý thuyết như định nghĩa, tích chất
  • Hãy xem và NHỚ công thức giải nhanh dưới đây
  • Hãy xem thật CẨN THẬN các ví dụ kèm lời giải

Nào chúng ta bắt đầu:
Cấp số cộng
1. Định nghĩa
: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Công thức tính tổng cấp số cộng

: $forall n in N*,{U_{n + 1}} = {U_n} + d$

Giải thích:

  • Kí hiệu d được gọi là công sai
  • ${U_{n + 1}} – {U_n}$ = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn ${U_{n + 1}};{U_n}$ là hai số liên tiếp của dãy số CSC
  • Khi hiệu số ${U_{n + 1}} – {U_n}$ phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

+ Tính chất:

  • ${U_{n + 1}} – {U_n} = {U_{n + 2}} – {U_{n + 1}}$
  • ${U_{n + 1}} = frac{{{U_n} + {U_{n + 2}}}}{2}$
  • Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

+ Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1} + d(n – 1)$
+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu thì ta dùng công thức:

  • ${U_n} = frac{{({a_1} + {a_n})n}}{2}$
  • ${U_n} = frac{{2{a_1} + d(n – 1)}}{2}n$

Cấp số nhân
Định nghĩa
: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: ${U_{n + 1}} = {U_n}.q$

Trong đó

  • n ∈ N*
  • công bội là q
  • hai số liên tiếp trong công bội là ${U_n},{U_{n + 1}}$

Tính chất

  • $frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} = frac{{{U_{n + 2}}}}{{{U_{n + 1}}}}$
  • ${U_{n + 1}} = sqrt {{U_n}.{U_{n + 2}}} $ , U$_n$ > 0
  • Ta thấy: $left{ begin{array}{l} {U_{n + 1}} = {U_n}.q\ {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},,left( {n ge 2} right) end{array} right. Rightarrow u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}},,left( {n ge 2} right)$

+ Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1}.{q_{n – 1}}$

+ Tổng n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {U_1} + {U_2} + … + {U_n} = {U_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì ${S_n} = {U_1} + {U_2} + … + {U_n} = frac{{{U_1}}}{{1 – q}}$

Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác.

Bài tập vận dụng

Bài tập cấp số cộng minh họa

Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (u$_n$) với u$_1$ = 3, u$_2$ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải​

upload_2020-5-19_19-54-13.png

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – 3;,,{u_6} = 27$. Tìm d ?

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
$begin{array}{l} {u_6} = 27 Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\ Leftrightarrow – 3 + 5d = 27 Leftrightarrow d = 6 end{array}$

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Hướng dẫn giải​

Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
$begin{array}{l} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left( {a – 3x} right) + left( {a – x} right) + left( {a + x} right) + left( {a + 3x} right) = 20}\ {{{left( {a – 3x} right)}^2} + {{left( {a – x} right)}^2} + {{left( {a + x} right)}^2} + {{left( {a + 3x} right)}^2} = 120} end{array}} right.\ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {4a = 20}\ {4{a^2} + 20{x^2} = 120} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a = 5}\ {x = pm 1} end{array}} right. end{array}$
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số $left( {{u_n}} right)$ có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Hướng dẫn giải​

Ta có:
$begin{array}{l} left{ begin{array}{l} {S_n} = frac{{nleft( {{u_1} + {u_n}} right)}}{2}\ d = frac{{{u_n} – {u_1}}}{{n – 1}} end{array} right.\ Rightarrow left{ begin{array}{l} {u_1} + {u_8} = 2{S_8}:8\ {u_8} – {u_1} = 7d end{array} right.\ Rightarrow left{ begin{array}{l} {u_8} + {u_1} = 18\ {u_8} – {u_1} = – 14 end{array} right.\ Rightarrow {u_1} = 16. end{array}$

Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 – a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải​

Ba số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 – a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
$begin{array}{l} {a^2} + 5 – left( {1 + 3a} right) = 1 – a – left( {{a^2} + 5} right)\ Leftrightarrow {a^2} – 3a + 4 = – {a^2} – a – 4\ Leftrightarrow {a^2} – a + 4 = 0 end{array}$
PT vô nghiệm

Bài tập cấp số nhân (CSN)

Câu 1. Cho CSN $left( {{u_n}} right)$ với${u_1} = – 2;{text{ q = – 5}}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u$_n$ ?

Hướng dẫn giải​

Từ công thức cấp số nhân:
$begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = left( { – 2} right).left( { – 5} right) = 10;{rm{ }}\ {{rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.left( { – 5} right) = – 50;{rm{ }}\ {{rm{u}}_4} = {u_3}.q = – 50.left( { – 5} right) = 250 end{array}$.
Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = left( { – 2} right).{left( { – 5} right)^{n – 1}}$.

Câu 2. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$ với ${u_1} = – 1;{text{ }}q = frac{{ – 1}}{{10}}$. Số $frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $left( {{u_n}} right)$ ?

Hướng dẫn giải​

$begin{array}{l} {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}\ Rightarrow frac{1}{{{{10}^{103}}}} = – 1.{left( { – frac{1}{{10}}} right)^{n – 1}}\ Rightarrow n – 1 = 103 Rightarrow n = 104 end{array}$

Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
${u_n} = – frac{{{3^{n – 1}}}}{5}$

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
$frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3 Rightarrow ({u_n})$ là CSN với công bội q = 3

Câu 4: Cho cấp số nhân: $frac{{ – 1}}{5};{text{ }}a;{text{ }}frac{{ – {text{1}}}}{{{text{125}}}}$. Giá trị của a là:

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân: ${a^2} = left( { – frac{1}{5}} right).left( { – frac{1}{{125}}} right) = frac{1}{{625}} Leftrightarrow a = pm frac{1}{{25}}$

Câu 5. Hãy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (u$_n$) với ${u_n} = frac{1}{{{2^n}}}$

Hướng dẫn giải​

Ta có:

  • n = 1 => ${u_1} = frac{1}{{{2^1}}} = frac{1}{2}$
  • n = 2 =>${u_2} = frac{1}{{{2^2}}} = frac{1}{4}$

Như vậy, công sai là $q = frac{1}{2}$

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn nêu ở trên, ta có: $S = frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = frac{{frac{1}{2}}}{{1 – frac{1}{2}}} = 1$

Tải file bài tập

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button