Kiến thức

Toán-Công thức mũ và công thức logarit

Mũ, Lũy thừa và Lôgarit là một nội dung mới và lạ đối với hs. Nhớ các công thức logarit, công thức mũ hay công thức lũy thừa ở sách giáo khoa còn nhiều khó khăn đối với đa số học sinh mới tiếp cận nên bài này sẽ hệ thống đầy đủ và chi tiết:

I. Công thức mũ và lũy thừa

công thức mũ và lũy thừa.PNG
Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định
tính chất mũ và lũy thừa.PNG

II. Công thức logarit đầy đủ

Công thức Logarit là chủ đề quan trọng nên bạn cần phải nhớ kĩ và vận dụng thành thạo. Sau đây là toàn bộ chi tiết về công thức Logarit mà bạn cần biết để áp dụng và học tốt.

* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1. Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0.
1. ({log _a}1 = 0,,{log _a}a = 1)
2. ${log _a}{a^m} = m$
3. ${a^{{{log }_a}b}} = b$
4. ${log _a}(x.y) = {log _a}x + {log _a}y$
5. ${log _a}(frac{x}{y}) = {log _a}x – {log _a}y$, ${log _a}(frac{1}{y}) = – {log _a}y$
6. ${log _a}(frac{x}{y}) = – {log _a}(frac{y}{x})$
7. ${log _a}{x^alpha } = alpha {log _a}x$, ${log _a}{x^2} = 2{log _a}left| x right|$
8. ${log _{{a^alpha }}}x = frac{1}{alpha }{log _a}x$, ${log _{{a^beta }}}{x^alpha } = frac{alpha }{beta }{log _a}x$
9. $lg b = log b = {log _{10}}b$ ( logarit thập phân)
10. $ln b = {log _e}b,$ ( e = 2,718…..) ( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)

Các công thức logarit đổi cơ số thường dùng

  • ${log _a}b = frac{{{{log }_c}b}}{{{{log }_c}a}}$ hay ${log _c}a.{log _a}b = {log _c}b$
  • ${log _a}b = frac{{ln b}}{{ln a}}$
  • ${log _a}b = frac{{lg b}}{{lg a}}$
  • ${log _a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}$ hay ${log _a}b.{log _b}a = 1$
  • ${a^{{{log }_b}c}} = {c^{{{log }_b}a}}$

III. Đạo hàm của hàm mũ và logarit
Đạo hàm của hàm số sơ cấp

Đạo hàm mũ

  • $({e^x})’ = {e^x}$
  • $({a^x})’ = {a^x}.ln a$
  • $({x^alpha })’ = alpha .{x^{alpha – 1}}quad (alpha ne 0,;x > 0)$
  • $(sqrt[n]{x})’ = frac{1}{{n,sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}$

Đạo hàm logarit và đạo hàm ln

  • $({log _a}left| x right|)’ = frac{1}{{{a^x}ln a}}$
  • $(ln left| x right|)’ = frac{1}{x}$

Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm mũ

  • $({e^u})’ = u’.{e^u}$
  • $({a^u})’ = u’.{a^u}.ln a$
  • $({u^alpha })’ = alpha .{u^{alpha – 1}},u’$
  • $(sqrt[n]{u})’ = frac{{u’}}{{n.,sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}$

Đạo hàm logarit và đạo hàm ln

  • $(ln left| u right|)’ = frac{{u’}}{u}$
  • $({log _a}left| u right|)’ = frac{{u’}}{{u.ln a}}$

Công thức đạo hàm cơ bản
({left( {u.v} right)^,} = {u^,}.v + u.{v^,})
({left( {frac{u}{v}} right)^,} = frac{{{u^,}.v – u.{v^,}}}{{{v^2}}})
({left( {frac{1}{x}} right)^,} = – frac{1}{{{x^2}}}), ({left( {frac{1}{v}} right)^,} = – frac{{{v^,}}}{{{v^2}}})
({left( {sqrt x } right)^,} = frac{1}{{2sqrt x }}), ({left( {sqrt u } right)^,} = frac{{{u^,}}}{{2sqrt u }})

IV .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a) $0 < a ne 1quad quad {a^{f(x)}} = {a^{g(x)}}quad Leftrightarrow quad f(x) = g(x)$
${log _a}f(x) = {log _a}g(x)quad Leftrightarrow quad left{ begin{array}{l}f(x) > 0;,;hayquad (g(x) > 0)\f(x) = g(x)end{array} right.$
b) $a > 1quad quad quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}quad Leftrightarrow quad f(x) > g(x)$
${log _a}f(x) > {log _a}g(x)quad Leftrightarrow quad f(x) > g(x) > 0$
c) $0 < a < 1quad quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}quad Leftrightarrow quad f(x) < g(x)$
${log _a}f(x) > {log _a}g(x)quad Leftrightarrow quad 0 < f(x) < g(x)$
* So sánh:
+) a > 1 : ${a^alpha } > {a^beta }; Leftrightarrow ;alpha > beta $
+) 0 < a < 1 : ${a^alpha } > {a^beta }; Leftrightarrow ;alpha < beta $
+) Với $0 < a < b$, (m in Z) thì : ${a^m} < {b^m}; Leftrightarrow ;m > 0$
${a^m} > {b^m}; Leftrightarrow ;m < 0$
+) Với $a < b$,(n in N) lẻ thì: ${a^n} < {b^n};$
+) Với $a,b > 0$, $n in {mathbb{Z}^*}$ thì: ${a^n} = {b^n}; Leftrightarrow ;a = b$
+) $a > 1;:{log _a}b > {log _a}c Leftrightarrow b > c$
${log _a}b > 0 Leftrightarrow b > 1$
+) $0 < a < 1:{log _a}b > {log _a}c Leftrightarrow b < c$
${log _a}b > 0 Leftrightarrow b < 1$
+) ${log _a}b = {log _a}c Leftrightarrow b = c$

V. Hàm số mũ, hàm số logarit
+) Hàm số mũ: (y = {a^x})(a>0), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: ({x_1} > {x_2}) thì ({a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}})
+) 0<a<1: ({x_1} > {x_2})thì ({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}})
+) Hàm số logarit: (y = {log _a}x) ( (0 < a ne 1,,x > 0) ), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: ({x_1} > {x_2}) thì ({log _a}{x_1} > {log _a}{x_1})
+) 0<a<1: ({x_1} > {x_2})thì ({log _a}{x_1} < {log _a}{x_1})

VI. Công thức lãi kép.
1. Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? (T = A{(1 + r)^n})
2. Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? (T = A{(1 + m.r)^n})
3. Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng. Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng. Sau n tháng hết nợ. Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền? (m = frac{{A.r.{{left( {1 + r} right)}^n}}}{{{{left( {1 + r} right)}^n} – 1}})
4. Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn. Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng? (N = frac{{log B – log A}}{{log (1 + r)}})
5. Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép). Số tiền thu được sau n tháng. (T = frac{{A(1 + r)}}{r}left[ {{{left( {1 + r} right)}^n} – 1} right])

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button