Kiến thức

Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A’B hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ . Tính thể tích lăng trụ.

Phân tích

*) Tìm hình chiếu của A’B trên đáy ABC. Suy ra góc [A’B,(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải
Ví dụ 1.png

Ta có $A’A bot (ABC) Rightarrow A’A bot AB,& AB$ là hình chiếu của A’B trên đáy ABC .
$begin{array}{l}g{rm{‘o }}c[A’B,(ABC)] = widehat {ABA’} = {60^o}\Delta ABA’ Rightarrow AA’ = AB.tan {60^0} = asqrt 3 \{S_{ABC}} = frac{1}{2}BA.BC = frac{{{a^2}}}{2}\ to V = {S_{ABC}}{rm{.AA}}’ = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{2}end{array}$

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , $widehat {ACB}$= 60$ ^o$ biết BC’ hợp với (AA’C’C) một góc 30$ ^o$. Tính AC’ và thể tích lăng trụ.

Phân tích

*) Tìm hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C). Suy ra góc [BC’,(AA’C’C)] = ?
*) Tìm AC’ trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải
Ví dụ 2.png

ΔABC → AB = AC.tan(60$^0$) = $asqrt 3 $.
Ta có: $AB bot AC,;AB bot AA’ Rightarrow AB bot (AA’C’C)$
nên AC’ là hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C).
Vậy góc[BC’;(AA”C”C)] = $widehat {BC’A}$ = 30$^o$
$Delta AC’B Rightarrow AC’ = frac{{AB}}{{{mathop{rm t}nolimits} {rm{an}}{{30}^o}}} = 3a$
V = B.h = SABC.AA’
$Delta AA’C’ Rightarrow AA’ = sqrt {AC{‘^2} – A’C{‘^2}} = 2asqrt 2 $
ΔABC là nửa tam giác đều nên ${S_{ABC}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}$. Vậy V = ${a^3}sqrt 6 $

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30$^0$. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

Phân tích

*) Dựng hình vuông ABCD hay A’B’C’D’ và các cạnh bên của hình lăng trụ .
*) Dựng BD’ và BD ?
phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Tìm hình chiếu của BD’ trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD’,(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = DD’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời Giải
Ví dụ 3.png

Ta có ABCD A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên ta có: $DD’ bot (ABCD) Rightarrow DD’ bot BD$ và BD là hình chiếu của BD’ trên ABCD . Vậy góc [BD’;(ABCD)] = $widehat {BC’A} = {30^0}$
$Delta BDD’ Rightarrow DD’ = BD.tan {30^0} = frac{{asqrt 6 }}{3}$
$V = {S_{ABCD}}.{rm{DD}}’ = frac{{{a^3}sqrt 6 }}{3}s = 4{S_{ADD’A’}} = frac{{4{a^2}sqrt 6 }}{3}$

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $widehat {BAD}$ = 60$^o$ biết AB’ hợp với đáy (ABCD) một góc 30$^o$ .Tính thể tích của hình hộp.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Tìm hình chiếu của AB’ trên (ABCD). Suy ra góc [AB’,(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Dựng BD. Suy ra ΔABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào?
+Tính h = BB’ trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải
Ví dụ 4.png

ΔABD đều cạnh a
$Rightarrow {S_{ABD}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4} Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}$
ΔABB’ vuông tại B $ Rightarrow BB’ = AB{mathop{rm t}nolimits} {rm{an3}}{{rm{0}}^o} = asqrt 3 V = B.h = {S_{ABCD}}.BB’ = frac{{3{a^3}}}{2}$

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1.
Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại B biết A’C = a và A’C hợp với mặt bên (AA’B’B) một góc 30$^0$ . Tính thể tích lăng trụ
ĐS: $V = {a^3}sqrt 2 /16$

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông tại B biết BB’ = AB = a và B’C hợp với đáy (ABC) một góc 30$^0$ . Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: $V = {a^3}sqrt 3 /2$

Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB’ hợp với mặt bên (BCC’B’) một góc 30$^0$ . Tính độ dài AB’ và thể tích lăng trụ .
ĐS: $AB’ = asqrt 3 ;V = {a^3}sqrt 3 /2$;

Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và $widehat {ACB} = {60^0}$ biết BC’ hợp với mặt bên (AA’C’C) một góc 30$^0$ .Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC’.
ĐS $V = {a^3}sqrt 6 ;S = frac{{3{a^2}sqrt 3 }}{2}$

Bài 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a và AA’ hợp với mặt phẳng (A’BC) một góc 30$^0$ . Tính thể tích lăng trụ
ĐS: $V = 32{a^3}/9$

Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có đường chéo A’C = a và biết rằng A’C hợp với (ABCD) một góc 30$^0$ và hợp với (ABB’A’) một góc 45$^0$ .Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.
Đs: $V = {a^3}sqrt 2 /8$

Bài 7. Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA’ = a Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD A’B’C’D’ là khối lập phương .
ĐS $V = 2{a^3}sqrt 6 /9$

2) OA’ hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
ĐS $V = {a^3}sqrt 3 /4$

3) A’B hợp với (AA’CC’) một góc 30$^0$.
ĐS $V = 4{a^3}sqrt 3 /9$

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông và BD’ = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) BD’ hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
ĐS $V = {a^3}sqrt 3 /16$

2) BD’ hợp với mặt (AA’D’D) một góc 30$^0$ .
ĐS $V = {a^3}sqrt 2 /8$

Bài 9. Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60$^0$.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ .
Đs: V = a$^3$ và S = 6a$^2$

Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = a ;AD = b;AA’ = c và BD’ = AC’ = CA’ =$sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
1) Chứng minh ABCD A’B’C’D’ là hộp chữ nhật.
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo.
Chứng minh rằng ${sin ^2}x + {sin ^2}y + {sin ^2}z = 1$.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button