Kiến thức

Dạng 4. Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là $asqrt 3 $ và hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ . Tính thể tích lăng trụ.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc giữa cạnh bên với đáy: Hình chiếu của CC’ trên (ABC) là gì?
*) Suy ra góc[CC’;(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = CC’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải
Ví dụ 1.png

Ta có $C’H bot (ABC), Rightarrow CH$ là hình chiếu của CC’ trên (ABC)
$begin{array}{l}góc[CC’,(ABC)] = widehat {C’CH} = {60^o}\Delta CHC’ Rightarrow C’H = CC’.sin {60^0} = frac{{3a}}{2}\{S_{ABC}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}\V = {S_{ABC}}.C’H = frac{{3{a^3}sqrt 3 }}{8}end{array}$

Ví dụ 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc giữa cạnh bên AA’ với đáy ABC :
Hình chiếu của AA’ trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA”;(ABC)] = ?
*) Chứng minh BC $bot $ AA’ bằng cách Chứng minh BC $bot $ mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BC $bot $ CC’ không ? tại sao? Vậy BB’C’C là hình gì?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = AA” trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải
Ví dụ 2.png

1) Ta có A’O $bot $ (ABC) → OA là hình chiếu của AA’ trên (ABC)
Vậy $góc[AA’,(ABC)] = widehat {OAA’} = {60^o}$
Ta có BB’CC’ là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO$bot $ BC tại trung điểm H của BC nên BC$bot $ A’H (đl 3 $bot $) →BC$bot $(AA’H) → BC$bot $AA’ mà AA’//BB’ nên BC$bot $ BB’.Vậy BB’CC’ là hình chữ nhật.

2) ΔABC đều nên
$begin{array}{l}AO = frac{2}{3}AH = frac{2}{3}frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}\Delta AOA’ Rightarrow A’O = AO{mathop{rm t}nolimits} a{rm{n6}}{{rm{0}}^o} = a\V = {S_{ABC}}.A’O = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{4}end{array}$

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = √3AD =√7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45%^0% và 60$^0$. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A’H và HN AD
HM AB Suy ra góc[(ABB’A’);(ABCD)] =? góc[(ADD’A’);(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = A’H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A’H
*) Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

Lời giải:
Ví dụ 3.png

Kẻ A’H $bot $ (ABCD),HM$bot $ AB, HN$bot $ AD → A’M$bot $ AB, A’N$bot $ AD (đl 3$bot $)
$Rightarrow widehat {A’MH} = {45^o},widehat {A’NH} = {60^o}$
Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 60$^0$ = $frac{{2x}}{{sqrt 3 }}$
$left. begin{array}{l}AN = sqrt {{{left( {AA’} right)}^2} – {{left( {A’N} right)}^2}} = sqrt {frac{{3 – 4{x^2}}}{3}} = HM\HM = xtan left( {{{45}^0}} right) = xend{array} right} to x = sqrt {frac{{3 – 4{x^2}}}{3}} to x = sqrt {frac{3}{7}} $
Vậy V$_{ABCD.A’B’C’D’}$ = AB.AD.x = $sqrt 3 .sqrt 7 .sqrt {frac{3}{7}} = 3$

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1
. Cho lăng trụ ABC A’B’C’có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$ . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = ${a^3}sqrt 2 $

Bài 2. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30$^0$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =336

Bài 3. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và $widehat {BAD} = {30^o}$ và biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABC một góc 60$^0$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = frac{{abcsqrt 3 }}{4}$

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều A,B,C biết AA’ = $frac{{2asqrt 3 }}{3}$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{4}$

Bài 5. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB’C’C hợp vớio đáy ABC một góc 60$^0$ .
1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’.
Đs: $V = frac{{3{a^3}sqrt 3 }}{8}$

Bài 6. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a hợp với đáy ABC 1 góc 60$^0$ và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA’B’B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
ĐS :
1) $S = {a^2}sqrt 3 /2$
2)$V = frac{{3{a^3}sqrt 3 }}{8}$

Bài 7. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ
ĐS :
1) 30$^0$.
2) $V = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{8}$

Bài 8. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C’ trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a và 2 mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với nhau một góc 90$^o$
Đs: $V = frac{{27{a^3}}}{{4sqrt 2 }}$

Bài 9. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A’ trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60$^0$ .
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’.
3) Tính thể tích của hộp.
ĐS:
1) ${S_{ACC’A’}} = {a^2}sqrt 2 ;{S_{BDD’B’}} = {a^2}$
2) $V = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{2}$

Bài 10. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60$^0$ chân đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB’ = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
ĐS:
1) 60$^0$
2) $V = frac{{3{a^3}}}{4};,,S = {a^2}sqrt {15} $

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button